63. The Jordan Curve Theorem

조르당 분리 정리(Jordan separation theorem)를 증명하는 데 사용했던 자이페르트-판 캄펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)의 특수한 경우는 교집합 $U\cap V$가 경로 연결(path connected)일 때 공간 $X=U\cup V$의 기본군(fundamental group)에 대해 알려준다. 이번 절에서는 $U\cap V$가 경로 연결이 아닐 때 어떤 일이 일어나는지 살펴본다. 이 결과는 조르당 곡선 정리의 증명을 완성하는 데 사용될 것이다.

정리 63.1

$X$가 두 열린 집합 $U$와 $V$의 합집합이라 하자. $U\cap V$는 서로소인 두 열린 집합 $A$와 $B$의 합집합으로 쓸 수 있다고 하자.¹ $A$의 한 점 $a$에서 $B$의 한 점 $b$로 가는 $U$ 안의 경로 $\alpha$가 있고, $b$에서 $a$로 가는 $V$ 안의 경로 $\beta$가 있다고 하자. 고리 $f=\alpha \ast \beta$를 생각하자.

(a) 경로 동치류 $[f]$는 ${\pi }_1(X,a)$의 무한 순환 부분군을 생성한다. (b) 만약 ${\pi }_1(X,a)$가 무한 순환군이라면, $[f]$가 생성원이다.² (c) $a$에서 $A$의 점 $a^{\prime }$로 가는 $U$ 안의 경로 $\gamma$와 $a^{\prime }$에서 $a$로 가는 $V$ 안의 경로 $\delta$가 있다고 하자. 고리 $g=\gamma \ast \delta$를 생각하자. 그러면 $[f]$와 $[g]$가 생성하는 ${\pi }_1(X,a)$의 부분군들은 항등원 외에는 교집합을 갖지 않는다.

증명

증명은 여러 면에서 54. The Fundamental Group of the Circle에서 원의 기본군이 무한 순환군임을 보인 증명과 유사하다. 그 증명에서처럼, 결정적인 단계는 공간 $X$에 대한 적절한 덮개 공간 $E$를 찾는 것이다.

1단계. ($E$의 구성) $E$를 부분공간 $U$와 $V$의 복사본들을 붙여서 구성한다. $U$의 가산 무한 개의 복사본과 $V$의 가산 무한 개의 복사본을 모두 서로소인 것으로 취하자. 예를 들어, 모든 정수 $n$에 대해

$$U\times \{2n\}\text{and}V\times \{2n+1\}$$

이라 하자. 이 공간들의 합집합을 $Y$라 하자; $Y$는 $X\times Z$의 부분공간이다. 이제 $Y$의 몫공간으로 새로운 공간 $E$를 구성하는데, $x\in A$에 대해 점들

$$x\times \{2n\}\text{and}x\times \{2n-1\}$$

을 동일시하고, $x\in B$에 대해 점들

$$x\times \{2n\}\text{and}x\times \{2n+1\}$$

을 동일시한다. $\pi :Y\to E$를 몫 사상이라 하자.

이제 $\rho :Y\to X$를 $\rho (x\times m)=x$로 정의된 사상이라 하면, 사상 $p:E\to X$를 유도한다; 사상 $p$는 $E$가 몫 위상을 가지므로 연속이다. 사상 $p$는 또한 전사이다. 우리는 $p$가 덮개 사상임을 보일 것이다.

먼저 사상 $\pi$가 열린 사상임을 보이자. $Y$가 서로소인 열린 집합들 $\{U\times \{2n\}\}$와 $\{V\times \{2n+1\}\}$의 합집합이므로, $\pi {|}_{U\times \{2n\}}$와 $\pi {|}_{V\times \{2n+1\}}$이 열린 사상임을 보이면 충분하다. 이것은 쉽다. 예를 들어 $U\times \{2n\}$ 안의 열린 집합을 생각하면, 이는 $W$가 $U$에서 열린 집합일 때 $W\times \{2n\}$ 형태가 될 것이다. 그러면

$${\pi }^{-1}(\pi (W\times \{2n\}))=[W\times \{2n\}]\cup [(W\cap B)\times \{2n+1\}]\cup [(W\cap A)\times \{2n-1\}]$$

이며, 이는 $Y$의 세 열린 집합의 합집합이므로 $Y$에서 열려 있다. 몫 위상의 정의에 의해, $\pi (W\times \{2n\})$은 $E$에서 열려 있다.

