79. Equivalence of Covering Spaces

지금까지 우리는 주로 기본군(fundamental group)을 계산하는 도구로서 덮개 공간(covering space)을 사용해왔다. 이제 우리는 관점을 바꾸어 기본군을 덮개 공간을 연구하는 도구로 사용하고자 한다.

이를 합리적인 방식으로 수행하기 위해, 우리는 $B$가 국소 경로 연결(locally path connected)인 경우로 제한해야 한다. 일단 이렇게 하면, $B$를 경로 연결(path connected)이라고 요구하는 것이 좋다. 왜냐하면 $B$는 그 경로 성분(path component)인 서로소인 열린 집합 $B_{\alpha }$들로 나뉘고, $p$를 제한하여 얻은 사상 $p^{-1}(B_{\alpha })\to B_{\alpha }$들은 정리 53.2에 의해 덮개 사상(covering map)이기 때문이다. 또한 $E$도 경로 연결이라고 가정하는 것이 좋다. 왜냐하면 $E_{\alpha }$가 $p^{-1}(B_{\alpha })$의 경로 성분이면, $p$를 제한하여 얻은 사상 $E_{\alpha }\to B_{\alpha }$ 또한 덮개 사상이기 때문이다. (보조정리 80.1 참조). 따라서, 국소 경로 연결 공간 $B$의 모든 덮개를 결정하는 것은 $B$의 각 경로 성분에 대한 모든 경로 연결 덮개를 결정하는 것만으로 충분하다.

이러한 이유로, 우리는 다음과 같은 관례 를 정한다.

관례 (Convention)

이 장 전체에 걸쳐, $p:E\to B$가 덮개 사상이라는 진술은, 특별히 언급하지 않는 한 $E$와 $B$가 국소 경로 연결이고 경로 연결임을 가정하는 것을 포함한다.

이 관례 하에, 이제 $B$의 덮개 공간과 $B$의 기본군 사이의 관계를 설명한다.

$p(e_0)=b_0$인 덮개 사상 $p:E\to B$가 있다면, 유도된 준동형사상(induced homomorphism) $p_{\ast }$는 정리 54.6에 의해 단사(injective)이므로,

$$H_0=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$$

는 ${\pi }_1(E,e_0)$와 동형(isomorphic)인 ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군이다. 부분군 $H_0$는 덮개의 동치(equivalence of coverings)라는 적절한 개념 하에서 덮개 $p$를 완전히 결정한다는 것이 밝혀졌다. 이것을 §79에서 증명할 것이다. 더 나아가, $B$에 대한 (상당히 약한) 추가적인 “국소적으로 좋은(local niceness)” 조건 하에서, ${\pi }_1(B,b_0)$의 각 부분군 $H_0$에 대해, 대응하는 부분군이 $H_0$인 $B$의 덮개 $p:E\to B$가 존재한다. 이것은 §82에서 증명할 것이다.

대략적으로 말하면, 이러한 결과들은 ${\pi }_1(B,b_0)$의 모든 부분군들의 집합을 조사하는 것만으로 $B$의 모든 덮개 공간을 결정할 수 있음을 보여준다. 이것이 대수적 위상수학의 고전적인 절차이다; 위상수학의 문제를 대수학의 문제로 환원하여 해결하는 것인데, 바라건대 더 다루기 쉬운 문제가 되기를 바라는 것이다.

이 장 전체에 걸쳐, 우리는 일반적인 들어올림 대응 정리(general lifting correspondence theorem)인 정리 54.6을 가정한다.

이 절에서는 $p:E\to B$가 덮개 사상(covering map)일 때, ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군 $H_0$가 덮개의 동치(equivalence of coverings)라는 적절한 개념 하에서 덮개 $p$를 완전히 결정함을 보인다.

정의

$p:E\to B$와 $p^{\prime }:E^{\prime }\to B$를 덮개 사상(covering map)이라 하자. $p=p^{\prime }\circ h$를 만족하는 위상동형사상(homeomorphism) $h:E\to E^{\prime }$가 존재할 때, 이들을 동치(equivalent) 라 한다. 위상동형사상 $h$는 덮개 사상의 동치(equivalence of covering maps) 또는 덮개 공간의 동치(equivalence of covering spaces) 라 불린다.

