4-4. Parallel Transport. Geodesics.

적도에서 북극를 향해 걷고 있다고 하자. 손에 든 나침반 바늘은 항상 북쪽을 가리키도록 유지된다면, 당신은 나침반의 방향을 바꾸지 않았다고 느낄 것이다. 하지만, 다른 사람이 우주에서 지구를 보고 있다면, 나침반의 방향은 계속 바뀌고 있다. 지구가 둥글기 때문에 기저 좌표계가 위치에 따라 회전하고 있기 때문이다.

이때, 당신이 자연스럽게 방향을 유지했다고 느낀 방식이 바로 공변미분의 개념이다. 공변미분은 단순히 벡터의 변화율을 보는 것이 아니라, 공간이 어떻게 휘어져 있는지를 고려하여 “기준 좌표계 자체의 변화”까지 함께 보정하는 미분이다.

공변미분 (Covariant Derivative)

열린집합 $U\subset S$에서 정의된 미분가능한 벡터장(vector field) $\mathbf{w}$와 점 $p\in U$가 주어졌다고 하자. 어떤 벡터 $\mathbf{y}\in T_p(S)$에 대하여,

$$\alpha :(-ϵ,ϵ)\to U$$

가 $\alpha (0)=p,{\alpha }^{\prime }(0)=\mathbf{y}$를 만족하는 매개화된 곡선일 때, 곡선 $\alpha$를 따라 정의된 벡터장 $\mathbf{w}(t)$의 통상적인 도함수 $\frac{d\mathbf{w}}{dt}(0)$를 접평면 $T_p(S)$ 위로 정사영(normal projection)하여 얻은 벡터를 벡터장 $\mathbf{w}$의 벡터 $\mathbf{y}$에 대한 점 $p$에서의 공변미분(covariant derivative) 라 하고, 이를 $(\frac{D\mathbf{w}}{dt})(0)$ 또는 $(D_{\mathbf{y}}\mathbf{w})(p)$로 표기한다.

$p$에서의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$를 이용하여 공변미분를 표현하면 다음과 같다. 곡선 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$와 이 곡선을 따르는 벡터장 $\mathbf{w}(t)=a(t){\mathbf{x}}_u+b(t){\mathbf{x}}_v$에 대하여,

$$\frac{d\mathbf{w}}{dt}=a({\mathbf{x}}_{uu}{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_{uv}{v}^{\prime })+b({\mathbf{x}}_{vu}{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_{vv}{v}^{\prime })+a^{\prime }{\mathbf{x}}_u+b^{\prime }{\mathbf{x}}_v$$

이다. 여기서 $\frac{D\mathbf{w}}{dt}$는 $\frac{d\mathbf{w}}{dt}$의 접성분이므로, 4-3.절의 식 (1)을 이용하여 법성분을 제거하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}\frac{D\mathbf{w}}{dt}=& (a^{\prime }+{\Gamma }_{11}^{1}a{u}^{\prime }+{\Gamma }_{12}^{1}a{v}^{\prime }+{\Gamma }_{12}^{1}b{u}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^{1}b{v}^{\prime }){\mathbf{x}}_u\\ +& (b^{\prime }+{\Gamma }_{11}^{2}a{u}^{\prime }+{\Gamma }_{12}^{2}a{v}^{\prime }+{\Gamma }_{12}^{2}b{u}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^{2}b{v}^{\prime }){\mathbf{x}}_v\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

이 식은 공변미분가 벡터 $\mathbf{y}=(u^{\prime },v^{\prime })$에만 의존하며 곡선 $\alpha$의 선택과는 무관함을 보여준다. 또한, 크리스토펠 기호(${\Gamma }_{ij}^k$)를 통해 표현되므로 제1 기본 형식에만 의존하는 내재적 개념임을 알 수 있다.

정칙

매개화된 곡선 $\alpha :[0,l]\to S$는 $(0-ϵ,ϵ),(ϵ>0)$에서 $S$로 정의된 미분가능한 사상을 $[0,l]=I$로 제한한 것이다. $\alpha (0)=p$이고, $\alpha (l)=q$이면 $\alpha$가 두 점 $p,q$를 연결한다고 한다. $t\in I$에 대하여 ${\alpha }^{\prime }(t)\ne 0$이면 $\alpha$는 정칙 곡선(regular)이라 한다.

