3-3. The Gauss Map in Local Coordinates

가우스 사상(Gauss map)과 제2 기본 형식(second fundamental form)에 관련된 개념들은 국소 좌표계를 사용하여 구체적인 식으로 표현할 수 있다. 이 절에서는 이를 통해 가우스 곡률(Gaussian curvature)과 평균 곡률(mean curvature)을 계산하고, 곡면의 국소적 형태를 분석하는 데 필수적인 공식들을 유도한다.

여기서 사용하는 모든 매개화 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$는 곡면 $S$에 주어진 향(orientation) $N$과 호환된다고 가정한다. 즉, 다음이 성립한다.

$$N=\frac{{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|}$$

가우스 사상 미분(Differential of the Gauss Map)

점 $p\in S$와 그 점에서의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$가 주어졌을 때, 곡선 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$ 위에서 가우스 사상 $N$의 미분 $d{N}_p$는 다음과 같다.

$$d{N}_p({\alpha }^{\prime }(t))=\frac{d}{dt}N(u(t),v(t))=N_u{u}^{\prime }+N_v{v}^{\prime }$$

이때 $N_u$와 $N_v$는 접평면 $T_p(S)$에 속하므로, 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$에 대한 선형 결합으로 표현할 수 있다.

$$\{\begin{array}{l}{N}_u=a_{11}{\mathbf{x}}_u+a_{21}{\mathbf{x}}_v\\ N_v=a_{12}{\mathbf{x}}_u+a_{22}{\mathbf{x}}_v\end{array}$$

따라서 다음이 성립한다.

$$dN({\alpha }^{\prime })=(a_{11}{u}^{\prime }+a_{12}{v}^{\prime }){\mathbf{x}}_u+(a_{21}{u}^{\prime }+a_{22}{v}^{\prime }){\mathbf{x}}_v$$

이를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$dN\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right)$$

이 행렬 $(a_{ij})$는 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$가 정규직교기저가 아닌 한, 일반적으로 대칭행렬이 아니다. 한편, 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$에 대한 제2 기본 형식은 다음과 같이 주어진다.

$$\begin{array}{rl}I{I}_p({\alpha }^{\prime })& =-⟨dN({\alpha }^{\prime }),{\alpha }^{\prime }⟩\\ & =-⟨N_u{u}^{\prime }+N_v{v}^{\prime },{\mathbf{x}}_u{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_v{v}^{\prime }⟩\\ & =e(u^{\prime }{)}^2+2f{u}^{\prime }{v}^{\prime }+g(v^{\prime }{)}^2\end{array}$$

이때 제2 기본 형식의 계수 $e,f,g$는 $⟨N,{\mathbf{x}}_u⟩=⟨N,{\mathbf{x}}_v⟩=0$이므로 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{array}{rl}e& =-⟨N_u,{\mathbf{x}}_u⟩=⟨N,{\mathbf{x}}_{uu}⟩\\ f& =-⟨N_v,{\mathbf{x}}_u⟩=⟨N,{\mathbf{x}}_{uv}⟩=⟨N,{\mathbf{x}}_{vu}⟩=-⟨N_u,{\mathbf{x}}_v⟩\\ g& =-⟨N_v,{\mathbf{x}}_v⟩=⟨N,{\mathbf{x}}_{vv}⟩\end{array}$$

바인가르텐 방정식 (Weingarten Equations)

$dN$의 행렬 성분 $(a_{ij})$는 제1 및 제2 기본 형식의 계수들로 표현될 수 있다.

$$\begin{array}{rl}-e& =⟨N_u,{\mathbf{x}}_u⟩=a_{11}E+a_{21}F\\ -f& =⟨N_u,{\mathbf{x}}_v⟩=a_{11}F+a_{21}G\\ -f& =⟨N_v,{\mathbf{x}}_u⟩=a_{12}E+a_{22}F\\ -g& =⟨N_v,{\mathbf{x}}_v⟩=a_{12}F+a_{22}G\end{array}$$

이 관계식들은 다음 행렬 방정식으로 요약된다.

$$-\left(\begin{array}{cc}e& f\\ f& g\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)$$

따라서 $(a_{ij})$는 다음과 같다.