이제 $p$가 덮개 사상임을 증명한다; 열린 집합 $U$와 $V$가 $p$에 의해 고르게 덮인다는 것을 보인다. 예를 들어 $U$를 생각해보자. 집합 $p^{-1}(U)$는 $n\in Z$에 대한 서로소인 집합들 $\pi (U\times \{2n\})$의 합집합이다. 각 집합은 $\pi$가 열린 사상이므로 $E$에서 열려 있다. ${\pi }_{2n}$을 $U\times \{2n\}$에 제한하여 $\pi (U\times \{2n\})$으로 가는 사상으로 나타내자. 이는 전단사이고, 연속이며, 열린 사상이므로 동형사상이다. 그러면 $p$를 $\pi (U\times \{2n\})$에 제한하면, 이는 두 동형사상

$$\pi (U\times \{2n\})\stackrel{{\pi }_{2n}^{-1}}{\to }U\times \{2n\}\stackrel{\rho }{\to }U$$

의 합성이므로 동형사상이다. 따라서 $p{|}_{\pi (U\times \{2n\})}$은 이 집합을 $U$ 위로 동형적으로 사상한다.

2단계. 이제 루프 $f=\alpha \ast \beta$의 들어올림들의 족을 정의한다.

각 정수 $n$에 대해, $e_n$을 $E$의 점 $\pi (a\times \{2n\})$이라 하자. 그러면 점들 $e_n$은 서로 구별되며, $p^{-1}(a)$를 구성한다. $e_n$에서 시작하여 $e_{n+1}$에서 끝나는 $f$의 들어올림 ${\tilde{f}}_n$을 정의한다.

$\alpha$와 $\beta$가 각각 $U$와 $V$ 안의 경로이므로, 우리는

$$\begin{array}{rl}{\tilde{\alpha }}_n(s)& =\pi (\alpha (s)\times \{2n\}),\\ {\tilde{\beta }}_n(s)& =\pi (\beta (s)\times \{2n+1\})\end{array}$$

로 정의할 수 있다; 그러면 ${\tilde{\alpha }}_n$과 ${\tilde{\beta }}_n$은 각각 $\alpha$와 $\beta$의 들어올림이다. ($n=0$인 경우가 그림에 나와 있다.) 곱 ${\tilde{\alpha }}_n\ast {\tilde{\beta }}_n$은 정의되는데, 왜냐하면 ${\tilde{\alpha }}_n$은 $\pi (b\times \{2n\})$에서 끝나고 ${\tilde{\beta }}_n$은 $\pi (b\times \{2n+1\})$에서 시작하기 때문이다. 우리는 ${\tilde{f}}_n={\tilde{\alpha }}_n\ast {\tilde{\beta }}_n$으로 두고, ${\tilde{f}}_n$은 ${\tilde{\alpha }}_n(0)=\pi (a\times \{2n\})=e_n$에서 시작하여 ${\tilde{\beta }}_n(1)=\pi (a\times \{2n+1\})=\pi (a\times \{2n+2\})=e_{n+1}$에서 끝난다는 점에 주목한다.

3단계. $[f]$가 ${\pi }_1(X,a)$의 무한 순환 부분군을 생성함을 보인다. 양의 정수 $m$에 대해 $[f{]}^m$이 항등원이 아님을 보이면 충분하다.