미분가능

매개화된 곡선 $\alpha :I\to S$에 대하여, $\alpha$를 따라 존재하는 벡터장 $\mathbf{w}$는 각 $t\in I$에 대해 다음과 같은 벡터를 부여하는 대응이다.

$$\mathbf{w}(t)\in T_{\alpha (t)}(S)$$

벡터장 $\mathbf{w}$가 주어질 때, 점 $\alpha (t_0)$에서의 어떤 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$에 대하여, 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$로 나타낸 $\mathbf{w}=a{\mathbf{x}}_u+b{\mathbf{x}}_v$의 성분함수 $a(t),b(t)$가 점 $t_0$에서 $t$에 대한 미분가능함수이면, 벡터장 $\mathbf{w}$는 점 $p$에서 미분가능 하다고 한다. $\mathbf{w}$가 모든 점 $t\in I$에서 미분가능하면, $I$에서 미분가능하다고 한다.

공변미분

곡선 $\alpha$를 따르는 미분가능한 벡터장 $\mathbf{w}$에 대하여, $\frac{D\mathbf{w}}{dt}(t)$는 (1)에 따라 잘 정의되어 있고, 점 $t$에서 $\mathbf{w}$의 공변미분라 한다.

곡면의 외재적 관점에서 점 $t\in I$에서 곡선 $\alpha (t)$를 따라 존재하는 벡터장 $\mathbf{w}(t)$의 공변미분을 구하기 위해 $t$에서 $\mathbf{w}$의 통상적인 도함수 $\frac{d\mathbf{w}}{dt}(t)$를 구하고, 이를 접평면 $T_{\alpha (t)}(S)$에 정사영한다. 만약 두 곡면이 매개화된 곡선 $\alpha$를 따라 접한다면, $\mathbf{w}(t)$의 공변미분은 두 곡면 모두에서 동일하다.

$\alpha (t)$가 $S$ 위의 곡선이면, 이 곡선을 곡면 위에서 움직이는 점의 궤적이라 생각할 수 있다. 이때, ${\alpha }^{\prime }(t)$는 $\alpha$의 속도벡터이고, ${\alpha }^{\prime \prime }$는 $\alpha$의 가속도벡터이다. 벡터장 ${\alpha }^{\prime }(t)$의 공변도함수 $\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}$은 가속도벡터 ${\alpha }^{\prime \prime }(t)$의 접성분(tangential component) 이다. 직관적으로 공변미분 $\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}$는 곡면 위에서 본 가속도(acceleration)로 해석될 수 있다.

평행(Parallel)

매개화된 곡선 $\alpha :I\to S$를 따르는 벡터장 $\mathbf{w}$가 모든 $t\in I$에서 $\frac{D\mathbf{w}}{dt}=0$을 만족할 때, 평행 (parallel) 하다고 한다.

평면의 특수한 경우에서 매개화된 곡선을 따르는 평행한 벡터장(parallel vector field) 은 곡선을 따르는 상수벡터장의 개념으로 축소된다.

• 곡선 $\alpha$를 따라 평행한 두 벡터장 $\mathbf{v},\mathbf{w}$가 주어졌을 때, 내적 $⟨\mathbf{v}(t),\mathbf{w}(t)⟩$는 상수이다. 결과적으로, $|\mathbf{v}(t)|,|\mathbf{w}(t)|$ 및 두 벡터 사이의 각은 일정하게 유지된다.

• 곡선 $\alpha :I\to S$와 점 $t_0\in I$에서의 벡터 ${\mathbf{w}}_0\in T_{\alpha (t_0)}(S)$가 주어지면, 초기 조건 $\mathbf{w}(t_0)={\mathbf{w}}_0$를 만족하는 유일한 평행 벡터장(parallel vector field) $\mathbf{w}(t)$가 곡선 $\alpha (t)$를 따라 존재한다.

평행이동(Parallel Transport)

곡선 $\alpha :I\to S$와 점 $t_0\in I$에서의 벡터 ${\mathbf{w}}_0\in T_{\alpha (t_0)}(S)$에 대하여, $\mathbf{w}(t_0)={\mathbf{w}}_0$를 만족하는 평행 벡터장을 $\mathbf{w}(t)$라 할 때, 벡터 $\mathbf{w}(t_1)$ ($t_1\in I$)을 벡터 ${\mathbf{w}}_0$를 곡선 $\alpha$를 따라 점 $t_1$으로 평행이동(parallel transport) 한 벡터라고 한다.

