4-5. The Gauss-Bonnet Theorem and Its Applications

가우스-보네 정리는 곡면의 국소적 기하학(곡률)과 전역적 위상(오일러 지표)을 연결하는 미분기하학의 가장 심오하고 아름다운 결과 중 하나이다. 이 정리는 초기에 가우스에 의해 측지 삼각형에 대해 증명되었고, 이후 보네에 의해 일반적인 곡선으로 둘러싸인 영역으로 확장되었다.

조각적 정칙 닫힌 곡선(Piecewise Regular Closed Curve)

정칙 곡면 $S$ 위의 연속적인 닫힌 곡선 $\alpha :[0,l]\to S$가 다음을 만족할 때를 의미한다.

1. $\alpha (0)=\alpha (l)$
2. $t_1\ne t_2$인 $t_1,t_2\in [0,l)$에 대해 $\alpha (t_1)\ne \alpha (t_2)$ (단순 곡선)
3. 구간 $[0,l]$의 분할 $0=t_0<t_1<\cdots <t_k<t_{k+1}=l$이 존재하여, 각 열린 구간 $(t_i,t_{i+1})$에서 $\alpha$는 정칙이다.

• 꼭짓점(Vertices) 과 정칙 호(Regular Arcs) : 점 $\alpha (t_i)$를 곡선의 꼭짓점, 곡선 $\alpha ([t_i,t_{i+1}])$을 정칙 호라고 한다.
• 외각(External Angle) : 각 꼭짓점 $\alpha (t_i)$에서, 곡선의 방향이 갑자기 변하며 생기는 각을 외각 ${\theta }_i$ ($-\pi <{\theta }_i<\pi$)라 한다. 이 값은 좌미분계수 ${\alpha }^{\prime }(t_i-0)$와 우미분계수 ${\alpha }^{\prime }(t_i+0)$ 사이의 각으로, 곡면의 향을 기준으로 부호가 결정된다.
• 단순 영역(Simple Region) : 경계가 하나의 조각적 정칙 닫힌 곡선으로 이루어져 있고, 원판과 위상동형인 곡면 위의 영역 $R$을 말한다.
• 양의 방향(Positively Oriented) : 영역 $R$의 경계 $\partial R=\alpha$의 방향이, 곡선을 따라 진행할 때 영역 $R$이 항상 왼쪽에 있도록 정해진 경우를 의미한다.

• 영역 위의 함수 적분 : 곡면 $S$ 위의 영역 $R$에 정의된 함수 $f$의 적분은 매개변수 표현 $\mathbf{x}$를 이용하여 다음과 같이 정의된다. 이 값은 기하학적 의미를 가지며 매개변수화 방식에 의존하지 않는다.

$${\iint }_{R}fd\sigma ={\iint }_{{\mathbf{x}}^{-1}(R)}f(u,v)\sqrt{EG-F^2}dudv$$

회전하는 접선의 정리(Theorem of Turning Tangents)

양의 방향을 가진 평면 위의 단순 닫힌 곡선 $\alpha$에 대해, 접선벡터의 총 회전량과 모든 외각의 합은 $2\pi$이다.

$$\sum _{i=0}^k(\phi (s_{i+1})-\phi (s_i))+\sum _{i=0}^k{\theta }_i=2\pi$$

여기서 $k(s)$는 평면 곡선의 곡률이라하면, ¹

$${\int }_{s_i}^{s_{i+1}}k(s)ds={\int }_{s_i}^{s_{i+1}}\frac{d\phi }{ds}ds=\phi (s_{i+1})-\phi (s_i)$$

이므로,

$$\sum _{i=0}^k{\int }_{s_i}^{s_{i+1}}k(s)ds+\sum _{i=0}^k{\theta }_i=2\pi$$

이다.

