54. The Fundamental Group of the Circle

공간 $X$의 덮개 공간 연구는 $X$의 기본군 연구와 밀접하게 관련되어 있다. 이 절에서, 우리는 두 개념 사이의 결정적인 연결고리를 설정하고, 원의 기본군을 계산한다.

정의

$p:E\to B$를 함수라고 하자. 만약 $f$가 어떤 공간 $X$에서 $B$로 가는 연속 함수라면, $f$의 리프팅(lifting) 은 $p\circ \tilde{f}=f$를 만족하는 함수 $\tilde{f}:X\to E$이다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document} 
 
\Large{
\begin{tikzcd}
 
& E \arrow[d, "p"] \\
X \arrow[r, "f"] \arrow[ur, "\tilde{f}"] & B
 
\end{tikzcd}
}
\end{document}

$p$가 덮개 함수일 때 리프팅의 존재는 덮개 공간과 기본군을 연구하는 데 중요한 도구이다. 먼저, 덮개 공간에 대해 경로를 들어올릴 수 있음을 보이고, 그 다음 경로 호모토피도 들어올릴 수 있음을 보일 것이다. 먼저, 예제를 보자:

예제 1

정리 53.1의 덮개 $p:\mathbb{R}\to S^1$을 생각하자. $b_0=(1,0)$에서 시작하는 $f(s)=(\cos \pi s,\sin \pi s)$로 주어진 경로 $f:[0,1]\to S^1$은 $0$에서 시작하여 $1/2$에서 끝나는 경로 $\tilde{f}(s)=s/2$로 들어올려진다. 경로 $g(s)=(\cos \pi s,-\sin \pi s)$는 $0$에서 시작하여 $-1/2$에서 끝나는 경로 $\tilde{g}(s)=-s/2$로 들어올려진다. 경로 $h(s)=(\cos 4\pi s,\sin 4\pi s)$는 $0$에서 시작하여 $2$에서 끝나는 경로 $\tilde{h}(s)=2s$로 들어올려진다. 직관적으로, $h$는 구간 $[0,1]$을 원 주위로 두 번 감싼다; 이는 들어올려진 경로 $\tilde{h}$가 0에서 시작하여 숫자 2에서 끝난다는 사실에 반영된다.

보조정리 54.1

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고, $p(e_0)=b_0$이라 하자. $b_0$에서 시작하는 임의의 경로 $f:[0,1]\to B$는 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\tilde{f}$로의 유일한 리프팅을 갖는다.

증명

$B$를 $p$에 의해 균등하게 덮이는 열린 집합 $U$들로 덮자. 각 $i$에 대해 집합 $f([s_i,s_{i+1}])$이 그러한 열린 집합 $U$ 안에 놓이도록 $[0,1]$의 분할 $s_0,\dots ,s_n$을 찾자. (여기서 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)를 사용한다.) 우리는 리프팅 $\tilde{f}$를 단계별로 정의한다.

먼저, $\tilde{f}(0)=e_0$으로 정의한다. 그런 다음, $0\le s\le s_i$에 대해 $\tilde{f}(s)$가 정의되었다고 가정하고, $[s_i,s_{i+1}]$ 위에서 $\tilde{f}$를 다음과 같이 정의한다: 집합 $f([s_i,s_{i+1}])$은 $p$에 의해 균등하게 덮이는 어떤 열린 집합 $U$ 안에 있다. $\{V_{\alpha }\}$를 $p^{-1}(U)$의 슬라이스로의 분할이라 하자;

각 집합 $V_{\alpha }$는 $p$에 의해 $U$ 위로 동형적으로 사상된다. 이제 $\tilde{f}(s_i)$는 이 집합들 중 하나에 있으며, 그것을 $V_0$라고 하자. $s\in [s_i,s_{i+1}]$에 대해 $\tilde{f}(s)$를 다음 방정식으로 정의한다.

$$\tilde{f}(s)=(p{|}_{V_0}{)}^{-1}(f(s)).$$

$p{|}_{V_0}:V_0\to U$가 동형사상이므로, $\tilde{f}$는 $[s_i,s_{i+1}]$ 위에서 연속일 것이다.