이 평행이동은 곡선 $\alpha (I)$의 정칙 매개화 방식에 의존하지 않는다. 두 곡면이 곡선 $\alpha$를 따라 접할 때, 한 벡터의 평행이동은 두 곡면 모두에서 동일하다.

• 만약 곡선 $\alpha :I\to S$가 정칙(regular)이라면, 평행이동은 곡선 $\alpha (I)$의 매개화(parametrization) 방식에 의존하지 않는다. 사실, $\beta :J\to S,\sigma \in J$가 $\alpha (I)$의 또 다른 정칙 매개화라면, 다음이 성립한다.

$$\frac{D\mathbf{w}}{d\sigma }=\frac{D\mathbf{w}}{dt}\frac{dt}{d\sigma },t\in I,\sigma \in J$$

$\frac{dt}{d\sigma }\ne 0$이므로, $\mathbf{w}(t)$가 평행인 것과 $\mathbf{w}(\sigma )$가 평행인 것은 동치이다.

• 평행이동의 성질 : 두 점 $p,q\in S$를 잇는 매개화된 곡선 $\alpha :I\to S$ ($\alpha (0)=p,\alpha (1)=q$)가 주어졌을 때, 평행이동 사상 $P_{\alpha }:T_p(S)\to T_q(S)$는 각 벡터 $v\in T_p(S)$를 $\alpha$를 따른 평행이동 벡터에 대응시킨다. 평행한 두 벡터의 내적은 상수이므로, 이 사상은 선형 등거리 변환(linear isometry)이다.

• 두 곡면이 접할 때의 평행이동 : 두 곡면 $S$와 $\bar{S}$가 매개화된 곡선 $\alpha$를 따라 접하고(tangent), ${\mathbf{w}}_0$가 $T_{\alpha (t_0)}(S)=T_{\alpha (t_0)}(\bar{S})$의 벡터일 때, $\mathbf{w}(t)$가 곡면 $S$에 대한 ${\mathbf{w}}_0$의 평행이동일 필요충분조건은 $\mathbf{w}(t)$가 곡면 $\bar{S}$에 대한 ${\mathbf{w}}_0$의 평행이동인 것이다. 이는 공변도함수 $\frac{D\mathbf{w}}{dt}$가 두 경우 모두 동일하며, 평행이동의 유일성에 의해 성립한다.

조각난 정칙곡선

사상 $\alpha :[0,l]\to S$가 연속이고, 구간 $[0,l]$의 분할 $0=t_0<t_1<\cdots <t_k=l$이 존재하여 각 소구간 $[t_i,t_{i+1}]$ ($i=0,\dots ,k-1$)에서 $\alpha$의 제한(restriction)이 매개화된 정칙 곡선일 때, $\alpha$를 조각적 정칙 곡선 (piecewise regular curve)이라 한다.

평행이동의 개념은 조각적 정칙 곡선으로 쉽게 확장될 수 있다. 한 정칙 호(regular arc) $\alpha {|}_{[t_i,t_{i+1}]}$에서 평행이동을 수행하고, 그 끝점 $\alpha (t_{i+1})$에서의 결과를 다음 호 $\alpha {|}_{[t_{i+1},t_{i+2}]}$의 초기 벡터로 삼아 과정을 반복하면 된다.

측지선 (Geodesics)

상수가 아닌 매개화된 곡선 $\gamma :I\to S$가 점 $t\in I$에서 자신의 접선 벡터장 ${\gamma }^{\prime }(t)$이 평행할 때, 즉 다음을 만족할 때 $\gamma$는 점 $t$에서 측지선 (geodesic)이라고 한다.

$$\frac{D{\gamma }^{\prime }(t)}{dt}=0$$

만약 모든 $t\in I$에 대해 측지선이면, $\gamma$를 매개화된 측지선 (parametrized geodesic)이라고 한다.

• 측지선의 속력 $|{\gamma }^{\prime }(t)|$는 일정하다 ($|{\gamma }^{\prime }(t)|=\text{const.}=c\ne 0$). 따라서 호의 길이 $s=ct$를 매개변수로 도입할 수 있으며, 이는 측지선의 매개변수 $t$가 호의 길이에 비례함을 의미한다.
• 측지선의 접선 벡터는 절대 0이 아니므로, 그 매개화는 항상 정칙 (regular)이다.

