4-3. The Gauss Theorem and the Equations of Compatibility

자동차 운전을 생각해보자. 평평한 길 위에서는 가속페달을 밟으면 가속도 벡터가 도로면에 평행하다. 하지만 언덕 꼭대기를 넘는 순간을 생각해보자. 몸이 위로 살짝 뜨는 느낌이 든다. 이 순간의 가속도 벡터(${\mathbf{x}}_{ij}$}는 도로면에 평행한 성분뿐만 아니라, 도로면에서 위로 솟아오르는 성분도 가지고 있다.

$S$를 정칙이고 가향인 곡면이라 가정하고, 방향 $N$을 고정한다. $S$ 위의 한 점 $p$에 대한 매개화 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$가 주어졌을 때, 각 점 $\mathbf{x}(U)$에는 벡터들 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v,N\}$으로 구성된 자연스러운 삼각장이 존재한다. 이 벡터들의 도함수를 이들 자신으로 이루어진 기저로 표현하면 다음과 같은 미분방정식계를 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_{uu}& ={\Gamma }_{11}^1{\mathbf{x}}_u+{\Gamma }_{11}^2{\mathbf{x}}_v+L_{1}N\\ {\mathbf{x}}_{uv}& ={\Gamma }_{12}^1{\mathbf{x}}_u+{\Gamma }_{12}^2{\mathbf{x}}_v+L_{2}N\\ {\mathbf{x}}_{vu}& ={\Gamma }_{21}^1{\mathbf{x}}_u+{\Gamma }_{21}^2{\mathbf{x}}_v+{\bar{L}}_{2}N\\ {\mathbf{x}}_{vv}& ={\Gamma }_{22}^1{\mathbf{x}}_u+{\Gamma }_{22}^2{\mathbf{x}}_v+L_{3}N\\ N_u& =a_{11}{\mathbf{x}}_u+a_{21}{\mathbf{x}}_v\\ N_v& =a_{12}{\mathbf{x}}_u+a_{22}{\mathbf{x}}_v\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

여기서 계수 ${\Gamma }_{ij}^k$ ($i,j,k=1,2$)는 매개화 $\mathbf{x}$에 대한 크리스토펠 기호(Christoffel symbols) 라 불린다. ${\mathbf{x}}_{uv}={\mathbf{x}}_{vu}$이므로, 크리스토펠 기호는 아래 첨자에 대해 대칭이다.¹

$${\Gamma }_{12}^1={\Gamma }_{21}^1,{\Gamma }_{12}^2={\Gamma }_{21}^2$$

위 식들의 양변에 $N$을 내적하면 제2 기본 형식의 계수 $e,f,g$를 얻는다.

$$L_1=⟨{\mathbf{x}}_{uu},N⟩=e,L_2={\bar{L}}_2=⟨{\mathbf{x}}_{uv},N⟩=f,L_3=⟨{\mathbf{x}}_{vv},N⟩=g$$

크리스토펠 기호를 결정하기 위해, 위 식들의 처음 네 개에 각각 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$를 내적하면 다음과 같은 선형 방정식계를 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}{\Gamma }_{11}^{1}E+{\Gamma }_{11}^{2}F=⟨{\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_u⟩=\frac{1}{2}{E}_u\\ {\Gamma }_{11}^{1}F+{\Gamma }_{11}^{2}G=⟨{\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_v⟩=F_u-\frac{1}{2}{E}_v\end{array}\\ & \\ & \{\begin{array}{l}{\Gamma }_{12}^{1}E+{\Gamma }_{12}^{2}F=⟨{\mathbf{x}}_{uv},{\mathbf{x}}_u⟩=\frac{1}{2}{E}_v\\ {\Gamma }_{12}^{1}F+{\Gamma }_{12}^{2}G=⟨{\mathbf{x}}_{uv},{\mathbf{x}}_v⟩=\frac{1}{2}{G}_u\end{array}\\ & \\ & \{\begin{array}{l}{\Gamma }_{22}^{1}E+{\Gamma }_{22}^{2}F=⟨{\mathbf{x}}_{vv},{\mathbf{x}}_u⟩=F_v-\frac{1}{2}{G}_u\\ {\Gamma }_{22}^{1}F+{\Gamma }_{22}^{2}G=⟨{\mathbf{x}}_{vv},{\mathbf{x}}_v⟩=\frac{1}{2}{G}_v\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

각 연립방정식의 행렬식은 $EG-F^2\ne 0$이므로 유일한 해가 존재한다. 이는 크리스토펠 기호가 제1 기본 형식의 계수 $E,F,G$와 그 도함수만으로 결정됨을 의미한다. 따라서 크리스토펠 기호로 표현되는 모든 기하학적 개념은 등거리사상(isometry)에 대해 불변인 내재적(intrinsic) 성질이다.