이런 식으로 계속하여, 우리는 $[0,1]$ 전체에서 $\tilde{f}$를 정의한다. $\tilde{f}$의 연속성은 붙임 보조정리로부터 나온다; $p\circ \tilde{f}=f$라는 사실은 $\tilde{f}$의 정의로부터 즉각적이다.

$\tilde{f}$의 유일성 또한 단계별로 증명된다. $\widetilde{\stackrel{~}{f}}$가 $e_0$에서 시작하는 $f$의 또 다른 리프팅이라고 가정하자. 그러면 $\widetilde{\stackrel{~}{f}}(0)=e_0=\tilde{f}(0)$이다. 모든 $s$에 대해 $0\le s\le s_i$를 만족하는 $\widetilde{\stackrel{~}{f}}(s)=\tilde{f}(s)$라고 가정하자. $V_0$를 앞 단락에서와 같이 두자; 그러면 $s\in [s_i,s_{i+1}]$에 대해 $\tilde{f}(s)$는 $(p{|}_{V_0}{)}^{-1}(f(s))$로 정의된다.

$\widetilde{\stackrel{~}{f}}(s)$는 무엇과 같을 수 있는가? $\widetilde{\stackrel{~}{f}}$가 $f$의 리프팅이므로, 그것은 구간 $[s_i,s_{i+1}]$을 집합 $p^{-1}(U)=\cup V_{\alpha }$로 보내야 한다. 슬라이스 $V_{\alpha }$들은 열려 있고 서로소이다; 집합 $\widetilde{\stackrel{~}{f}}([s_i,s_{i+1}])$이 연결되어 있으므로, 그것은 $V_{\alpha }$ 집합들 중 하나에 완전히 놓여야 한다.

$\widetilde{\stackrel{~}{f}}(s_i)=\tilde{f}(s_i)$이고 이것이 $V_0$에 있으므로, $\widetilde{\stackrel{~}{f}}$는 $[s_i,s_{i+1}]$ 전체를 집합 $V_0$로 보내야 한다. 따라서, $s\in [s_i,s_{i+1}]$에 대해, $\widetilde{\stackrel{~}{f}}(s)$는 $p^{-1}(f(s))$에 있는 $V_0$의 어떤 점 $y$와 같아야 한다. 하지만 그러한 점 $y$는 단 하나, 즉 $(p{|}_{V_0}{)}^{-1}(f(s))$ 뿐이다. 따라서 $s\in [s_i,s_{i+1}]$에 대해 $\widetilde{\stackrel{~}{f}}(s)=\tilde{f}(s)$이다.

보조정리 54.2

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고; $p(e_0)=b_0$이라 하자. $F(0,0)=b_0$인 연속 함수 $F:I\times I\to B$가 주어졌을 때, $\tilde{F}(0,0)=e_0$를 만족하는 연속 함수

$$\tilde{F}:I\times I\to E$$

로의 유일한 리프팅이 존재한다. 만약 $F$가 경로 호모토피이면, $\tilde{F}$도 경로 호모토피이다.

증명

주어진 $F$에 대해, 먼저 $\tilde{F}(0,0)=e_0$으로 정의한다. 다음으로, 앞의 보조정리를 사용하여 $\tilde{F}$를 $I\times I$의 왼쪽 변 $0\times I$와 아래쪽 변 $I\times 0$으로 확장한다. 그런 다음 $\tilde{F}$를 $I\times I$ 전체로 다음과 같이 확장한다:

$I$의 분할

$$\begin{array}{rl}{s}_0<s_1<& \cdots <s_m,\\ t_0<t_1<& \cdots <t_n\end{array}$$

을 각 사각형

$$I_i\times J_j=[s_{i-1},s_i]\times [t_{j-1},t_j]$$

이 $F$에 의해 $p$가 균등하게 덮는 $B$의 열린 집합으로 사상되도록 충분히 잘게 선택한다. (르베그 수 보조정리를 사용한다.) 우리는 리프팅 $\tilde{F}$를 사각형 $I_1\times J_1$에서 시작하여 “맨 아래 행”의 다른 사각형들 $I_i\times J_1$로, 그 다음 행의 사각형들 $I_i\times J_2$로, 이런 식으로 단계별로 정의한다.