\usepackage{tikz-cd}
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
E \arrow[rr, "h"] \arrow[dr, "p"'] & & E' \arrow[dl, "p'"] \\
& B &
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

두 덮개 사상 $p:E\to B$와 $p^{\prime }:E^{\prime }\to B$에 대응하는 부분군 $H_0$와 $H_0^{\prime }$가 같을 때, 동치사상 $h:E\to E^{\prime }$가 존재함을 증명할 것이다. 이를 위해, §54의 들어올림 보조정리(lifting lemma)를 일반화할 필요가 있다.

보조정리 79.1 (일반 들어올림 보조정리, The general lifting lemma)

$p:E\to B$를 덮개 사상이라 하고, $p(e_0)=b_0$라 하자. $f:Y\to B$를 $f(y_0)=b_0$인 연속 사상이라 하자. $Y$가 경로 연결(path connected)이고 국소 경로 연결(locally path connected)이라 가정하자. 사상 $f$를 $\tilde{f}(y_0)=e_0$를 만족하는 사상 $\tilde{f}:Y\to E$로 들어올릴 수 있을 필요충분조건은 다음과 같다.

$$f_{\ast }({\pi }_1(Y,y_0))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0)).$$

더욱이, 그러한 들어올림이 존재한다면, 그것은 유일하다.

증명

만약 들어올림 $\tilde{f}$가 존재한다면,

$$f_{\ast }({\pi }_1(Y,Y_0))=p_{\ast }({\tilde{f}}_{\ast }({\pi }_1(Y,y_0)))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$$

이다. 이것으로 정리의 “필요” 부분을 증명했다.

이제 $\tilde{f}$가 존재한다면 유일함을 보인다. $y_1\in Y$가 주어졌을 때, $Y$에서 $y_0$에서 $y_1$으로 가는 경로 $\alpha$를 택하자. $B$에서의 경로 $f\circ \alpha$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\gamma$로 들어올리자. 만약 $f$의 들어올림 $\tilde{f}$가 존재한다면, $\tilde{f}(y_1)$은 $\gamma$의 끝점 $\gamma (1)$과 같아야 한다. 왜냐하면 $\tilde{f}\circ \alpha$는 $e_0$에서 시작하는 $f\circ \alpha$의 들어올림이고, 경로 들어올림은 유일하기 때문이다.

마지막으로, 정리의 “충분” 부분을 증명한다. 증명의 유일성 부분은 어떻게 진행해야 할지에 대한 단서를 준다. $y_1\in Y$가 주어졌을 때, $Y$에서 $y_0$에서 $y_1$으로 가는 경로 $\alpha$를 택하자. 경로 $f\circ \alpha$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\gamma$로 들어올리고, $\tilde{f}(y_1)=\gamma (1)$로 정의하자. $\tilde{f}$가 $\alpha$의 선택에 무관하게 잘 정의됨을 보이는 데는 어느 정도의 노력이 필요하다. 일단 그것을 증명하면, $\tilde{f}$의 연속성은 쉽게 증명되며, 이제 그것을 보이겠다.

$Y$의 점 $y_1$에서 $\tilde{f}$의 연속성을 증명하기 위해, $\tilde{f}(y_1)$의 임의의 이웃 $N$에 대해 $\tilde{f}(W)\subset N$을 만족하는 $y_1$의 이웃 $W$가 있음을 보인다. 먼저, $p$에 의해 고르게 덮이는(evenly covered) $f(y_1)$의 경로 연결 이웃 $U$를 택하자. $p^{-1}(U)$를 조각(slice)들로 분할하고, 점 $\tilde{f}(y_1)$을 포함하는 조각을 $V_0$라 하자. 필요하다면 $f(y_1)$의 더 작은 이웃으로 $U$를 교체하여, $V_0\subset N$이라 가정할 수 있다. $p_0:V_0\to U$를 $p$를 제한하여 얻은 사상이라 하면, $p_0$는 위상동형사상이다. $f$가 $y_1$에서 연속이고 $Y$가 국소 경로 연결이므로, $f(W)\subset U$를 만족하는 $y_1$의 경로 연결 이웃 $W$를 찾을 수 있다. 우리는 $\tilde{f}(W)\subset V_0$임을 보일 것이고, 그러면 증명이 끝난다.

