언어적으로 볼록은 ‘어떤 물체의 일부분이 튀어나왔거나 도드라져 있는 상태’인 반면 수학에서는 볼록은 도형 내부에 있는 임의의 두 점을 이은 선분이 도형에 포함되는 것을 의미한다. 왼쪽 도형처럼 도형 내 임의의 두 점을 연결한 선분이 다시 도형 안에 포함되면 볼록 도형이라 부른다. 반대로 오른쪽과 같이 도형 내 임의의 두 점을 이은 선분이 도형 바깥으로 나오는 부분이 생기면 오목 도형이라 부른다.
함수에서의 위로 볼록, 아래로 볼록
위로 볼록인 함수는 와 사이의 내분점의 함숫값이 와 사이의 내분점보다 위에 있으므로 라 할 수 있다. 반대로 아래로 볼록한 함수는 와사이의 내분점이 와 사이의 함숫값보다 크므로 부등호 방향만 바꾸어 표현할 수 있다.
볼록한 함수를 표현하는 다양한 방법
- 위로 볼록인 함수에서 임의의 세 점을 선택해 의 좌표가 작은 순서대로 라 할 때, 선분 와 의 기울기 즉, 평균변화를 비교하면 의 기울기가 의 기울기보다 큰 것을 볼 수 있다.
- 위로 볼록인 함수에서 임의의 세 점을 선택해 의 좌표가 작은 순서대로 라 할 때, 한 점을 고정시킨다음 평균변화를 관찰하면 선분 의 기울기가 선분 의 기울기보다 큰 것을 관찰할 수 있다.
- 특히 고정점이 원점이라면 식을 더 간단하게 바꿀 수 있다.
- 위로 볼록인 함수에서 임의의 두 점을 선택해 의 좌표가 작은 순서대로 라 할 때, 점 의 접선의 기울기 와 점 의 접선의 기울기 를 비교하면 이다. 위로 볼록인 함수들은 좌표가 커짐에 따라 순간변화율이 감소하므로 순간변화율의 변화율 즉, 임을 자명하게 얻어낼 수 있다.
- 위로 볼록인 함수에서 임의의 두 점을 선택해 의 좌표가 작은 순서대로 라 할 때, 점 의 접선의 기울기 와 선분 의 기울기를 비교하면 순간변화율이 평균변화율보다 크다는 것을 알 수 있다.
- 위로 볼록한 함수라면 선분 위로 넓이가 더 생기므로, 적분값이 사다리꼴의 넓이보다 크다.
예제
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다항함수 에 대하여 이고, 인 모든 에 대하여 가 성립할 때, , , 의 대소관계는?
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열린 구간 에서 , 일 때, 함수 은 아래로 볼록한가?
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에 대하여 로 정의할 때, 함수 의 그래프는 열린구간에서 위로 볼록한가?
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함수 에 대하여, 인가?
참고자료