일반적으로, $i_0$와 $j_0$가 주어졌을 때, $\tilde{F}$가 $0\times I$와 $I\times 0$의 합집합이고 $I_{i_0}\times J_{j_0}$보다 “이전”의 모든 사각형들(즉, $j<j_0$인 사각형 $I_i\times J_j$와 $j=j_0,i<i_0$인 사각형들)의 합집합인 집합 $A$ 위에서 정의되었다고 가정하자. 또한 $\tilde{F}$가 $F{|}_A$의 연속적인 리프팅이라고 가정하자. 우리는 $I_{i_0}\times J_{j_0}$ 위에서 $\tilde{F}$를 정의한다. $F(I_{i_0}\times J_{j_0})$를 포함하는 $p$가 균등하게 덮는 $B$의 열린 집합 $U$를 선택하자. $\{V_{\alpha }\}$를 $p^{-1}(U)$의 슬라이스로의 분할이라 하자;

각 집합 $V_{\alpha }$는 $p$에 의해 $U$ 위로 동형적으로 사상된다. 이제 $\tilde{F}$는 집합 $C=A\cap (I_{i_0}\times J_{j_0})$ 위에서 이미 정의되었다. 이 집합은 사각형 $I_{i_0}\times J_{j_0}$의 왼쪽 변과 아래쪽 변의 합집합이므로 연결되어 있다. 따라서, $\tilde{F}(C)$는 연결되어 있으며 $V_{\alpha }$ 집합들 중 하나에 완전히 놓여야 한다. 그것이 $V_0$에 있다고 가정하자.

$p_0:V_0\to U$를 $p$를 $V_0$에 제한한 것이라 하자. $\tilde{F}$가 $F{|}_A$의 리프팅이므로, $x\in C$에 대해

$$p_0(\tilde{F}(x))=p(\tilde{F}(x))=F(x)$$

임을 안다. 따라서 $\tilde{F}(x)=p_0^{-1}(F(x))$이다. 그러므로 우리는 $x\in I_{i_0}\times J_{j_0}$에 대해

$$\tilde{F}(x)=p_0^{-1}(F(x))$$

라고 정의하여 $\tilde{F}$를 확장할 수 있다. 확장된 함수는 붙임 보조정리에 의해 연속일 것이다. 이런 식으로 계속하여, 우리는 $I^2$ 전체에서 $\tilde{F}$를 정의한다.

유일성을 확인하기 위해, $\tilde{F}$를 구성하는 각 단계에서, 즉 $\tilde{F}$를 먼저 $I^2$의 아래쪽 및 왼쪽 변으로, 그리고 나서 사각형 $I_i\times J_j$로 하나씩 확장할 때, $\tilde{F}$를 연속적으로 확장하는 방법은 단 하나뿐이라는 점에 주목하자. 따라서, $(0,0)$에서의 $\tilde{F}$ 값이 지정되면, $\tilde{F}$는 완전히 결정된다.

이제 $F$가 경로 호모토피라고 가정하자. 우리는 $\tilde{F}$가 경로 호모토피임을 보이고자 한다. 함수 $F$는 $I^2$의 전체 왼쪽 변 $0\times I$를 $B$의 한 점 $b_0$로 보낸다. $\tilde{F}$가 $F$의 리프팅이므로, 이 변을 집합 $p^{-1}(b_0)$로 보낸다. 하지만 이 집합은 $E$의 부분공간으로서 이산 위상을 갖는다.

$0\times I$가 연결되어 있고 $\tilde{F}$가 연속이므로, $\tilde{F}(0\times I)$는 연결되어 있으며 따라서 한 점 집합이어야 한다. 유사하게, $\tilde{F}(1\times I)$도 한 점 집합이어야 한다. 따라서 $\tilde{F}$는 경로 호모토피이다.