하지만 이것은 쉽다. 곱

$$\tilde{h}={\tilde{f}}_0\ast ({\tilde{f}}_1\ast (\cdots \ast {\tilde{f}}_{m-1}))$$

은 정의되며, $m$번 곱

$$h=f\ast (f\ast (\cdots \ast f))$$

의 들어올림이다. $\tilde{h}$가 $e_0$에서 시작하여 $e_m$에서 끝나므로, 클래스 $[h]=[f{]}^m$은 자명할 수 없다.

4단계. 이제 ${\pi }_1(X,a)$가 무한 순환군이라면, 그것이 $[f]$에 의해 생성됨을 보인다.

들어올림 대응 $\varphi :{\pi }_1(X,a)\to p^{-1}(a)$를 생각하자. 3단계에서 우리는 각 양의 정수 $m$에 대해 대응 $\varphi$가 $[f{]}^m$을 $p^{-1}(a)$의 점 $e_m$으로 보낸다는 것을 보였다. 비슷한 논증으로 $[f{]}^{-m}$을 $e_{-m}$으로 보낸다는 것을 보일 수 있다. 따라서 $\varphi$는 전사이다.

이제 정리 54.6에 의해, $\varphi$는 단사 사상

$$\Psi :{\pi }_1(X,a)/H\to p^{-1}(a)$$

를 유도한다. 여기서 $H=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$이다. $\varphi$가 전사이므로 $\Psi$도 전사이다. 무한 순환군의 비자명 부분군에 의한 몫은 유한하므로 $H$는 자명군이어야 한다. 그러면 들어올림 대응 $\varphi$ 자체가 전단사이다. $\varphi$가 $[f]$에 의해 생성된 부분군을 $p^{-1}(a)$ 위로 사상하므로, 이 부분군은 ${\pi }_1(X,a)$ 전체와 같아야 한다.

5단계. 이제 (c)를 증명한다. 그림은 (c)에서 고려된 ${\pi }_1(X,a)$의 원소 $[g]$가 사실은 자명하다고 생각하게 만들 수 있지만, 그 그림은 다소 특별하다. $A$가 두 개의 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합의 합집합일 때 발생할 수 있는 상황을 보여준다. 이 경우(나중에 유용할 것임), $[f]$와 $[g]$는 모두 ${\pi }_1(X,a)$의 무한 순환 부분군을 생성한다.

$g=\gamma \ast \delta$가 주어졌을 때, $g$를 $E$로 들어올리는 것을 다음과 같이 정의한다: $\gamma$가 $U$ 안의 경로이므로,

$$\tilde{\gamma }(s)=\pi (\gamma (s)\times \{0\})$$

로 정의할 수 있고; $\delta$가 $V$ 안의 경로이므로,

$$\tilde{\delta }(s)=\pi (\delta (s)\times \{-1\})$$

로 정의할 수 있다. 그러면 $\tilde{\gamma }$과 $\tilde{\delta }$는 $\gamma$과 $\delta$의 들어올림이다. 곱 $\tilde{g}=\tilde{\gamma }\ast \tilde{\delta }$는 정의되는데, 왜냐하면 $\tilde{\gamma }$는 $\pi (a^{\prime }\times \{0\})$에서 끝나고 $\tilde{\delta }$는 $\pi (a^{\prime }\times \{-1\})$에서 시작하기 때문이다. 그리고 이것은 $g$의 들어올림이다. $\tilde{g}$는 $E$ 안의 고리인데, 왜냐하면 $\pi (a\times \{0\})=\pi (a\times \{-1\})=e_0$에서 시작하고 끝나기 때문이다.

따라서 $[f]$와 $[g]$에 의해 생성된 부분군들은 항등원 외에는 교집합을 갖지 않는다. 왜냐하면 $f$를 자신과 $m$번 곱한 것은 $e_0$에서 시작하여 $e_m$에서 끝나는 경로로 들어올려지는 반면, $g$를 자신과 곱한 모든 것은 $e_0$에서 시작하고 끝나는 경로로 들어올려지기 때문이다. 따라서 0이 아닌 모든 $m,k$에 대해 $[f{]}^m\ne [g{]}^k$이다.

