4-2. Isometries; Conformal Maps

두 정칙 곡면이 제1 기본 형식의 관점에서 동일한 기하학적 구조를 가질 때, 이들을 등거리 관계(isometric)에 있다고 한다. 이는 곡면 위의 모든 국소적 측정(거리, 각도, 넓이)이 보존됨을 의미한다. 예를 들어, 평면과 원기둥은 서로 다른 곡면이지만, 국소적으로는 같은 제1 기본 형식을 가지므로 등거리 관계이다. 이는 원기둥을 잘라 펼치면 평면의 일부가 되기 때문에 직관적으로도 이해할 수 있다. 이 장에서는 이러한 관계를 수학적으로 엄밀하게 정의하고 탐구한다.

등거리 변환 (Isometries)

두 정칙 곡면 $S$와 $\bar{S}$ 사이의 미분동형사상(diffeomorphism) $\varphi :S\to \bar{S}$가 모든 점 $p\in S$와 모든 벡터 쌍 $w_1,w_2\in T_p(S)$에 대하여 다음을 만족할 때, $\varphi$를 등거리 변환(isometry) 이라 한다.

$$⟨w_1,w_2{⟩}_p=⟨d{\varphi }_p(w_1),d{\varphi }_p(w_2){⟩}_{\varphi (p)}$$

이때 두 곡면 $S$와 $\bar{S}$는 서로 등거리(isometric) 라고 한다. 위 정의는 $\varphi$의 미분 $d{\varphi }_p$가 각 접평면에서의 내적을 보존함을 의미한다. 이는 제1 기본 형식을 보존하는 것과 동치이다. 즉, 모든 $w\in T_p(S)$에 대하여 다음이 성립한다.

$$I_p(w)=⟨w,w{⟩}_p=⟨d{\varphi }_p(w),d{\varphi }_p(w){⟩}_{\varphi (p)}=I_{\varphi (p)}(d{\varphi }_p(w))$$

점 $p\in S$의 근방 $V$에서 정의된 사상 $\varphi :V\to \bar{S}$가 점 $p$에서의 국소 등거리 변환(local isometry) 이라는 것은, $\varphi (p)\in \bar{S}$의 근방 $\bar{V}$가 존재하여 $\varphi :V\to \bar{V}$가 등거리 변환이 되는 것을 의미한다. 만약 모든 $p\in S$에 대해 $\bar{S}$로의 국소 등거리 변환이 존재하면, 곡면 $S$는 $\bar{S}$와 국소적으로 등거리(locally isometric) 라고 한다.

국소 등거리 변환의 판정법

두 매개화 $\mathbf{x}:U\to S$와 $\bar{\mathbf{x}}:U\to \bar{S}$가 존재하여, $U$의 모든 점에서 제1 기본 형식의 계수가 같다면, 즉 $E=\bar{E},F=\bar{F},G=\bar{G}$를 만족하면, 사상 $\varphi =\bar{\mathbf{x}}\circ {\mathbf{x}}^{-1}:\mathbf{x}(U)\to \bar{\mathbf{x}}(U)$는 국소 등거리 변환이다.

• 원기둥과 평면: 평면 $P$의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,0)$에 대해 $E=1,F=0,G=1$이다. 원기둥 $C$의 매개화 $\bar{\mathbf{x}}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$에 대해 $\bar{E}=1,\bar{F}=0,\bar{G}=1$이다. 따라서 원기둥은 평면과 국소적으로 등거리 관계에 있다. 하지만 두 곡면은 위상적으로 다르므로(homeomorphic하지 않으므로) 전역적인 등거리 변환은 존재하지 않는다.

• 현수면과 나선면 (Catenoid and Helicoid): 현수면(catenoid)은 매개화 $\mathbf{x}(u,v)=(a\cosh v\cos u,a\cosh v\sin u,av)$에 대해 $E=a^2{\cosh }^{2}v,F=0,G=a^2{\cosh }^{2}v$를 갖는다. 나선면(helicoid)은 매개화 $\bar{\mathbf{x}}(\bar{u},\bar{v})=(\bar{v}\cos \bar{u},\bar{v}\sin \bar{u},a\bar{u})$를 갖는다. 매개변수를 $\bar{u}=u,\bar{v}=a\sinh v$로 변환하면 나선면은 새로운 매개화 $\bar{\mathbf{x}}(u,v)=(a\sinh v\cos u,a\sinh v\sin u,au)$를 가지며, 이때 제1 기본 형식의 계수는 $E=a^2{\cosh }^{2}v,F=0,G=a^2{\cosh }^{2}v$가 된다. 이는 현수면과 나선면이 국소적으로 등거리 관계에 있음을 보인다.