(국소) 가우스-보네 정리

방향이 주어진 곡면 $S$ 위의 단순 영역 $R$이 등온 매개변수화(isothermal parametrization) $\mathbf{x}$의 상에 포함된다고 하자. $R$의 경계가 양의 방향을 갖는 조각적 정칙 닫힌 곡선 $\alpha =\partial R$일 때 다음이 성립한다.

$$\sum _{i=0}^k{\int }_{s_i}^{s_{i+1}}{k}_g(s)ds+{\iint }_{R}Kd\sigma +\sum _{i=0}^k{\theta }_i=2\pi \text{\hspace{1em}(1)}$$

여기서 $k_g(s)$는 $\alpha$의 정칙 호 부분의 측지 곡률이고, $K$는 $S$의 가우스 곡률, ${\theta }_i$는 꼭짓점에서의 외각이다.

직교 매개변수화에서 측지 곡률 $k_g$에 대한 리우빌의 공식(Liouville’s formula)은 다음과 같다.

$$k_g(s)=\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(G_u\frac{dv}{ds}-E_v\frac{du}{ds}\right)+\frac{d\phi }{ds}$$

여기서 $\phi (s)$는 접벡터 ${\mathbf{x}}_u$와 곡선의 접벡터 ${\alpha }^{\prime }(s)$ 사이의 각도이다. 위 식을 경계 $\partial R$ 전체에 대해 적분하면,

$${\oint }_{\partial R}{k}_g(s)ds={\oint }_{\partial R}\left(\frac{-E_v}{2\sqrt{EG}}du+\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}dv\right)+{\oint }_{\partial R}d\phi$$

첫 번째 적분 항에 그린의 정리($\oint Pdu+Qdv=\iint (\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v})dudv$)를 적용한다. 여기서 $P=\frac{-E_v}{2\sqrt{EG}}$, $Q=\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}$이다. 등온 좌표계($E=G={\lambda }^2,F=0$) 조건 하에서 피적분 함수는 가우스 곡률 $K$와 관련하여 다음과 같이 간단해진다.

$$\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\Rightarrow \frac{1}{2}\Delta (\ln \lambda )=-K{\lambda }^2$$

따라서 선적분은 면적분으로 변환된다.

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\partial R}\left(\frac{-E_v}{2\sqrt{EG}}du+\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}dv\right)& ={\iint }_{{\mathbf{x}}^{-1}(R)}\left(\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}\right)-\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{-E_v}{2\sqrt{EG}}\right)\right)dudv\\ & ={\iint }_{{\mathbf{x}}^{-1}(R)}(-K{\lambda }^2)dudv\\ & ={\iint }_R(-K{\lambda }^2)\left(\frac{1}{{\lambda }^2}d\sigma \right)\\ & =-{\iint }_{R}Kd\sigma \end{array}$$

${\oint }_{\partial R}d\phi$는 접벡터의 총 회전량을 나타낸다. 회전 정리에 의해 이 값은 $2\pi$에서 꼭짓점에서의 외각의 합을 뺀 것과 같다. 곡선이 양의 방향을 가지므로 부호는 ’+‘가 된다.

$${\oint }_{\partial R}d\phi =\sum \int \frac{d{\phi }_i}{ds}ds=2\pi -\sum _{i=0}^k{\theta }_i$$

위 결과들을 종합하면,

$${\oint }_{\partial R}{k}_g(s)ds=-{\iint }_{R}Kd\sigma +2\pi -\sum _{i=0}^k{\theta }_i$$

이 정리는 경계를 따라 측지 곡률을 적분한 값과 영역 내부에서 가우스 곡률을 적분한 값, 그리고 꼭짓점에서의 각의 변화량의 합이 위상적 불변량인 $2\pi$가 됨을 보여준다.

가우스 곡률의 기하학적 해석

단순 영역 $R$의 경계 $\alpha$를 따라 벡터를 평행이동시켰을 때, 벡터가 한 바퀴 돌아 제자리로 돌아오면 원래 벡터와 $\Delta \phi$만큼의 각도 차이가 발생한다. 이 각도 변화량은 영역의 가우스 곡률 적분과 같다.

$$\Delta \phi ={\iint }_{R}Kd\sigma$$

따라서 점 $p$에서의 가우스 곡률은 국소적인 넓이와 그 넓이의 경계를 따라 평행이동 시 발생하는 각 변화의 비율로 이해할 수 있다.

$$K(p)=\underset{A(R)\to 0}{\lim }\frac{\Delta \phi }{A(R)}$$

삼각분할 (Triangulation)

삼각분할 은 복잡한 형태를 가진 곡면 위의 영역을 다루기 쉬운 기본 단위인 삼각형들로 나누는 과정이다. 삼각분할을 정의하기 위해서는 먼저 분할의 대상이 되는 영역과 분할의 단위가 되는 삼각형을 명확히 해야 한다.