정리 63.2 (비분리 정리, A nonseparation theorem)

$S^2$ 안의 호(arc) $D$는 $S^2$를 분리하지 않는다.

증명

이 정리에 대해 두 가지 증명을 제시한다. 첫 번째는 이전 절의 결과를 사용하고, 두 번째는 그렇지 않다.

첫 번째 증명. $D$는 축약 가능하므로, 항등 사상 $i:D\to D$는 눌호모토피(nulhomotopic)이다. 따라서 $a$와 $b$가 $D$에 없는 $S^2$의 두 점이라면, 포함 사상 $j:D\to S^2-a-b$는 눌호모토피이다. 보르수크 보조정리(Borsuk lemma)는 $a$와 $b$가 $S^2-D$의 같은 성분 안에 있음을 암시한다.

두 번째 증명. $D$를 한 점 $d$에서 교차하는 두 호 $D_1$과 $D_2$의 합집합으로 쓰자. $D$에 없는 점 $a$와 $b$를 생각하자. 만약 $a$와 $b$가 $S^2-D_1$과 $S^2-D_2$에서 경로로 연결될 수 있다면, $S^2-D$에서도 경로로 연결될 수 있음을 보인다. 그림은 주장이 완전히 자명하지는 않다는 사실을 보여준다.

$a$와 $b$가 $S^2-D$에서 경로로 연결될 수 없다고 가정하고 모순을 이끌어낸다. 우리는 정리 63.1을 적용한다. 공간 $X$를 $S^2-d$라 하자. $U$와 $V$를 열린 집합

U = S^2 - D_1 \quad \text{and} \quad V = S^2 - D_2

라 하자. 그러면 $X=U\cup V$이고, $U\cap V=S^2-D$이다. 가정에 의해, $a$와 $b$는 $S^2-D$의 점들이고 $S^2-D$ 안에서 경로로 연결될 수 없다. 따라서 $U\cap V$는 경로 연결이 아니다.

$A$를 $a$를 포함하는 $U\cap V$의 경로 성분이라 하고, $B$를 $U\cap V$의 다른 경로 성분들의 합집합이라 하자. $U\cap V$가 국소 경로 연결이므로($S^2$에서 열려 있으므로), $U\cap V$의 경로 성분들은 열려 있다; 따라서 $A$와 $B$는 $X$에서 열려 있다. $a$와 $b$가 $U=S^2-D_1$과 $V=S^2-D_2$에서 경로로 연결될 수 있다고 주어졌다. 우리는 정리 63.1로부터 ${\pi }_1(X,a)$가 자명하지 않다고 결론 내린다. 그러나 $X=S^2-d$이므로, 그것의 기본군은 자명하다.

이제 정리를 증명한다. 주어진 호 $D$와 $S^2-D$의 점들 $a,b$에 대해, $a$와 $b$가 $S^2-D$에서 경로로 연결될 수 없다고 가정하고 모순을 이끌어낸다. 동형사상 $h:[0,1]\to D$를 선택하고, $D_1=h([0,1/2])$과 $D_2=h([1/2,1])$이라 하자. 이전 단락의 결과는 $a$와 $b$가 $S^2-D$에서 경로로 연결될 수 없으므로, $S^2-D_1$과 $S^2-D_2$ 모두에서 경로로 연결될 수는 없다는 것을 보여준다. 구체적으로, $a$와 $b$가 $S^2-D_1$에서 경로로 연결될 수 없다고 가정하자.

이제 $D_1$을 두 호 $E_1=h([0,1/4])$와 $E_2=h([1/4,1/2])$로 나누어 논증을 반복한다. 이전처럼, $a$와 $b$가 $S^2-E_1$과 $S^2-E_2$ 모두에서 경로로 연결될 수는 없다고 결론 내린다.

유사하게 계속한다. 이런 방식으로 우리는 구간들의 열

$$I\supset I_1\supset I_2\supset \cdots$$

을 정의하는데, 여기서 $I_n$은 길이가 $(1/2{)}^n$이고, 각 $n$에 대해 점 $a$와 $b$는 $S^2-h(I_n)$에서 경로로 연결될 수 없다. 단위 구간의 콤팩트성은 $\cap I_n$에 점 $x$가 존재함을 보장한다; 구간들의 길이가 0으로 수렴하므로, 그러한 점은 단 하나뿐이다.