• 원뿔과 평면 (Cone and Plane): 원뿔(꼭지점 제외)은 하나의 모선을 따라 잘라 펼치면 평면의 일부가 되므로 평면과 국소적으로 등거리 관계이다.

• 곡면 $S$ 위의 두 점 $p,q$ 사이의 내재적 거리(intrinsic distance) $d(p,q)$는 두 점을 잇는 $S$ 위의 조각적 미분가능 곡선들의 길이의 하한(infimum) $d(p,q)=\inf l({\alpha }_{p,q})$ 으로 정의된다. 등거리 변환 $\varphi :S\to \bar{S}$는 이 거리를 보존한다. 즉, $d(p,q)=d(\varphi (p),\varphi (q))$이다.

등각 사상 (Conformal Maps)

미분가능성의 관점에서 미분동형인 두 곡면이 동치인 것처럼, 측도적 관점에서는 등거리곡면은 동치이다. 이 관점에서는 미분동형과 등거리변환이 가장 중요하다. 그러나 복소변수의 해석함수에 관한 문제를 다룰 때는 등각동치(conformal equivalence)가 중요하다.

미분동형사상 $\varphi :S\to \bar{S}$가 모든 점 $p\in S$와 모든 벡터 쌍 $v_1,v_2\in T_p(S)$에 대하여 다음을 만족할 때 등각 사상(conformal map) 이라 한다.

$$⟨d{\varphi }_p(v_1),d{\varphi }_p(v_2)⟩={\lambda }^2(p)⟨v_1,v_2{⟩}_p$$

여기서 ${\lambda }^2(p)$는 $S$ 위에서 $0$이 아닌 미분가능한 함수이다. 이때 두 곡면 $S$와 $\bar{S}$는 서로 등각(conformal) 관계에 있다고 한다.

등각 사상은 길이는 보존하지 않지만, 접선 벡터들 사이의 각도를 보존한다. 두 곡선 $\alpha ,\beta$의 교각 $\theta$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\cos \bar{\theta }=\frac{⟨d\varphi ({\alpha }^{\prime }),d\varphi ({\beta }^{\prime })⟩}{|d\varphi ({\alpha }^{\prime })||d\varphi ({\beta }^{\prime })|}=\frac{{\lambda }^2⟨{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }⟩}{\lambda |{\alpha }^{\prime }|\lambda |{\beta }^{\prime }|}=\frac{⟨{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }⟩}{|{\alpha }^{\prime }||{\beta }^{\prime }|}=\cos \theta$$

국소 등각 사상의 판정법

두 매개화 $\mathbf{x}:U\to S$와 $\bar{\mathbf{x}}:U\to \bar{S}$가 존재하여, $U$의 모든 점에서 제1 기본 형식의 계수들이 비례 관계 $E={\lambda }^2\bar{E},F={\lambda }^2\bar{F},G={\lambda }^2\bar{G}$를 만족하면(이때 ${\lambda }^2(u,v)$는 $0$이 아닌 미분가능 함수), 사상 $\varphi =\bar{\mathbf{x}}\circ {\mathbf{x}}^{-1}:\mathbf{x}(U)\to \bar{\mathbf{x}}(U)$는 국소 등각 사상이다.

임의의 두 정칙곡면은 국소적 등각이다.

임의의 정칙 곡면 위의 모든 점 근방에는 등온 좌표계(isothermal coordinate system) 라 불리는 특별한 매개화를 잡을 수 있다. 이 좌표계에서는 제1 기본 형식의 계수가 $E=G={\lambda }^2(u,v),F=0$ 형태를 가진다.

정칙곡면 $S$의 등온적¹ 근방이 존재한다고 하면, $S$는 평면과 국소적 등각이고, 합성에 의해 임의의 다른 곡면과 국소적 등각이다.

Footnotes

1. $E=G={\lambda }^2(u,v)$, $F=0$, 등온매개변수에서 가우스 곡률은 $K=-\frac{1}{2{\lambda }^2}\left(\frac{{\partial }^2\ln \lambda }{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2\ln \lambda }{\partial v^2}\right)$로 계산된다. ↩