• 정칙 영역 (Regular Region) : 콤팩트(compact)하고 연결된(connected) 곡면 위의 영역 $R$로, 그 경계 $\partial R$가 서로 만나지 않는 유한개의 조각적 정칙 닫힌 곡선들로 이루어진다. 예를 들어, 구멍이 뚫린 원판은 정칙 영역이지만, 두 영역이 한 점에서만 만나는 경우는 정칙 영역이 아니다.
• 곡면 위의 삼각형 (Triangle on a Surface) : 세 개의 꼭짓점(vertex)을 가지는 단순 영역(simple region)을 말한다. 변(edge)들은 정칙 곡선의 호(arc)로 이루어진다.

정칙 영역 $R\subset S$의 삼각분할 $\mathcal{T}$는 다음 조건을 만족하는 유한개의 삼각형들 $\{T_i\}$의 집합이다.

1. 모든 삼각형의 합집합은 원래의 영역과 같다. ${\bigcup }_{i=1}^n{T}_i=R$
2. 임의의 두 삼각형 $T_i$와 $T_j$의 교집합은 공집합이거나, 하나의 공통된 변이거나, 하나의 공통된 꼭짓점뿐이다.

• 임의의 정칙 영역은 항상 삼각분할을 할 수 있다.

방향이 주어진 곡면 $S$ 위의 정칙 영역 $R$에 대하여, 다음 두 가지 조건을 만족하는 삼각분할 $\mathcal{J}$가 존재한다.

1. 삼각분할 $\mathcal{T}$에 속한 모든 삼각형 $T$는, 곡면의 방향과 호환되는 어떤 단일 좌표계 근방 ${\mathbf{x}}_{\alpha }(U_{\alpha })$ 안에 완전히 포함된다.
2. 각 삼각형의 경계에 양의 방향(positively oriented) 을 부여했을 때, 인접한 두 삼각형이 공유하는 변 위에서는 두 방향이 서로 반대 가 된다.

각각의 삼각형이 하나의 좌표계 안에 있기 때문에, 우리는 각 삼각형 $T_i$에 국소 가우스-보네 정리(Local Gauss-Bonnet Theorem) 를 개별적으로 적용할 수 있다. 모든 삼각형에 대해 국소 가우스-보네 정리의 항들을 더할 때, 내부의 모든 공통 변 에 대한 측지 곡률의 선적분($\oint k_{g}ds$) 값들이 크기가 같고 방향이 반대이므로 정확히 상쇄되어 사라진다. 이로 인해 최종적으로는 원래 영역 $R$의 실제 경계 $\partial R$에 대한 선적분 값만 남게 된다.

오일러-푸앵카레 지표 (Euler-Poincaré Characteristic)

삼각분할 $\mathcal{T}$가 주어졌을 때, 꼭짓점의 개수를 $V$, 면(삼각형)의 개수를 $F$, 변의 개수를 $E$라 하면, 영역 $R$의 오일러-푸앵카레 지표 $\chi (R)$는 다음과 같이 정의된다.

$$V-E+F=\chi (R)$$

이 값의 가장 중요한 특징은 위상적 불변량(topological invariant) 이라는 점이다. 즉, $\chi (R)$의 값은 영역 $R$을 어떻게 삼각분할하는지와 무관하게 항상 일정하며, 오직 영역 $R$의 위상적 형태(구멍의 개수 등)에 의해서만 결정된다.