공간 $S^2-h(x)$를 생각하자. 이 공간은 $R^2$와 동형이므로, 점 $a$와 $b$는 $S^2-h(x)$ 안에서 경로 $\alpha$로 연결될 수 있다. $\alpha (I)$가 콤팩트이므로 닫혀 있고, 따라서 $h(x)$의 어떤 $ϵ$-근방은 $\alpha (I)$와 서로소이다. 그러면 $h$가 연속이므로, 어떤 $m$에 대해 $h(I_m)$이 이 $ϵ$-근방 안에 놓인다. 따라서 $\alpha$는 $S^2-h(I_m)$ 안에서 $a$와 $b$를 연결하는 경로이며, 이는 가정에 모순된다.

이 정리의 두 증명 모두 흥미롭다. §62에서 언급했듯이, 첫 번째 증명은 $S^2$의 어떤 콤팩트 축약 가능 부분공간도 $S^2$를 분리하지 않음을 보이는 것으로 일반화된다. 두 번째 증명은 다른 방향으로 일반화된다. 이 두 번째 증명을 살펴보고, 어떤 속성이 이 증명을 가능하게 했는지 자문해보자. $D_1$과 $D_2$의 어떤 속성이 필요했는가? 필요한 것은 $D_1$과 $D_2$가 $S^2$의 닫힌 부분집합이고 $S^2-(D_1\cap D_2)$가 단순 연결이라는 사실뿐이었다. 따라서 우리는 나중에 사용할 다음 결과를 얻는다:

정리 63.3 (일반적인 비분리 정리, A general nonseparation theorem)

$S^2-D_1\cap D_2$가 단순 연결인 $S^2$의 닫힌 부분집합 $D_1,D_2$를 생각하자. 만약 $D_1$이나 $D_2$ 어느 것도 $S^2$를 분리하지 않는다면, $D_1\cup D_2$도 $S^2$를 분리하지 않는다.

이제 조르당 곡선 정리를 증명한다.

정리 63.4 (조르당 곡선 정리, The Jordan curve theorem)

$C$가 $S^2$ 안의 단순 닫힌 곡선이라 하자. 그러면 $C$는 $S^2$를 정확히 두 개의 성분 $W_1$과 $W_2$로 분리한다. 각 집합 $W_1$과 $W_2$는 $C$를 경계로 가진다; 즉, $i=1,2$에 대해 $C=\text{Bd }{W}_i={\bar{W}}_i-W_i$이다.

증명

1단계. 먼저 $S^2-C$가 정확히 두 개의 성분을 가짐을 증명한다. $C$를 두 점 집합 $\{p,q\}$에서만 교차하는 두 호 $C_1$과 $C_2$의 합집합으로 쓰자. $X$를 공간 $S^2-p-q$라 하고, $U$와 $V$를 열린 집합

$$U=S^2-C_1\text{and}V=S^2-C_2$$

라 하자. 그러면 $X=U\cup V$이고, $U\cap V=S^2-C$이다. 조르당 분리 정리에 의해, 공간 $U\cap V$는 적어도 두 개의 성분을 가진다.