• 정칙 연결 곡선 $C\subset S$가 측지선 이라는 것은, $C$ 위의 모든 점 $p$에 대해 호의 길이 $s$로 매개화한 $\alpha (s)$가 매개화된 측지선, 즉 ${\alpha }^{\prime }(s)$가 $\alpha (s)$를 따라 평행한 벡터장인 것을 의미한다.

곡면 $S$의 외부에서 보면, ${\alpha }^{\prime \prime }(s)=kn$이 접평면의 법벡터, 즉 곡면의 법벡터와 평행하다는 사실과 동치이다.

측지 곡률 (Geodesic Curvature)

향이 주어진 곡면 $S$ 위의 곡선 $\alpha :I\to S$를 따르는 단위 벡터장(unit vector field) $\mathbf{w}$를 생각하자. $\mathbf{w}(t)$는 단위 벡터이므로, 도함수 $\frac{d\mathbf{w}}{dt}(t)$는 $\mathbf{w}(t)$에 수직이다.¹ 따라서 공변도함수(covariant derivative)는 다음과 같은 형태로 표현된다.

$$\frac{D\mathbf{w}}{dt}=\lambda (\mathbf{N}\wedge \mathbf{w}(t))$$

이때 실수 $\lambda =\lambda (t)$를 $\mathbf{w}$의 공변도함수의 대수적 값 (algebraic value)이라 하고, $[\frac{D\mathbf{w}}{dt}]$로 표기한다.

• 이 값은 내적을 통해 계산할 수 있으며, 곡면 $S$의 향에 따라 부호가 달라진다.

$$\left[\frac{D\mathbf{w}}{dt}\right]=⟨\frac{d\mathbf{w}}{dt},\mathbf{N}\wedge \mathbf{w}⟩$$

평행이동(parallel transport)이나 측지선(geodesic)의 정의는 곡면의 향에 의존하지 않지만, 여기서 정의하는 측지 곡률은 곡면의 향이 바뀌면 부호가 바뀐다.

향이 주어진 곡면 $S$ 위에 있는 향이 주어진 정칙 곡선 $C$를 생각하자. 점 $p\in C$ 근방에서 $C$를 호의 길이 $s$로 매개화한 곡선을 $\alpha (s)$라 할 때, 접선벡터장 ${\alpha }^{\prime }(s)$의 공변도함수의 대수적 값 $[\frac{D{\alpha }^{\prime }}{ds}]$를 점 $p$에서 곡선 $C$의 측지 곡률 (geodesic curvature)이라 하고, $k_g$로 표기한다.

$$k_g(s)=\left[\frac{D{\alpha }^{\prime }(s)}{ds}\right]$$

• 측지선 (Geodesics) 은 측지 곡률이 영($k_g=0$)인 정칙 곡선으로 특징지어진다.

• 곡선 $C$의 점 $p$에서의 곡률벡터 $kn$의 접평면(tangent plane)에 대한 접성분(tangential component)의 크기는 $|k_g|$와 같다. 곡선의 곡률 $k$, 법곡률 $k_n$, 측지 곡률 $k_g$ 사이에는 다음과 같은 중요한 관계가 성립한다.

$$k^2=k_n^2+k_g^2$$

• 측지 곡률 $k_g$의 부호는 곡면 $S$의 향 또는 곡선 $C$의 향이 바뀌면 반대로 바뀐다.
• 두 곡면이 정칙 곡선 $C$를 따라 접할 경우, $C$의 측지 곡률의 절댓값은 두 곡면 어느 쪽에서 계산하든 동일하다.

두 단위 벡터장 사이의 각 정의

곡선을 따르는 두 단위 벡터장 사이의 각을 일관되게 정의하기 위해, 미분가능한 각 함수 $\phi (t)$를 도입해야 한다.

곡선 $\alpha :I\to S$를 따르는 두 단위 벡터장 $\mathbf{v}(t)$와 $\mathbf{w}(t)$가 주어졌다고 하자. $\{\mathbf{v}(t),\bar{\mathbf{v}}(t)\}$가 각 점 $t$에서 양의 방향을 갖는 정규직교기저(orthonormal basis)가 되도록 새로운 벡터장 $\bar{\mathbf{v}}(t)$를 정의한다. 그러면 $\mathbf{w}(t)$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\mathbf{w}(t)=a(t)\mathbf{v}(t)+b(t)\bar{\mathbf{v}}(t)$$

여기서 $a(t)$와 $b(t)$는 $a^2+b^2=1$을 만족하는 미분가능한 함수다.