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}e& f\\ f& g\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)}^{-1}$$

여기서 제1 기본 형식 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

$${\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{EG-F^2}\left(\begin{array}{cc}G& -F\\ -F& E\end{array}\right)$$

이를 통해 $dN$의 행렬 성분을 다음과 같이 명시적으로 구할 수 있다. 이 관계식을 바인가르텐 방정식이라 한다.

$$\begin{array}{r}{a}_{11}=\frac{fF-eG}{EG-F^2},a_{12}=\frac{gF-fG}{EG-F^2}\\ a_{21}=\frac{eF-fE}{EG-F^2},a_{22}=\frac{fF-gE}{EG-F^2}\end{array}$$

바인가르텐 방정식으로부터 가우스 곡률 $K$와 평균 곡률 $H$를 제1, 제2 기본 형식의 계수들로 표현할 수 있다. 가우스 곡률 $K$는 $dN$의 행렬식이다.

$$K=\det (a_{ij})=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$$

주곡률 $k_1,k_2$는 $-dN$의 고윳값(eigenvalue)이므로, $v\in T_p(S),v\ne 0$에 대하여 $dN(v)=-kv$를 만족한다. 이는 선형 변환 $dN+kI$가 비가역적임을 의미하며, 따라서 행렬식은 $0$이 된다.

$$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}+k& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}+k\end{array}\right)=0$$

이므로,

$$k^2+k(a_{11}+a_{22})+a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}=0$$

이 이차 방정식의 두 근이 $k_1,k_2$이므로, 근과 계수의 관계에 의해 평균 곡률 $H$는 다음과 같다.

$$H=\frac{1}{2}(k_1+k_2)=-\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})=\frac{1}{2}\frac{eG-2fF+gE}{EG-F^2}$$

결과적으로 주곡률 $k$는 다음의 특성 방정식을 만족한다.

$$k^2-2Hk+K=0$$

따라서 주곡률은 다음과 같이 구해진다.

$$k=H\pm \sqrt{H^2-K}$$

곡면의 국소적 위치 (Local Position of the Surface)

점 $p$를 원점으로, $T_p(S)$를 $xy$-평면으로 설정하면, $p$ 근방의 점 $q=\mathbf{x}(u,v)$에서 접평면까지의 거리 $d$는 테일러 전개에 의해 다음과 같이 근사된다.

$$d=⟨\mathbf{x}(u,v)-\mathbf{x}(0,0),N(p)⟩\approx \frac{1}{2}\left(e{u}^2+2fuv+g{v}^2\right)=\frac{1}{2}I{I}_p(w)$$

여기서 $w=u{\mathbf{x}}_u+v{\mathbf{x}}_v$이다.

• 타원점 (Elliptic point, $K>0$): $eg-f^2>0$이므로 $I{I}_p$는 정부호(positive definite) 또는 음부호(negative definite)이다. 따라서 곡면은 국소적으로 접평면의 한쪽에만 놓인다.
• 쌍곡점 (Hyperbolic point, $K<0$): $eg-f^2<0$이므로 $I{I}_p$는 부정부호(indefinite)이다. 따라서 곡면은 $p$의 임의의 근방에서 접평면의 양쪽에 걸쳐 존재한다.

점근선과 곡률선 (Asymptotic Curves and Lines of Curvature)

• 점근선(Asymptotic Curve)은 법곡률이 $0$인 방향, 즉 $I{I}_p({\alpha }^{\prime })=0$인 방향을 따르는 곡선이다. 점근선의 미분 방정식은 다음과 같다.

$$e(u^{\prime }{)}^2+2f{u}^{\prime }{v}^{\prime }+g(v^{\prime }{)}^2=0$$

• 곡률선(Line of Curvature)은 모든 점에서 접선 방향이 주곡률 방향과 일치하는 곡선이다. 곡률선의 미분 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$$(fE-eF)(u^{\prime }{)}^2+(gE-eG)u^{\prime }{v}^{\prime }+(gF-fG)(v^{\prime }{)}^2=0$$

• 비제점(non-umbilical point) 근방에서 좌표곡선이 곡률선이 될 필요충분조건은 $F=f=0$이다. 이 경우 주곡률은 $k_1=e/E,k_2=g/G$로 매우 간단하게 계산된다.¹

가우스 곡률의 기하학적 해석 (Geometric Interpretation of Gaussian Curvature)

가우스 곡률 $K(p)$는 가우스 사상 $N:S\to S^2$이 점 $p$ 근방의 면적을 어떻게 변화시키는지를 나타낸다. 점 $p$를 포함하고 면적이 $A$인 작은 영역 $B\subset S$와 그 상 $N(B)$의 (부호를 고려한) 면적 $A^{\prime }$ 사이에는 다음 관계가 성립한다.

$$K(p)=\underset{A\to 0}{\lim }\frac{A^{\prime }}{A}$$

여기서 면적 $A^{\prime }$는 $K(p)>0$이면 양수, $K(p)<0$이면 음수로 간주한다. 이는 가우스 사상이 타원점($K>0$)에서는 향을 보존하고, 쌍곡점($K<0$)에서는 향을 반전시키기 때문이다. 이는 다음 수식으로 설명된다.

$$|N_u\wedge N_v|=|K||{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|$$

따라서, 부호를 고려한 면적의 적분은 다음과 같다.

$$A^{\prime }={\iint }_R(N_u\wedge N_v)dudv={\iint }_{R}K({\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v)dudv={\iint }_{R}K\sqrt{EG-F^2}dudv$$

이로부터 위의 극한 관계가 유도된다.