$U\cap V$가 두 개보다 많은 성분을 가진다고 가정하고 모순을 이끌어낸다. $A_1,A_2$를 $U\cap V$의 두 성분이라 하고, $B$를 나머지 성분들의 합집합이라 하자. $S^2-C$가 국소 연결이므로, 이 집합들은 각각 열려 있다. $a\in A_1$, $a^{\prime }\in A_2$, $b\in B$라 하자. 호 $C_1$과 $C_2$가 $S^2$를 분리하지 않으므로, $a$에서 $b$로, 그리고 $a$에서 $a^{\prime }$로 가는 $U$ 안의 경로 $\alpha ,\gamma$가 있고, $b$에서 $a$로, 그리고 $a^{\prime }$에서 $a$로 가는 $V$ 안의 경로 $\beta ,\delta$가 있다. 루프 $f=\alpha \ast \beta$와 $g=\gamma \ast \delta$를 생각하자. $U\cap V$를 열린 집합 $A_1\cup A_2$와 $B$의 합집합으로 쓰면, 정리 63.1은 $[f]$가 ${\pi }_1(X,a)$의 비자명 원소임을 암시한다. $U\cap V$를 서로소인 열린 집합 $A_1$과 $A_2\cup B$의 합집합으로 쓰면, $[g]$ 또한 ${\pi }_1(X,a)$의 비자명 원소임을 알 수 있다. ${\pi }_1(X,a)$가 무한 순환군이므로, 어떤 0이 아닌 정수 $m,k$에 대해 $[f{]}^m=[g{]}^k$이어야 한다. 이 결과는 정리 63.1의 (c)와 모순된다.

2단계. 이제 $C$가 $W_1$과 $W_2$의 공통 경계임을 보인다. $S^2$가 국소 연결이므로, $S^2-C$의 각 성분 $W_1,W_2$는 $S^2$에서 열려 있다. 특히, 어느 쪽도 다른 쪽의 극한점을 포함하지 않으므로, 두 집합 $\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1$과 $\text{Bd }{W}_2={\bar{W}}_2-W_2$는 모두 $C$에 포함되어야 한다.

역포함을 증명하기 위해, $x$가 $C$의 점이라면 $x$의 모든 근방 $U$가 닫힌 집합 $\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1$과 교차함을 보인다. 따라서 $x$는 집합 $\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1$ 안에 있다. $U$를 $x$의 근방이라 하자. $C$가 원 $S^1$과 동형이므로, $C$를 두 호 $C_1,C_2$로 나눌 수 있는데, 이들은 끝점에서만 교차하며 $C_1$은 $U$ 안에 있도록 충분히 작게 잡을 수 있다.림

$a$와 $b$를 각각 $W_1,W_2$의 점이라 하자. $C_2$가 $S^2$를 분리하지 않으므로, $a$와 $b$를 잇는 $S^2-C_2$ 안의 경로 $\alpha$를 찾을 수 있다. 집합 $\alpha (I)$는 집합 $\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1$의 점 $y$를 포함해야 한다. 왜냐하면 그렇지 않으면 $\alpha (I)$는 서로소인 열린 집합 $W_1$과 $S^2-{\bar{W}}_1$의 합집합에 놓인 연결 집합이 되어 각각과 교차하기 때문이다. 점 $y$는 $(\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1)\subset C$이므로 닫힌 곡선 $C$에 속한다. 경로 $\alpha$가 호 $C_2$와 교차하지 않으므로, 점 $y$는 호 $C_1$ 안에 있어야 하며, 이는 다시 열린 집합 $U$ 안에 있다. 따라서 $U$는 $\text{Bd }{W}_1={\bar{W}}_1-W_1$과 점 $y$에서 교차한다.

이전 정리들과 마찬가지로, 이제 우리는 이 정리의 증명을 가능하게 한 것이 무엇인지 자문해 본다. 증명의 1단계를 검토해보면, 우리가 사용한 것은 $C_1,C_2$가 닫힌 연결 집합이고, $C_1\cap C_2$가 두 점으로 이루어져 있으며, $C_1,C_2$ 둘 다 $S^2$를 분리하지 않는다는 사실뿐이었다. 처음 두 사실은 $C_1\cup C_2$가 $S^2$를 적어도 두 개의 성분으로 분리함을 의미했고, 세 번째 사실은 성분이 두 개뿐임을 의미했다. 따라서 추가적인 노력 없이 다음 결과를 얻을 수 있다:

정리 63.5

$C_1$과 $C_2$가 $S^2$의 닫힌 연결 부분집합이고 그 교집합이 두 점으로 이루어져 있다고 하자. 만약 $C_1$이나 $C_2$ 어느 것도 $S^2$를 분리하지 않는다면, $C_1\cup C_2$는 $S^2$를 정확히 두 개의 성분으로 분리한다.