전역 가우스-보네 정리 (Global Gauss-Bonnet Theorem)

$S$를 방향이 주어진 정칙 곡면이라 하고, $R\subset S$을 정칙 영역(regular region)이라 하자. $R$의 경계 $\partial R$이 $n$개의 조각적 정칙 단순 닫힌 곡선 $C_1,\dots ,C_n$으로 구성되어 있다고 가정한다. 각 $C_i$가 양의 방향을 갖고, ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_p$가 모든 경계 곡선들의 모든 꼭짓점에서 계산된 외각(external angle)의 집합일 때, 다음이 성립한다.

$$\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}{k}_g(s)ds+{\iint }_{R}Kd\sigma +\sum _{l=1}^p{\theta }_l=2\pi \chi (R)$$

여기서 $k_g$는 경계 곡선의 측지 곡률, $K$는 곡면의 가우스 곡률, $\chi (R)$은 영역 $R$의 오일러-푸앵카레 지표이다.

먼저, 영역 $R$을 $F$개의 삼각형, $E$개의 변, $V$개의 꼭짓점으로 구성된 삼각분할 $\mathcal{T}$로 나눈다. 이때 각 삼각형 $T_j\in \mathcal{T}$는 국소 정리를 적용할 수 있도록 단일 좌표계 안에 포함되며, 인접한 삼각형들은 공유하는 변에서 서로 반대 방향을 갖도록 삼각분할을 잡을 수 있다.

각 삼각형 $T_j$는 단순 영역이므로($\chi (T_j)=1$), 국소 가우스-보네 정리를 적용하면 다음과 같다.

$${\oint }_{\partial T_j}{k}_g(s)ds+{\iint }_{T_j}Kd\sigma +\sum _{k=1}^3{\theta }_{jk}=2\pi$$

여기서 ${\theta }_{jk}$는 삼각형 $T_j$의 세 꼭짓점에서의 외각이다. 이제 이 식을 모든 삼각형 $j=1,\dots ,F$에 대해 더한다.

$$\sum _{j=1}^F\left({\oint }_{\partial T_j}{k}_{g}ds\right)+\sum _{j=1}^F\left({\iint }_{T_j}Kd\sigma \right)+\sum _{j,k}{\theta }_{jk}=\sum _{j=1}^{F}2\pi$$

삼각분할의 성질에 따라, 영역 $R$의 내부에 있는 모든 변은 정확히 두 삼각형에 의해 공유되며, 각 삼각형의 양의 방향에 따라 이 변 위에서의 적분 방향은 서로 반대가 된다. 따라서 내부 변들에 대한 선적분은 모두 상쇄된다. 결국, 영역 $R$의 실제 경계 $\partial R=\bigcup C_i$에 대한 선적분만 남는다.

$$\sum _{j=1}^F{\oint }_{\partial T_j}{k}_{g}ds=\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}{k}_{g}ds$$

모든 삼각형 $T_j$에 대한 면적분의 합은 영역 $R$ 전체에 대한 면적분과 같다.

$$\sum _{j=1}^F{\iint }_{T_j}Kd\sigma ={\iint }_{R}Kd\sigma$$

모든 삼각형의 외각들의 총합 ${\sum }_{j,k}{\theta }_{jk}$는 조합론적(combinatorial) 관계에 의해 다음과 같이 표현된다.

$$\sum _{j,k}{\theta }_{jk}=2\pi E-2\pi V+\sum _{l=1}^p{\theta }_l$$

여기서 $E,V$는 삼각분할의 총 변과 꼭짓점의 개수이고, ${\theta }_l$은 영역 $R$의 실제 경계에 있는 꼭짓점들의 외각이다.

우변은 $F$개의 삼각형에 대한 합이므로 $2\pi F$가 된다. 위에서 정리된 항들을 합산된 식에 대입하면 다음과 같다.

$$\left(\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}{k}_{g}ds\right)+\left({\iint }_{R}Kd\sigma \right)+\left(2\pi E-2\pi V+\sum _{l=1}^p{\theta }_l\right)=2\pi F$$

이 식을 오일러-푸앵카레 지표 $\chi (R)=F-E+V$를 이용하여 정리하면,

$$\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}{k}_{g}ds+{\iint }_{R}Kd\sigma +\sum _{l=1}^p{\theta }_l=2\pi \chi (R)$$

이로써 전역 가우스-보네 정리가 증명된다.