정리 54.3

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고, $p(e_0)=b_0$이라 하자. $f$와 $g$를 $b_0$에서 $b_1$으로 가는 $B$ 안의 두 경로라 하고, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$를 각각 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로로의 리프팅이라 하자. 만약 $f$와 $g$가 경로 호모토픽하면, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$는 $E$의 같은 점에서 끝나고 경로 호모토픽하다.

증명

$F:I\times I\to B$를 $f$와 $g$ 사이의 경로 호모토피라고 하자. 그러면 $F(0,0)=b_0$이다.

$\tilde{F}:I\times I\to E$를 $\tilde{F}(0,0)=e_0$인 $F$의 $E$로의 리프팅이라 하자. 앞의 보조정리에 의해, $\tilde{F}$는 경로 호모토피이므로, $\tilde{F}(0\times I)=\{e_0\}$이고 $\tilde{F}(1\times I)$는 한 점 집합 $\{e_1\}$이다.

$I\times I$의 아래쪽 변 $I\times 0$에 대한 $\tilde{F}$의 제한 $\tilde{F}{|}_{I\times 0}$은 $e_0$에서 시작하는 $E$ 위의 경로이며 $F{|}_{I\times 0}$의 리프팅이다. 경로 리프팅의 유일성에 의해, 우리는 $\tilde{F}(s,0)=\tilde{f}(s)$를 가져야 한다. 유사하게, $\tilde{F}{|}_{I\times 1}$은 $F{|}_{I\times 1}$의 리프팅인 $E$ 위의 경로이며, $\tilde{F}(0\times I)=\{e_0\}$이므로 $e_0$에서 시작한다. 경로 리프팅의 유일성에 의해, $\tilde{F}(s,1)=\tilde{g}(s)$이다. 따라서, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$는 모두 $e_1$에서 끝나고, $\tilde{F}$는 그들 사이의 경로 호모토피이다.

정의

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고, $b_0\in B$라 하자. $p(e_0)=b_0$인 $e_0$를 선택하자. ${\pi }_1(B,b_0)$의 원소 $[f]$가 주어졌을 때, $\tilde{f}$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로로의 $f$의 리프팅이라 하자. $\varphi ([f])$를 $\tilde{f}$의 끝점 $\tilde{f}(1)$로 나타내자. 그러면 $\varphi$는 잘 정의된 집합 함수

$$\varphi :{\pi }_1(B,b_0)\to p^{-1}(b_0)$$

이다. 우리는 $\varphi$를 덮개 함수 $p$로부터 유도된 리프팅 대응(lifting correspondence) 이라고 부른다. 그것은 물론 점 $e_0$의 선택에 의존한다.

정리 54.4

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고, $p(e_0)=b_0$이라 하자. 만약 $E$가 경로 연결이면, 리프팅 대응

$$\varphi :{\pi }_1(B,b_0)\to p^{-1}(b_0)$$

는 전사(surjective)이다. 만약 $E$가 단순 연결이면, 그것은 전단사(bijective)이다.

증명

만약 $E$가 경로 연결이면, 주어진 $e_1\in p^{-1}(b_0)$에 대해, $e_0$에서 $e_1$으로 가는 $E$ 안의 경로 $\tilde{f}$가 있다. 그러면 $f=p\circ \tilde{f}$는 $b_0$에서의 $B$ 안의 루프이고, 정의에 의해 $\varphi ([f])=e_1$이다. $E$가 단순 연결이라고 가정하자. $\varphi ([f])=\varphi ([g])$인 ${\pi }_1(B,b_0)$의 두 원소 $[f]$와 $[g]$를 생각하자. $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$를 각각 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로로의 $f$와 $g$의 리프팅이라 하자; 그러면 $\tilde{f}(1)=\tilde{g}(1)$이다. $E$가 단순 연결이므로, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$ 사이에는 $E$ 안의 경로 호모토피 $\tilde{F}$가 있다. 그러면 $p\circ \tilde{F}$는 $f$와 $g$ 사이의 $B$ 안의 경로 호모토피이다.