$y\in W$가 주어졌을 때, $W$에서 $y_1$에서 $y$로 가는 경로 $\beta$를 택하자. $\tilde{f}$가 잘 정의되었으므로, $\tilde{f}(y)$는 $y_0$에서 $y$로 가는 경로 $\alpha \ast \beta$를 취하고, 경로 $f\circ (\alpha \ast \beta )$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로로 들어올린 후, 이 들어올린 경로의 끝점을 $\tilde{f}(y)$로 하여 얻을 수 있다. 이제 $\gamma$는 $e_0$에서 시작하는 $\alpha$의 들어올림이다. 경로 $f\circ \beta$는 $U$ 안에 있으므로, 경로 $\delta =p_0^{-1}\circ f\circ \beta$는 $\tilde{f}(y_1)$에서 시작하는 그것의 들어올림이다. 그러면 $\gamma \ast \delta$는 $e_0$에서 시작하는 $f\circ (\alpha \ast \beta )$의 들어올림이고, 이것은 $V_0$의 점 $\delta (1)$에서 끝난다. 따라서 원하는 대로 $\tilde{f}(W)\subset V_0$이다.

마지막으로, $\tilde{f}$가 잘 정의되었음을 보인다. $Y$에서 $y_0$에서 $y_1$으로 가는 두 경로 $\alpha$와 $\beta$를 생각하자. $f\circ \alpha$와 $f\circ \beta$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로로 들어올렸을 때, 이 들어올린 경로들이 $E$의 같은 점에서 끝남을 보여야 한다.

먼저, $f\circ \alpha$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\gamma$로 들어올린다. 그 다음, $f\circ \bar{\beta }$를 $\gamma$의 끝점 $\gamma (1)$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\delta$로 들어올린다. 그러면 $\gamma \ast \delta$는 고리(loop) $f\circ (\alpha \ast \bar{\beta })$의 들어올림이다. 이제 가정에 의해,

$$f_{\ast }({\pi }_1(Y,y_0))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$$

이다. 따라서 $[f\circ (\alpha \ast \bar{\beta })]$는 $p_{\ast }$의 상(image)에 속한다. 정리 54.6에 의해 이제 그 들어올림 $\gamma \ast \delta$는 $E$ 안의 고리이다.

따라서 $\tilde{f}$는 잘 정의된다. 왜냐하면 $\bar{\delta }$는 $e_0$에서 시작하는 $f\circ \beta$의 들어올림이고, $\gamma$는 $e_0$에서 시작하는 $f\circ \alpha$의 들어올림이며, 두 들어올림 모두 $E$의 같은 점에서 끝나기 때문이다.

정리 79.2

$p:E\to B$와 $p^{\prime }:E^{\prime }\to B$를 덮개 사상이라 하고, $p(e_0)=p^{\prime }(e_0^{\prime })=b_0$라 하자. $h(e_0)=e_0^{\prime }$를 만족하는 동치사상 $h:E\to E^{\prime }$가 존재할 필요충분조건은 군

$$H_0=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))\text{와}{H}_0^{\prime }=p_{\ast }^{\prime }({\pi }_1(E^{\prime },e_0^{\prime }))$$

가 같은 것이다. 만약 $h$가 존재한다면, 그것은 유일하다.

증명

정리의 “필요” 부분을 증명한다. $h$가 주어졌을 때, $h$가 위상동형사상이라는 사실은

$$h_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))={\pi }_1(E^{\prime },e_0^{\prime })$$

임을 의미한다. $p^{\prime }\circ h=p$이므로, $H_0=H_0^{\prime }$이다.