가우스-보네 정리의 따름정리와 응용

전역 가우스-보네 정리는 미분기하학에서 가장 강력한 도구 중 하나로, 곡면의 국소적 정보(곡률)와 전역적 정보(위상)를 연결한다. 이 정리로부터 직접적으로 유도되는 몇 가지 중요한 따름정리와 그 응용은 다음과 같다.

단순 영역에 대한 가우스-보네 정리

$S$를 정칙 곡면이라 하고, $R\subset S$을 단순 영역(simple region) 이라 하자. 즉, $R$의 경계 $\partial R$이 하나의 조각적 정칙 단순 닫힌 곡선으로 이루어져 있다고 가정한다. 이 경우 영역의 오일러-푸앵카레 지표는 $\chi (R)=1$이므로, 전역 가우스-보네 정리는 다음과 같은 국소 버전의 형태로 환원된다.

$$\sum _{i=0}^k{\int }_{s_i}^{s_{i+1}}{k}_g(s)ds+{\iint }_{R}Kd\sigma +\sum _{i=0}^k{\theta }_i=2\pi$$

콤팩트 곡면에 대한 가우스-보네 정리

$S$가 방향을 줄 수 있는 콤팩트(compact) 곡면인 경우, 경계가 없는($\partial R=\varnothing$) 정칙 영역으로 간주할 수 있다. 이 경우, 선적분 항과 외각의 합 항이 사라지므로, 정리는 다음과 같은 놀랍도록 간결한 형태를 갖는다.

$${\iint }_{S}Kd\sigma =2\pi \chi (S)$$

이 정리는 곡면의 총 곡률(total curvature) ${\iint }_{S}Kd\sigma$이 곡면의 국소적인 모양이나 크기와 무관하게, 오직 그 위상적 형태(오일러 지표 $\chi (S)$)에 의해서만 결정된다는 심오한 사실을 보여준다. 예를 들어, 구와 위상동형인 모든 곡면은 그 모양이 아무리 울퉁불퉁하더라도 총 곡률은 항상 $4\pi$ ($\chi =2$)이다.

양의 곡률을 갖는 콤팩트 곡면

가우스 곡률 $K$가 모든 점에서 양수인 콤팩트 곡면 $S$는 반드시 구면과 위상동형(homeomorphic to a sphere) 이다. 왜냐하면 $K>0$이면 ${\iint }_{S}Kd\sigma >0$이므로, 콤팩트 곡면에 대한 가우스-보네 정리에 의해 $\chi (S)>0$이어야 한다. ${\mathbb{R}}^3$ 안의 콤팩트 곡면 중 이 조건을 만족하는 것은 오직 구면($\chi =2$)뿐이기 때문이다.

음이 아닌 곡률을 갖는 곡면 위의 측지선

가우스 곡률이 $K\le 0$인 곡면 위에서는, 한 점 $p$에서 출발한 두 개의 서로 다른 측지선이 다시 한 점 $q$에서 만나 단순 영역을 형성할 수 없다. 만약 그러한 영역 $R$이 존재한다면, 경계의 측지 곡률 $k_g$는 0이고, 내각을 ${\phi }_1,{\phi }_2$라 할 때 외각은 ${\theta }_1=\pi -{\phi }_1,{\theta }_2=\pi -{\phi }_2$가 된다. 단순 영역에 대한 가우스-보네 정리를 적용하면 ${\iint }_{R}Kd\sigma +(\pi -{\phi }_1)+(\pi -{\phi }_2)=2\pi$ 이므로, ${\iint }_{R}Kd\sigma ={\phi }_1+{\phi }_2>0$ 이 되어 $K\le 0$이라는 가정에 모순된다. 특히, 이는 $K\le 0$인 곡면 위에는 단순 영역의 경계가 되는 단순 닫힌 측지선(simple closed geodesic) 이 존재할 수 없음을 의미한다.