$t_0\in I$에서 초기 각 ${\phi }_0$가 $a(t_0)=\cos {\phi }_0,b(t_0)=\sin {\phi }_0$를 만족할 때, 다음의 미분가능한 함수

$$\phi (t)={\phi }_0+{\int }_{t_0}^t(a{b}^{\prime }-b{a}^{\prime })dt$$

는 모든 $t\in I$에 대해 $\cos \phi (t)=a(t),\sin \phi (t)=b(t)$를 만족하며 $\phi (t_0)={\phi }_0$ 이다.

두 단위 벡터장 사이의 각의 변화

곡선을 따르는 두 단위 벡터장 사이의 각의 변화는 각 벡터장의 공변도함수와 직접적으로 관련된다.

곡선 $\alpha :I\to S$를 따르는 미분가능한 두 단위 벡터장 $\mathbf{v}(t)$와 $\mathbf{w}(t)$가 주어졌다고 하자. 보조정리 1에 의해 정의된, $\mathbf{v}$에서 $\mathbf{w}$까지의 미분가능한 각 함수를 $\phi$라 하면 다음이 성립한다.

$$\left[\frac{D\mathbf{w}}{dt}\right]-\left[\frac{D\mathbf{v}}{dt}\right]=\frac{d\phi }{dt}$$

이 보조정리의 중요한 결과 중 하나는, 만약 $\mathbf{v}(s)$가 평행 벡터장($\frac{D\mathbf{v}}{ds}=0$)이고 $\mathbf{w}(s)={\alpha }^{\prime }(s)$가 곡선의 단위 접선 벡터장이라면, 곡선의 측지 곡률 (geodesic curvature) $k_g(s)$은 다음과 같이 표현된다는 것이다.

$$k_g(s)=\left[\frac{D{\alpha }^{\prime }}{ds}\right]=\frac{d\phi }{ds}$$

즉, 측지 곡률은 평행 방향에 대한 곡선 접선의 각변화율이다. 평면의 경우, 평행 방향이 고정되어 있으므로 측지 곡률은 일반적인 곡률과 일치한다.

공변도함수의 대수적 값

곡선을 따르는 두 단위 벡터장 사이의 각의 변화를 이용하면, 직교 매개변수계에서 공변도함수의 대수적 값을 구하는 구체적인 표현을 얻을 수 있다.

향이 주어진 곡면 $S$의 한 근방이 직교 매개변수계($F=0$) $\mathbf{x}(u,v)$로 주어졌다고 하자. 곡선 $\mathbf{x}(u(t),v(t))$를 따르는 미분가능한 단위 벡터장 $\mathbf{w}(t)$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\left[\frac{D\mathbf{w}}{dt}\right]=\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(G_u\frac{dv}{dt}-E_v\frac{du}{dt}\right)+\frac{d\phi }{dt}$$

여기서 $\phi (t)$는 주어진 향에서 ${\mathbf{x}}_u$로부터 $\mathbf{w}(t)$까지의 각이다.

리우빌 공식 (Liouville’s Formula)

향이 주어진 곡면 $S$ 위의 정칙 곡선 $C$를 호의 길이 $s$로 매개화한 곡선을 $\alpha (s)$라 하자. 점 $p\in C$에서 $S$의 직교 매개변수계($F=0$) $\mathbf{x}(u,v)$가 주어지고, ${\mathbf{x}}_u$와 ${\alpha }^{\prime }(s)$가 이루는 각을 $\phi (s)$라 하면, 다음이 성립한다.

$$k_g=(k_g{)}_1\cos \phi +(k_g{)}_2\sin \phi +\frac{d\phi }{ds}\text{\hspace{1em}(3)}$$

여기서 $(k_g{)}_1$과 $(k_g{)}_2$는 각각 좌표곡선 $v=\text{const.}$와 $u=\text{const.}$의 측지 곡률이다.

