그래프 그리기 5

합성함수란 $f:X\to Y$ 와 $g:Y\to Z$ 라는 두 함수에 대하여 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 쉽게 생각해 일반적인 함수는 $X$값에 따라 $Y$값, 즉 함숫값이 바로 생기는데 반해 합성함수는 이 과정을 연달아하게 되면서 새로운 함수 $g\circ f:X\to Z$를 만든다.

자기 자신을 합성한 함수

함수 $f(x)$에 대하여 자기 자신을 합성한 함수는 일반적으로 $f^2(x)=f\circ f(x)$라 표현한다. 합성한 함수의 그래프를 그릴 때는 첫 번째 함수의 함숫값을 다시 정의역으로 하여 두 번째 함수의 함숫값을 찾아야하므로 $y=x$를 같이 그려 합성함수의 그래프를 찾는 것이 좋다.

$f(x)$와 $y=x$의 교점은 $f\circ f(x)$와 $y=x$의 교점이 된다. 자기 자신을 합성한 함수의 모양을 보면 원함수와 $y=x$가 만나는 점을 기준으로 (교점을 기준으로 증가, 감소가 바뀌지 않는다면)원함수와 비교하여 위에 있는 곳은 더 위에, 아래에 있는 곳은 더 아래에 그려지는 경향이 있다.

합성함수 그리기

정의역에 있는 함수의 증가, 감소가 바뀌는 점을 기준으로 $x$가 변해감에 따라 $y$가 어떻게 변하는지 관찰하고, 함숫값($y$)의 변화와 방향을 기준으로 $z$가 어떻게 변하는지 본다. 마지막으로 $y$를 생략하고 $x$가 변할 때, $z$가 어떻게 변하는지 확인하여 개형을 그린다.

참고자료

• 그래프 완전정복 1 - 기본
• 그래프 완전정복 2 - 사칙연산
• 그래프 완전정복 3 - 평행, 대칭, 주기, 확대
• 그래프 완전정복 4 - 절댓값 함수, 가우스 함수
• 그래프 완전정복 5 - 합성함수
• 그래프 완전정복 6 - 볼록함수