정리 54.5

$S^1$의 기본군은 정수의 덧셈군과 동형이다.

증명

$p:\mathbb{R}\to S^1$를 정리 53.1의 덮개 함수라 하고, $e_0=0$, $b_0=p(e_0)$이라 하자. 그러면 $p^{-1}(b_0)$는 정수 집합 $\mathbb{Z}$이다. $\mathbb{R}$이 단순 연결이므로, 리프팅 대응

$$\varphi :{\pi }_1(S^1,b_0)\to \mathbb{Z}$$

는 전단사이다. 우리는 $\varphi$가 준동형사상임을 보이면, 정리는 증명된다.

주어진 ${\pi }_1(B,b_0)$의 $[f]$와 $[g]$에 대해, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$를 각각 $0$에서 시작하는 $\mathbb{R}$ 위의 경로로의 리프팅이라 하자. $n=\tilde{f}(1)$이고 $m=\tilde{g}(1)$이라고 하자; 그러면 정의에 의해 $\varphi ([f])=n$이고 $\varphi ([g])=m$이다. 경로

$$\widetilde{\stackrel{~}{g}}(s)=n+\tilde{g}(s)$$

를 $\mathbb{R}$ 위에서 생각하자. 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $p(n+x)=p(x)$이므로, 경로 $\widetilde{\stackrel{~}{g}}$는 $g$의 리프팅이다; 그것은 $n$에서 시작한다. 그러면 곱 $\tilde{f}\ast \widetilde{\stackrel{~}{g}}$는 정의되고, 그것은 $0$에서 시작하는 $f\ast g$의 리프팅이다. 이 경로의 끝점은 $\widetilde{\stackrel{~}{g}}(1)=n+m$이다. 그러면 정의에 의해,

$$\varphi ([f]\ast [g])=n+m=\varphi ([f])+\varphi ([g])$$

이다.

정의

$G$를 군이라 하고, $x$를 $G$의 원소라 하자. 우리는 $x$의 역원을 $x^{-1}$로 나타낸다. 기호 $x^n$은 $x$를 $n$번 곱한 것을 나타내고, $x^{-n}$은 $x^{-1}$을 $n$번 곱한 것을 나타내며, $x^0$은 $G$의 항등원을 나타낸다. 만약 모든 $m\in \mathbb{Z}$에 대해 $x^m$ 형태의 모든 원소들의 집합이 $G$와 같다면, $G$는 순환군(cyclic group) 이라고 불리고, $x$는 $G$의 생성원(generator) 이라고 불린다.

군의 위수(cardinality)는 또한 군의 차수(order) 라고 불린다. 군이 무한 차수의 순환군일 필요충분조건은 정수의 덧셈군과 동형인 것이다; 그것이 차수 $k$의 순환군일 필요충분조건은 정수 모듈로 $k$의 군 $\mathbb{Z}/k$와 동형인 것이다. 앞의 정리는 원의 기본군이 무한 순환군임을 암시한다.

만약 $x$가 무한 순환군 $G$의 생성원이고 $y$가 임의의 군 $H$의 원소이면, $h(x)=y$인 $G$에서 $H$로의 유일한 준동형사상 $h$가 존재한다는 점에 주목하자; 이것은 모든 $n$에 대해 $h(x^n)=y^n$으로 설정하여 정의된다.

나중에 §65와 제13장, 제14장에서 사용하기 위해, 우리는 여기서 정리 54.4의 강화된 버전을 증명한다.

네, 알겠습니다. 이전에 지적해주신 오류를 바로잡아 정리 54.6 전체를 다시 정확하게 번역해 드리겠습니다.

정리 54.6

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하고, $p(e_0)=b_0$이라 하자.