평면 곡선 $C$ 위의 한 점 $p$에서의 곡률 $k$는, $p$를 포함하는 미소 호의 길이 $s$와 그에 대응하는 접선 지시곡선(tangent indicatrix)의 호의 길이 $\sigma$ 사이의 비율의 극한으로 정의된다. 즉, 호의 길이가 $0$으로 수렴할 때의 비율값이다.²

$$k=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\sigma }{s}$$

• 평면 곡선 $C$가 주어졌을 때, 곡선 위의 각 점에서의 단위 접선벡터(unit tangent vector) $t={\alpha }^{\prime }(s)$를 생각할 수 있다. 이 벡터들은 크기가 $1$이고 곡선에 접하는 방향을 가리킵니다. 이 모든 접선벡터들을 원점으로 평행이동시키면, 벡터들의 끝점은 중심이 원점이고 반지름이 $1$인 단위 원(unit circle) 위에 새로운 곡선을 그린다. 이렇게 만들어진 새로운 곡선을 접선 지시곡선(tangent indicatrix)이라고 한다.

주요 예제

원환면 (Torus)

매개화 $\mathbf{x}(u,v)=((a+r\cos u)\cos v,(a+r\cos u)\sin v,r\sin u)$로 주어진 원환면의 경우,

• 제1 기본 형식 계수: $E=r^2,F=0,G=(a+r\cos u{)}^2$
• 제2 기본 형식 계수: $e=\frac{({\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_{uu})}{\sqrt{EG-F^2}}=r,f=0,g=\cos u(a+r\cos u)$
• 가우스 곡률: $K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=\frac{r\cos u(a+r\cos u)}{r^2(a+r\cos u{)}^2}=\frac{\cos u}{r(a+r\cos u)}$ $K$의 부호에 따라 원환면은 타원점($-\pi /2<u<\pi /2$), 쌍곡점($\pi /2<u<3\pi /2$), 포물점($u=\pi /2,3\pi /2$)으로 구성된 영역들로 나뉜다.

회전곡면 (Surfaces of Revolution)

생성곡선이 호장 $v$로 매개화된 $\mathbf{x}(u,v)=(\varphi (v)\cos u,\varphi (v)\sin u,\psi (v))$이고 $({\varphi }^{\prime }{)}^2+({\psi }^{\prime }{)}^2=1$일 때, $F=f=0$이므로 자오선과 평행선은 곡률선이다. 가우스 곡률과 주곡률은 다음과 같다.

• 가우스 곡률: $K=-\frac{{\varphi }^{\prime \prime }(v)}{\varphi (v)}$
• 주곡률: $k_1=-\frac{{\psi }^{\prime }(v)}{\varphi (v)},k_2={\varphi }^{\prime \prime }(v){\psi }^{\prime }(v)-{\varphi }^{\prime }(v){\psi }^{\prime \prime }(v)$

함수의 그래프 (Graph of a Function)

곡면이 $z=h(x,y)$로 주어지고 $(u,v)=(x,y)$로 매개화하면, 제2 기본 형식의 계수는 다음과 같다.

$$e=\frac{h_{xx}}{\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}},f=\frac{h_{xy}}{\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}},g=\frac{h_{yy}}{\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}}$$

가우스 곡률과 평균 곡률은 다음과 같다.

$$K=\frac{h_{xx}{h}_{yy}-h_{xy}^2}{(1+h_x^2+h_y^2{)}^2},H=\frac{(1+h_y^2)h_{xx}-2h_x{h}_y{h}_{xy}+(1+h_x^2)h_{yy}}{2(1+h_x^2+h_y^2{)}^{3/2}}$$

점 $p$를 원점으로, $T_p(S)$를 $xy$-평면으로 설정하면($h_x(0,0)=h_y(0,0)=0$), $p$에서의 제2 기본 형식은 함수 $h$의 헤세 행렬(Hessian matrix)에 의해 결정되는 이차 형식 $h_{xx}{x}^2+2h_{xy}xy+h_{yy}{y}^2$과 같다.

Footnotes

1. $K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$, $H=\frac{1}{2}\frac{eG-2fF+gE}{EG-F^2}$에서 $F=0,f=0$ 조건을 적용하면 $K=\frac{eg}{EG}$, $H=\frac{1}{2}\frac{eG+gE}{EG}$로 단순화 된다. $K=k_1{k}_2$와 $H=\frac{1}{2}(k_1+k_2)$에서 $k_1=\frac{e}{E},k_2=\frac{g}{G}$이므로, 주곡률은 $k_1=\frac{e}{E},k_2=\frac{g}{G}$로 계산된다. 따라서 곡률선은 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$가 정규직교기저를 이루는 비제점에서만 존재한다. ↩

2. 결과적으로 곡률은 곡선의 지시곡선이 얼마나 빨리 회전하는지를 나타내는 척도이다. ↩