측지선의 미분방정식 (Differential Equations of the Geodesics)

측지선은 접선벡터장이 평행한 곡선으로, 이 조건은 국소 좌표계에서 미분방정식으로 표현된다. 점 $p\in S$ 근방의 매개변수 표현 $\mathbf{x}(u,v)$ 내에 곡선 $\gamma (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$가 있다고 하자. 이 곡선의 접선벡터장 $\mathbf{w}={\gamma }^{\prime }(t)$는 다음과 같이 주어진다.

$$\mathbf{w}=u^{\prime }(t){\mathbf{x}}_u+v^{\prime }(t){\mathbf{x}}_v$$

벡터장 $\mathbf{w}$가 평행하다는 조건, 즉 $\frac{D\mathbf{w}}{dt}=0$이라는 조건은 다음의 연립 미분방정식과 동치이다.

$$\begin{array}{rl}{u}^{\prime \prime }+{\Gamma }_{11}^1(u^{\prime }{)}^2+2{\Gamma }_{12}^1{u}^{\prime }{v}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^1(v^{\prime }{)}^2& =0\\ v^{\prime \prime }+{\Gamma }_{11}^2(u^{\prime }{)}^2+2{\Gamma }_{12}^2{u}^{\prime }{v}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^2(v^{\prime }{)}^2& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

이 방정식계는 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$의 계수를 $0$으로 둠으로써 얻어진다. 다시 말해, 곡선 $\gamma :I\to S$가 측지선이라는 것은, $\gamma (J)$가 좌표근방 안에 포함되는 모든 구간 $J\subset I$에 대하여 위 방정식계 $(4)$가 만족된다는 것과 동치이다. 이 방정식계 $(4)$는 측지선의 미분방정식 으로 알려져 있다.

측지선의 존재성 및 유일성

곡면 $S$ 위의 한 점 $p$와 영벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{w}\in T_p(S)$가 주어졌을 때, $ϵ>0$과 초기 조건 $\gamma (0)=p,{\gamma }^{\prime }(0)=\mathbf{w}$를 만족하는 유일한 매개화된 측지선 $\gamma :(-ϵ,ϵ)\to S$가 존재한다.

• $\mathbf{w}\ne 0$ 조건이 필요한 이유는, 매개화된 측지선의 정의에서 상수 곡선(constant curves)을 제외했기 때문이다.

클레로의 관계(Clairaut’s Relation)는 회전곡면(surface of revolution) 위의 측지선(geodesic)이 갖는 중요한 성질을 설명하는 공식입니다.

클레로의 관계 (Clairaut’s Relation)

회전곡면 위의 한 측지선이 평행권(parallel)²과 만나는 각을 $\theta$라 하고, 그 평행권의 반지름을 $r$이라 할 때, 측지선을 따라 움직이는 동안 다음의 관계가 항상 성립한다.

$$r\cos \theta =\text{const.}$$

여기서 각 $\theta$는 측지선의 접선 벡터와 평행권의 접선 벡터 사이의 각을 의미한다.

측지선이 회전축에 가까워져 평행권의 반지름 $r$이 감소하면, $\cos \theta$는 증가해야 하므로 각 $\theta$는 $0$에 가까워진다. 이는 측지선이 평행선에 거의 접하는 방향으로 나아감을 의미한다.

• $\cos \theta \le 1$ 이므로, 측지선은 반지름이 $|c|$보다 작은 평행권으로 진입할 수 없다. 즉, 측지선은 반지름이 $r=|c|$인 평행선에 접하게 되며($\theta =0$), 이 지점에서 회전축으로부터 가장 가까워진 뒤 다시 멀어진다.
• 만약 한 측지선이 자오선(meridian)이라면, 모든 점에서 평행선과 수직으로 만나므로 $\theta =\pi /2$이고 $\cos \theta =0$이다. 따라서 상수 $c=0$이 된다. 역으로, 만약 $c=0$이라면, 측지선은 자오선이어야 한다. 이 때문에 자오선이 아닌 측지선은 절대 회전축에 도달할 수 없다($r=0$이 될 수 없다).

Footnotes

1. $\frac{D\mathbf{w}}{dt}={\text{Proj}}_{T_{\alpha (t)}S}\left(\frac{d\mathbf{w}}{dt}\right)$ ↩

2. 평행권은 회전곡면(surface of revolution)이라는 특정 3차원 도형에서만 정의되는 개념이다. 하나의 곡선(생성곡선)을 하나의 축(회전축)을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면이 회전곡면인데, 이때 생성곡선 위의 각 점들이 회전하면서 그리는 원을 평행권이라고 한다. ↩