(a) 준동형사상 $p_{\ast }:{\pi }_1(E,e_0)\to {\pi }_1(B,b_0)$는 단사준동형사상(monomorphism) 이다.¹

(b) $H=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$라 하자. 리프팅 대응 $\varphi$는 $H$의 오른쪽 잉여류(right coset)들의 집합에서 $p^{-1}(b_0)$로 가는 단사 함수

$$\Phi :{\pi }_1(B,b_0)/H\to p^{-1}(b_0)$$

를 유도하며, 만약 $E$가 ==경로 연결(path connected)이면 이 함수는 전단사(bijective) 이다.==

(c) 만약 $f$가 $b_0$를 기준으로 하는 $B$ 안의 루프(loop)이면, $[f]\in H$일 필요충분조건은 $f$가 $e_0$를 기준으로 하는 $E$ 안의 루프로 들어올려지는(lift) 것이다.

증명

(a) $\tilde{h}$가 $e_0$에서의 $E$ 안의 루프이고 $p_{\ast }([\tilde{h}])$가 항등원이라고 가정하자. $F$를 $p\circ \tilde{h}$와 상수 루프 사이의 경로 호모토피(path homotopy)라고 하자. 만약 $\tilde{F}$가 $\tilde{F}(0,0)=e_0$인 $F$의 $E$로의 리프팅이면, $\tilde{F}$는 $\tilde{h}$와 $e_0$에서의 상수 루프 사이의 경로 호모토피이다.

(b) $B$ 안의 루프 $f$와 $g$가 주어졌을 때, $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$를 각각 $e_0$에서 시작하는 $E$로의 그들의 리프팅이라 하자. 그러면 $\varphi ([f])=\tilde{f}(1)$이고 $\varphi ([g])=\tilde{g}(1)$이다. 우리는 $\varphi ([f])=\varphi ([g])$일 필요충분조건이 $[f]H=[g]H$임을 보인다.

먼저, $[f]H=[g]H$라고 가정하자. 그러면 $e_0$를 기준으로 하는 $E$ 안의 어떤 루프 $\tilde{h}$에 대해 $[f]=[h\ast g]$이고, 여기서 $h=p\circ \tilde{h}$이다. 이제 곱 $\tilde{h}\ast \tilde{g}$는 정의되고, 이것은 $h\ast g$의 리프팅이다. $[f]=[h\ast g]$이므로, $e_0$에서 시작하는 리프팅 $\tilde{f}$와 $\tilde{h}\ast \tilde{g}$는 $E$의 같은 점에서 끝나야 한다. 그러면 $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$는 $E$의 같은 점에서 끝나므로, $\varphi ([f])=\varphi ([g])$이다.

이제 $\varphi ([f])=\varphi ([g])$라고 가정하자. 그러면 $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$는 $E$의 같은 점에서 끝난다. $\tilde{f}$와 $\tilde{g}$의 역경로의 곱은 정의되고, $e_0$를 기준으로 하는 $E$ 안의 루프 $\tilde{h}$이다. 직접 계산에 의해 $[\tilde{h}\ast \tilde{g}]=[\tilde{f}]$이다. 만약 $\tilde{F}$가 루프 $\tilde{h}\ast \tilde{g}$와 $\tilde{f}$ 사이의 $E$ 안의 경로 호모토피이면, $p\circ \tilde{F}$는 $h=p\circ \tilde{h}$인 $h\ast g$와 $f$ 사이의 $B$ 안의 경로 호모토피이다. 따라서 원하는 대로 $[f]H=[g]H$이다.

만약 $E$가 경로 연결이면, $\varphi$는 전사(surjective)이므로, $\Phi$도 전사이다.

(c) $\Phi$의 단사성은 $\varphi ([f])=\varphi ([g])$일 필요충분조건이 $[f]H=[g]H$임을 의미한다. $g$가 상수 루프인 경우에 이 결과를 적용하면, $\varphi ([f])=e_0$일 필요충분조건이 $[f]\in H$임을 알 수 있다. 하지만 $\varphi ([f])=e_0$는 정확히 $e_0$에서 시작하는 $f$의 리프팅이 $e_0$에서 끝날 때이다.

Footnotes

1. $p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$는 ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군(subgroup)이다. 군의 준동형사상이 단사(monomorphism)라는 것은 그 핵(kernel)이 항등원만을 포함한다는 것을 의미한다. ↩