음의 곡률을 갖는 원기둥과 위상동형인 곡면

가우스 곡률이 $K<0$이고 원기둥과 위상동형인 곡면 $S$는 최대 하나의 단순 닫힌 측지선 만을 가질 수 있다. 만약 두 개의 서로 만나지 않는 단순 닫힌 측지선 $\Gamma$와 ${\Gamma }^{\prime }$이 존재한다면, 이 두 곡선은 오일러 지표가 0인 영역 $R$의 경계가 된다. 전역 가우스-보네 정리를 적용하면 ${\iint }_{R}Kd\sigma =2\pi \chi (R)=0$이 되는데, 이는 $K<0$이라는 가정에 모순된다.

양의 곡률을 갖는 콤팩트 곡면 위의 측지선

가우스 곡률이 $K>0$인 콤팩트 연결 곡면 위의 임의의 두 단순 닫힌 측지선 ${\Gamma }_1$과 ${\Gamma }_2$는 반드시 교차해야 한다 . 만약 교차하지 않는다면, 이 두 곡선은 오일러 지표가 0인 영역 $R$의 경계가 되고, 이는 ${\iint }_{R}Kd\sigma =0$이라는 결과를 낳아 $K>0$ 가정에 모순된다.

야코비의 정리

곡선 $\alpha$의 법선 지시곡선(normal indicatrix) $n(I)$는 단위 구면 $S^2$를 넓이가 같은 두 영역으로 분할 한다. 이는 법선 지시곡선의 측지 곡률 ${\bar{k}}_g$를 계산한 뒤, 이 곡선으로 둘러싸인 구면 위의 영역 $R$에 가우스-보네 정리를 적용하여 증명할 수 있다. $S^2$의 가우스 곡률은 $K=1$이므로, ${\iint }_{R}Kd\sigma =\text{Area}(R)$가 되고, 계산 결과 이 넓이는 $2\pi$가 된다. 구면 전체 넓이는 $4\pi$이므로, 나머지 영역의 넓이도 $2\pi$이다.

측지 삼각형의 내각의 합

변들이 측지선으로 이루어진 삼각형 $T$의 내각을 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$라 하면, $k_g=0$이고 외각은 ${\theta }_i=\pi -{\phi }_i$이므로 다음 관계식이 성립한다.

$${\iint }_{T}Kd\sigma =\sum _{i=1}^3{\phi }_i-\pi$$

이 식은 측지 삼각형 내각의 합이 곡면의 곡률에 따라 어떻게 변하는지를 보여준다.

• $K=0$이면, 내각의 합은 $\pi$이다. (유클리드 기하학)
• $K>0$이면, 내각의 합은 $\pi$보다 크다. (구면 기하학)
• $K<0$이면, 내각의 합은 $\pi$보다 작다. (쌍곡 기하학)

특히, $K\ne 0$인 경우에는 이 값이 가우스 사상 $N:S\to {\mathbb{S}}^2$에 의해 $T$가 구면 위로 옮겨진 영역 $N(T)$의 면적 과 일치한다. (3-3.절의 참조) 이것이 바로 가우스 자신이 그의 정리를 서술했던 형태이다.

측지삼각형 $T$의 각 초과량은, 그 구면 영상 $N(T)$의 면적과 같다.

위 사실은 유클리드의 제5공준(평행선 공준) 에 관한 역사적 논쟁과도 연결되어 있다. 제5공준에 따르면 모든 삼각형의 내각의 합은 $\pi$ 이다. 그런데 곡면 위의 측지선(geodesics)을 직선 이라고 간주하면,

음의 상수 곡률을 갖는 곡면들은 (국소적으로) 유클리드의 공리들을 만족하지만 제5공준과 “직선이 무한히 연장될 수 있다”는 공리는 만족하지 않는 하나의 기하학적 모델이 될 수 있음을 보일 수 있다.실제로, 힐베르트(Hilbert)는 다음을 증명했다.

