그래프 그리기 1

그래프를 그리기 전에

• $x$축을 그린다 $\Rightarrow$ 개형을 그린다 $\Rightarrow$ 점을 찍는다
• $y$축은 필요할 때만 그린다. (때에 따라 $x$축 또한 생략한다.)
• $f$의 최고차항의 계수와 차수가 개형을 결정한다.
• $f^{\prime }>0$이면 $f$는 증가하고, $f^{\prime }<0$이면 $f$는 감소한다.
• $f^{\prime }=0$이면 $f$는 평평하다. 즉, 봉우리가 생길 가능성이 높다.
• $f^{\prime \prime }>0$이면 $f$는 아래로 볼록, $f^{\prime \prime }<0$이면 $f$는 위로 볼록이다.
• 대칭성(우함수, 기함수, 선대칭, 점대칭)과 주기성을 고려한다.
• $\lim f(x)$가 점근선을 갖는지 확인한다.

인수분해를 이용한 그래프 그리기

$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1=(x-1{)}^2(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})$이므로, $x=1$(중근), $x=1-\sqrt{2}$, $x=1+\sqrt{2}$을 근으로 가진다. 따라서 $x=1$에서 $f(x)$의 그래프는 $x$축에 접하며, $x=1\pm \sqrt{2}$에서는 근을 갖는 사차함수를 그린다.

미분을 이용한 그래프 그리기

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)$이므로 $x=0$, $x=1$, $x=2$에서 근을 갖는 삼차함수를 그린다. $f^{\prime }=0$인 곳을 기준으로 $f^{\prime }>0$이면 $f$가 증가(우상향)하도록, $f^{\prime }<0$이면 $f$는 감소(우하향)하도록 사차함수를 그린다.

평행이동을 이용한 그래프 그리기

$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1=x^2(x-2{)}^2-1$이므로, $x=0$, $x=2$에서 중근을 갖는 사차 함수를 그린 후, $y$축으로 $-1$만큼 평행이동 한다. 상수항은 함수의 그래프를 $y$축 방향으로 평행이동 시킬 뿐이다.

참고자료

• 그래프 완전정복 1 - 기본
• 그래프 완전정복 2 - 사칙연산
• 그래프 완전정복 3 - 평행, 대칭, 주기, 확대
• 그래프 완전정복 4 - 절댓값 함수, 가우스 함수
• 그래프 완전정복 5 - 합성함수
• 그래프 완전정복 6 - 볼록함수