• 만약 직교 매개변수화 $F=0$ 이라면, 연립방정식은 매우 간단해진다.

$$\begin{array}{rlrl}{\Gamma }_{11}^1& =\frac{E_u}{2E}& {\Gamma }_{11}^2& =-\frac{E_v}{2G}\\ {\Gamma }_{12}^1& =\frac{E_v}{2E}& {\Gamma }_{12}^2& =\frac{G_u}{2G}\\ {\Gamma }_{22}^1& =-\frac{G_u}{2E}& {\Gamma }_{22}^2& =\frac{G_v}{2G}\end{array}$$

가우스의 위대한 정리 (Theorema Egregium)

앞서 보았듯이, 기저 벡터 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v,N\}$의 도함수 표현은 오직 곡면의 제1 및 제2 기본 형식의 계수들에만 의존한다. 이 계수들 사이의 관계식을 얻는 한 가지 방법은 다음 표현들을 고려하자.

$$\begin{array}{rl}({\mathbf{x}}_{uu}{)}_v-({\mathbf{x}}_{uv}{)}_u& =0,\\ ({\mathbf{x}}_{vv}{)}_u-({\mathbf{x}}_{vu}{)}_v& =0,\\ N_{uv}-N_{vu}& =0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

식 (1)의 값들을 도입하면, 위 관계식들은 다음 형태로 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{A}_1{\mathbf{x}}_u+B_1{\mathbf{x}}_v+C_{1}N& =0,\\ A_2{\mathbf{x}}_u+B_2{\mathbf{x}}_v+C_{2}N& =0,\\ A_3{\mathbf{x}}_u+B_3{\mathbf{x}}_v+C_{3}N& =0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3a)}$$

여기서 $A_i,B_i,C_i$ ($i=1,2,3$)는 $E,F,G,e,f,g$와 그 도함수들의 함수이다. 벡터 ${\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v,N$은 선형 독립이므로, 식 (3a)는 다음의 아홉 가지 관계식이 성립함을 의미한다.

$$A_i=0,B_i=0,C_i=0,i=1,2,3.$$

하나의 예시로, 관계식 $A_1=0,B_1=0,C_1=0$을 유도해 보자. 식 (1)의 값들을 사용하면, 관계식 (3)의 첫 번째 식, $({\mathbf{x}}_{uu}{)}_v-({\mathbf{x}}_{uv}{)}_u=0$은 다음과 같이 전개될 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{11}^1{\mathbf{x}}_{uv}+{\Gamma }_{11}^2{\mathbf{x}}_{vv}+e{N}_v+({\Gamma }_{11}^1{)}_v{\mathbf{x}}_u+({\Gamma }_{11}^2{)}_v{\mathbf{x}}_v+e_{v}N\\ & ={\Gamma }_{12}^1{\mathbf{x}}_{uu}+{\Gamma }_{12}^2{\mathbf{x}}_{vu}+f{N}_u+({\Gamma }_{12}^1{)}_u{\mathbf{x}}_u+({\Gamma }_{12}^2{)}_u{\mathbf{x}}_v+f_{u}N\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

여기서 식 (1)을 다시 이용하여 ${\mathbf{x}}_v$의 계수들을 등치시키면 다음을 얻는다.

$${\Gamma }_{11}^1{\Gamma }_{12}^2+{\Gamma }_{11}^2{\Gamma }_{22}^2+e{a}_{22}+({\Gamma }_{11}^2{)}_v={\Gamma }_{12}^1{\Gamma }_{11}^2+{\Gamma }_{12}^2{\Gamma }_{21}^2+f{a}_{21}+({\Gamma }_{12}^2{)}_u$$

이미 계산된 $a_{ij}$의 값들을 (3.3 참조) 위 식에 대입하면 다음 결과를 얻는다.

$$({\Gamma }_{12}^2{)}_u-({\Gamma }_{11}^2{)}_v+{\Gamma }_{12}^1{\Gamma }_{12}^2+{\Gamma }_{12}^2{\Gamma }_{22}^2-{\Gamma }_{11}^1{\Gamma }_{12}^2-{\Gamma }_{11}^2{\Gamma }_{22}^2=-E\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=-EK\text{\hspace{1em}(5)}$$

가우스의 위대한 정리 (Theorema Egregium)

곡면의 가우스 곡률 $K$는 국소 등거리사상(local isometry)에 대해 불변이다.

