그래프 그리기 3

대칭이동

• $x$축 대칭 $f(x,-y)=0$
• $y$축 대칭 $f(-x,y)=0$
• 원점 대칭 $f(-x,-y)=0$
• $y=x$에 대한 대칭 $f(y,x)=0$
• $x=a$에 대한 선대칭 $f(a+x)=f(a-x)$
• $(a,b)$에 대한 점대칭 $f(a-x)+f(a+x)=2b$

그래프의 주기성

상수 함수가 아닌 함수 $f(x)$에서 정의역에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x+p)=f(x)$를 만족시키는 $0$이 아닌 상수 $p$가 존재할 때, $f(x)$를 주기함수라고 하며 $f(x+p)=f(x)$를 만족시키는 상수 $p$의 값 중 최소의 양수를 함수 $f$의 주기라 한다.

대칭, 주기 판별법

두 함수 $f(1+x)=f(1-x)$, $g(x+1)=g(x-1)$의 대칭성 또는 주기성을 판별하기 위해서는 변수에 들어간 식을 뺀 값을 보는 것을 추천한다. 예를 들어 함수 $f$에 대하여 $(1+x)-(1-x)=2x$처럼 문자가 남으면 대칭함수이며, 함수 $g$에 대하여 $(x+1)-(x-1)=2$처럼 숫자가 남으면 그 숫자를 주기로 갖는 주기 함수이다.

그래프의 확대, 축소

• $x$축으로 $a$배 확대 $f\left(\frac{x}{a},y\right)=0$, $x$축으로 $a$배 축소 $f(ax,y)=0$
• $y$축으로 $a$배 확대 $f\left(x,\frac{y}{a}\right)=0$, $y$축으로 $a$배 축소 $f(x,ay)=0$
• 주기함수 $f(x)$의 주기가 $p$일 때, $f(ax)$의 주기는 $\frac{p}{a}$이다.

$x$또는 $y$에 상수를 곱하게 되면 각 변수의 축 방향으로 그래프가 축소된다. 이 때, $x$축 또는 $y$축으로 확장한 만큼 넓이가 늘어나고, 축소한 만큼 넓이가 줄어든다. 이를 통해 도형의 넓이를 빠르게 계산하는 데 응용될 수 있다.

예제

1. 원의 방정식 $x^2+y^2=1$에서 $x$축 방향으로 $2$배, $y$축 방향으로 $3$배 확대한 도형의 방정식은?
2. 주기함수 $f(x),g(x)$에 대하여, $f(x)+g(x)$는 주기함수인가?¹

참고자료

• 그래프 완전정복 1 - 기본
• 그래프 완전정복 2 - 사칙연산
• 그래프 완전정복 3 - 평행, 대칭, 주기, 확대
• 그래프 완전정복 4 - 절댓값 함수, 가우스 함수
• 그래프 완전정복 5 - 합성함수
• 그래프 완전정복 6 - 볼록함수

Footnotes

1. 합함수의 주기성: 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 모두 실함수($\mathbb{R}\to \mathbb{R}$), 연속함수, 주기함수이고 각각의 주기가 $p$, $q$일 때, $f(x)+g(x)$도 주기함수일 필요충분조건은 $\frac{p}{q}$가 유리수이다. ↩