${\mathbb{R}}^3$ 안에는, 모든 측지선이 무한히 연장 가능한 음의 상수 가우스 곡률을 갖는 곡면 은 존재하지 않는다.

결과적으로, ${\mathbb{R}}^3$ 내의 음의 상수 가우스 곡률을 갖는 곡면들은 제5공준의 독립성 을 실험할 수 있는 완전한 모델이 될 수 없다. 그러나, 추상적 곡면(abstract surface)이라는 개념을 도입하면, 이러한 불편을 우회하고, 유클리드 공리 중 제5공준만 제외하고 모두 성립하는 기하학 모델을 구축할 수 있다. 따라서, 제5공준은 나머지 공리들로부터 독립적이라는 결론이 나온다.

특이점의 지표

방향이 주어진 곡면 $S$ 위의 미분가능한 벡터장 $v$에 대하여, $v(p)=0$을 만족하는 점 $p\in S$를 벡터장 $v$의 특이점(singular point) 이라 한다. 만약 $p$를 포함하는 어떤 근방(neighborhood) 안에 $p$ 이외의 다른 특이점이 존재하지 않으면, $p$를 고립된 특이점(isolated singular point) 이라 한다.

$p$에서의 직교 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$를 잡고, $p$를 유일한 특이점으로 포함하는 작은 단순 영역 $R$의 경계인, 양의 방향을 갖는 조각적 정칙 단순 닫힌 곡선 $\alpha :[0,l]\to S$를 생각한다. 곡선 $\alpha$를 따라 벡터장 $v$를 제한하여 $v(t)=v(\alpha (t))$를 얻는다. 국소 기저벡터 ${\mathbf{x}}_u$와 $v(t)$가 이루는 각을 미분가능한 함수 $\phi (t)$로 나타낼 때, 곡선 $\alpha$를 한 바퀴 돌았을 때의 총 각도 변화량은 $2\pi$의 정수배가 된다.

$$2\pi I=\phi (l)-\phi (0)={\int }_0^l\frac{d\phi }{dt}dt$$

이때 정수 $I$를 특이점 $p$에서 벡터장 $v$의 지표 라고 정의한다. 지표 $I$의 값은 정의 과정에서 이루어진 선택들, 즉 국소 매개변수화 $\mathbf{x}$와 특이점을 둘러싸는 곡선 $\alpha$의 선택에 무관해야 한다.

1. 매개변수화에 대한 독립성 지표의 정의는 기준이 되는 기저벡터 ${\mathbf{x}}_u$에 의존하는 것처럼 보인다. 그러나 이 값은 사실 내재적인 양이다. $T_{\alpha (0)}(S)$에서 단위 벡터 $w_0$를 하나 선택하고 곡선 $\alpha$를 따라 평행이동시켜 벡터장 $w(t)$를 만들자. $w(t)$와 기저벡터 ${\mathbf{x}}_u$가 이루는 각을 $\psi (t)$라 하면, 가우스 곡률의 기하학적 해석으로부터 다음을 얻는다.

$$\psi (l)-\psi (0)={\iint }_{R}Kd\sigma$$

이 식과 지표의 정의식을 빼면 다음과 같다.

$${\iint }_{R}Kd\sigma -2\pi I=(\psi -\phi )(l)-(\psi -\phi )(0)=\Delta (\psi -\phi )$$

여기서 $\psi -\phi$는 벡터장 $v(t)$가 평행이동된 벡터장 $w(t)$와 이루는 각이므로, 기저벡터 ${\mathbf{x}}_u$의 선택과 무관한 기하학적 양이다. 따라서 정수 $I$ 역시 매개변수화 $\mathbf{x}$의 선택에 의존하지 않는다.

2. 곡선 $\alpha$에 대한 독립성 같은 특이점을 둘러싸는 두 개의 다른 곡선 ${\alpha }_0$와 ${\alpha }_1$이 있을 때, 하나를 다른 하나로 연속적으로 변형(homotopy)시킬 수 있다. 지표 $I$는 정수이고 이 변형에 따라 연속적으로 변하므로, 그 값은 변형 내내 일정해야 한다. 따라서 지표는 곡선 $\alpha$의 선택과도 무관하다.