실제로, 만약 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$가 점 $p\in S$에서의 매개화이고, $\phi :V\subset S\to \bar{S}$가 $p$의 근방 $V\subset \mathbf{x}(U)$에서 정의된 국소 등거리사상(local isometry)이라면, $y=\phi \circ \mathbf{x}$는 $\phi (p)$에서의 $\bar{S}$의 매개화가 된다. $\phi$는 등거리사상이므로, 매개화 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$에 대한 제1 기본 형식의 계수들은 대응하는 점들 $q$와 $\phi (q)$, ($q\in V$)에서 일치한다. 따라서, 대응하는 크리스토펠 기호(Christoffel symbols)들도 일치한다. 식 (5)에 의해, 가우스 곡률 $K$는 한 점에서의 주어진 매개화에 대한 크리스토펠 기호들의 함수로 계산될 수 있다. 따라서 모든 $q\in V$에 대해 $K(q)=K(\phi (q))$가 성립한다.

$K$의 값을 제1 기본 형식의 계수들과 그 도함수들로 나타내는 위 표현은 가우스 공식(Gauss formula) 으로 알려져 있다.

4-2.에서 증명했듯이, 현수면(catenoid)은 나선면(helicoid)과 국소적으로 등거리이다. 가우스 정리로부터, 대응하는 점들에서의 가우스 곡률은 같다는 결론이 나오는데, 이는 기하학적으로 자명하지 않은 사실이다.

사실, 가우스 곡률과 같은 개념은 그 정의가 곡면이 놓인 공간의 위치를 본질적으로 사용함에도 불구하고, 이 위치에 의존하지 않고 오직 곡면의 계량 구조(metric structure), 즉 제1 기본 형식에만 의존한다는 것은 주목할 만한 사실이다.

다음 절에서 우리는 미분기하학의 다른 많은 개념들도 가우스 곡률과 같은 맥락에 있음을 보게 될 것이다. 즉, 그들은 오직 곡면의 제1 기본 형식에만 의존한다. 따라서 제1 기본 형식의 기하학에 대해 이야기하는 것이 타당하며, 이를 우리는 내재적 기하학(intrinsic geometry) 이라 부른다. 왜냐하면 제1 기본 형식이 주어지면 제1 기본 형식의 기하학은 곡면을 포함하는 주변 공간을 전혀 참조하지 않고 전개될 수 있기 때문이다.

마이나르디-코다치 방정식 (Mainardi-Codazzi Equations)

앞선 방법과 같이 다른 식들도 정리하면, 또 다른 관계식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{e}_v-f_u& =e{\Gamma }_{12}^1+f({\Gamma }_{12}^2-{\Gamma }_{11}^1)-g{\Gamma }_{11}^2\\ f_v-g_u& =e{\Gamma }_{22}^1+f({\Gamma }_{22}^2-{\Gamma }_{12}^1)-g{\Gamma }_{12}^2\end{array}$$

이 두 방정식을 마이나르디-코다치 방정식(Mainardi-Codazzi equations) 이라 한다. 가우스 공식과 마이나르디-코다치 방정식은 곡면론의 양립방정식 전체를 구성한다.

보네의 정리 (Bonnet’s Theorem)

열린 집합 $V\subset {\mathbb{R}}^2$에 미분가능한 함수 $E,F,G$와 $e,f,g$가 주어지고 $E>0,G>0,EG-F^2>0$을 만족한다고 가정하자. 만약 이 함수들이 가우스 공식과 마이나르디-코다치 방정식을 만족한다면, 임의의 $q\in V$에 대하여 $q$의 근방 $U\subset V$와 미분동형사상 $\mathbf{x}:U\to \mathbf{x}(U)\subset {\mathbb{R}}^3$가 존재하여, 정칙 곡면 $\mathbf{x}(U)$는 $E,F,G$와 $e,f,g$를 각각 제1, 제2 기본 형식의 계수로 갖는다. 더욱이, 이러한 곡면은 강체운동(rigid motion)을 제외하고 유일하게 결정된다.

만약 좌표곡선이 곡률선이라면($F=f=0$), 이 방정식들은 다음과 같이 매우 간단한 형태로 표현된다.

$$\begin{array}{r}{e}_v=\frac{E_v}{2}\left(\frac{e}{E}+\frac{g}{G}\right)=E_{v}H\\ g_u=\frac{G_u}{2}\left(\frac{e}{E}+\frac{g}{G}\right)=G_{u}H\end{array}$$

Footnotes

1. $u=1,v=2$로 치환하면 ${\Gamma }_{12}^1={\Gamma }_{21}^1,{\Gamma }_{12}^2={\Gamma }_{21}^2$이므로, ${\Gamma }_{ij}^k$는 대칭이다. ↩