예제 1

조르당 곡선 정리의 후반부, 즉 $C$가 $W_1$과 $W_2$의 공통 경계라는 내용은 너무나 명백해 보여서 거의 언급할 필요가 없어 보일 수 있다. 그러나 그것은 $C$가 $S^1$과 동형이라는 사실에 결정적으로 의존한다.

예를 들어, 그림에 표시된 공간을 생각해보자. 이것은 교집합이 두 점으로 이루어진 두 호의 합집합이므로, 정리 63.5에 의해 원처럼 $S^2$를 두 성분 $W_1$과 $W_2$로 분리한다. 그러나 이 경우 $C$는 $W_1$과 $W_2$의 공통 경계와 같지 않다.

이 세 가지 분리 정리와 함께 종종 고려되는 네 번째 정리가 있다. 그것은 쇤플리스 정리(Schoenflies theorem)라고 불리며, 만약 $C$가 $S^2$ 안의 단순 닫힌 곡선이고 $U$와 $V$가 $S^2-C$의 성분이라면, $\bar{U}$와 $\bar{V}$는 각각 닫힌 단위 공 $B^2$과 동형이라는 것을 말한다. 증명은 [H-S]에서 찾을 수 있다.

분리 정리는 다음과 같이 고차원으로 일반화될 수 있다: (1) $S^{n-1}$과 동형인 $S^n$의 모든 부분공간 $C$는 $S^n$을 분리한다. (2) $[0,1]$ 또는 어떤 공 $B^m$과 동형인 $S^n$의 부분공간 $A$는 $S^n$을 분리하지 않는다. (3) $S^{n-1}$과 동형인 $S^n$의 모든 부분공간 $C$는 $S^n$을 두 성분으로 분리하며, $C$는 그들의 공통 경계이다.

이러한 정리들은 대수적 위상수학에서 특이 호몰로지 군을 공부하고 나면 상당히 쉽게 증명될 수 있다. ([Mu], p. 202 참조) $R^n$에 대한 영역 불변성(invariance of domain)에 관한 브라우어 정리(Brouwer theorem)가 따름정리로 나온다.

그러나 쇤플리스 정리는 공간 $C$가 $S^n$에 매장되는 방식에 대한 몇 가지 제한 없이는 고차원으로 일반화되지 않는다. 이것은 “알렉산더의 뿔 달린 구(Alexander horned sphere)“라는 유명한 예시에 의해 보여지는데, 이것은 $S^3$ 안의 $S^2$의 동형 이미지로, 그 여집합 영역 중 하나가 단일 연결이 아니다! ([H-Y], p. 176 참조)

분리 정리는 이보다 훨씬 더 일반화될 수 있다. 이 분야의 결정적인 정리는 유명한 알렉산더-폰트랴긴 쌍대성 정리(Alexander-Pontryagin duality theorem)로, 대수적 위상수학의 상당히 깊은 정리이며, 여기서 서술하려고 하지는 않겠다. ([Mu] 참조) 그것은 닫힌 부분공간 $C$가 $S^n$을 $k$개의 성분으로 분리한다면, $C$와 동형(또는 심지어 호모토피 동치)인 $S^n$의 어떤 부분공간도 마찬가지로 분리한다는 것을 의미한다. 분리 정리 (1)-(3)은 즉각적인 따름정리들이다.

Footnotes

1. $U\cap V$가 서로소인 두 열린 집합 $A$와 $B$로 나뉜다는 조건은, $U$와 $V$를 통해 $A$와 $B$ 사이를 오가는 루프가 필연적으로 ‘구멍’ 감싸게 된다는 것을 의미한다. ↩

2. 이 결과는 정리 54.6을 사용하며, §65에서 와인딩 수(winding numbers)를 다룰 때만 사용될 것이다. ↩