3. 정칙점(Regular Point)에서의 지표 특이점이 아닌 점에서의 지표는 항상 $0$이다. 왜냐하면 그 점에서는 벡터장 $v$ 자체가 영벡터가 아니므로, 기준 기저벡터 ${\mathbf{x}}_u$를 $v$와 같게 선택할 수 있다. 그러면 각도 $\phi (t)$는 항상 $0$이 되어 지표도 $0$이 된다.

푸앵카레의 정리 (Poincaré’s Theorem)

콤팩트 곡면 $S$ 위에 정의된, 고립된 특이점만을 갖는 미분가능한 벡터장 $v$의 모든 특이점 지표들의 합은 곡면 $S$의 오일러-푸앵카레 지표 $\chi (S)$와 같다.

$$\sum _i{I}_i=\chi (S)$$

이 정리는 벡터장 $v$의 특이점 지표들의 합($\sum I_i$)이 벡터장을 어떻게 선택하는지와 무관하게, 오직 곡면의 위상적 형태($\chi (S)$)에 의해서만 결정됨을 보여준다.

예를 들어, 구면($S^2$)의 오일러 지표는 $\chi (S^2)=2$이다. 따라서 구면 위에 어떤 벡터장을 그리더라도, 그 벡터장의 특이점 지표들의 합은 항상 $2$가 되어야 한다. 이는 구면 위에는 특이점이 하나도 없는 미분가능한 벡터장이 존재할 수 없음을 의미한다. (이는 “털이 난 공은 빗질하여 모든 털을 눕힐 수 없다”는 ‘털 난 공 정리(Hairy Ball Theorem)‘와 같은 맥락이다.)

Footnotes

1. 평면 곡선 $\alpha (s)$가 호장(arc length) $s$로 매개변수화되어 있다고 가정하자. 이때 곡선의 단위 접선 벡터(unit tangent vector)는 $\mathbf{T}(s)={\alpha }^{\prime }(s)$로 정의된다. 이 벡터는 항상 단위 벡터이므로, 방향만 달라질 뿐 크기는 유지된다. 따라서 $\mathbf{T}(s)$가 고정된 기준 축 (예: $x$-축)과 이루는 각 을 $\phi (s)$라고 하면, 접선 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다: $\mathbf{T}(s)=(\cos \phi (s),\sin \phi (s))$. 이 표현은 단위 벡터가 방향에 의해 전적으로 결정된다는 사실에 기반한다. 이제 $\mathbf{T}(s)$를 매개변수 $s$에 대해 미분하면, 연쇄법칙(chain rule)에 의해 ${\mathbf{T}}^{\prime }(s)=\left(-\sin \phi (s)\cdot {\phi }^{\prime }(s),\cos \phi (s)\cdot {\phi }^{\prime }(s)\right)$를 얻게 된다. 이는 ${\phi }^{\prime }(s)$를 인수로 묶어 ${\mathbf{T}}^{\prime }(s)={\phi }^{\prime }(s)\cdot (-\sin \phi (s),\cos \phi (s))={\phi }^{\prime }(s)\mathbf{N}(s)$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $\mathbf{N}(s)$는 $\mathbf{T}(s)$를 반시계 방향으로 $\frac{\pi }{2}$만큼 회전시킨 단위 법선 벡터 이다. 한편, 평면 곡선에서의 곡률(curvature) $k(s)$는 프레네-세레 공식(Frenet–Serret formulas)의 첫 번째 식 ${\mathbf{T}}^{\prime }(s)=k(s)\mathbf{N}(s)$에 의해 정의되므로, 위 결과와 비교하면 $k(s)={\phi }^{\prime }(s)=\frac{d\phi }{ds}$라는 결론에 도달한다. 다시 말해, 곡률은 접선 벡터가 기준축에 대해 얼마나 빠르게 회전하는지 를 나타내는 양이며, 이는 곡선이 얼마나 ‘날카롭게’ 꺾이는지를 수치적으로 측정하는 방식이다. ↩