이제 정리의 “충분” 부분을 증명한다. 즉, $H_0=H_0^{\prime }$라 가정하고 $h$의 존재를 보인다. 우리는 앞의 보조정리를 (네 번) 적용할 것이다. 사상들을 생각해보자.

$$\begin{array}{ccc}{E}^{\prime }& & \\ p^{\prime }\downarrow & & \\ E& \stackrel{p}{\to }& B\end{array}$$

$p^{\prime }$가 덮개 사상이고 $E$가 경로 연결이며 국소 경로 연결이므로, $p$의 들어올림인 $h:E\to E^{\prime }$가 존재하며 $h(e_0)=e_0^{\prime }$이고 $p^{\prime }\circ h=p$를 만족한다. 이 논증에서 $E$와 $E^{\prime }$의 역할을 바꾸면, $p\circ k=p^{\prime }$를 만족하는 사상 $k:E^{\prime }\to E$가 존재하며 $k(e_0^{\prime })=e_0$이다. 이제 사상들을 생각해보자.

$$\begin{array}{ccc}E& & \\ p\downarrow & & \\ E& \stackrel{p}{\to }& B\end{array}$$

사상 $k\circ h:E\to E$는 $p$의 들어올림이다(왜냐하면 $p\circ k\circ h=p^{\prime }\circ h=p$이므로). 그리고 $p(e_0)=e_0$이다. $E$의 항등 사상 $i_E$도 그러한 들어올림이다. 앞의 보조정리의 유일성 부분에 의해 $k\circ h=i_E$임이 함의된다. 비슷한 논증으로 $h\circ k$가 $E^{\prime }$의 항등 사상임을 보인다.

우리는 동치 문제를 해결한 것처럼 보인다. 그러나 우리가 간과한 미묘한 점이 있다. 우리는 점 $e_0$를 점 $e_0^{\prime }$로 보내는 동치사상 $h:E\to E^{\prime }$가 존재하기 위한 필요충분조건을 얻었다. 그러나 우리는 아직 일반적인 동치사상 존재 조건은 결정하지 않았다. $e_0$를 $e_0^{\prime }$로 보내는 동치사상은 없지만, $e_0$를 $(p^{\prime }{)}^{-1}(b_0)$의 다른 어떤 점 $e_1^{\prime }$로 보내는 동치사상이 존재할 수도 있다. 이것이 부분군 $H_0$와 $H_0^{\prime }$를 조사하는 것만으로 결정될 수 있는가? 이제 이 문제를 고려한다.

$G$의 부분군 $H_1$과 $H_2$에 대해, $G$의 어떤 원소 $\alpha$에 대해 $H_2=\alpha \cdot H_1\cdot {\alpha }^{-1}$일 때, 이들을 켤레 부분군(conjugate subgroups) 이라 한다. 다르게 말하면, $x$를 $\alpha \cdot x\cdot {\alpha }^{-1}$로 보내는 $G$의 동형사상이 군 $H_1$을 군 $H_2$ 위로 보낼 때, 이들은 켤레이다. 켤레 관계는 $G$의 부분군들의 집합 위에서 동치 관계임을 쉽게 확인할 수 있다. 부분군 $H$의 동치류를 $H$의 켤레류(conjugacy class) 라 한다.

보조정리 79.3

$p:E\to B$를 덮개 사상이라 하자. $e_0$와 $e_1$을 $p^{-1}(b_0)$의 점이라 하고, $H_i=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_i))$라 하자. (a) $\gamma$가 $E$에서 $e_0$에서 $e_1$으로 가는 경로이고, $\alpha$가 $B$에서 고리 $p\circ \gamma$이면, 등식 $[\alpha ]\ast H_1\ast [\alpha {]}^{-1}=H_0$가 성립한다. 따라서 $H_0$와 $H_1$은 켤레이다. (b) 역으로, $e_0$가 주어지고 $H_0$와 켤레인 ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군 $H$가 주어지면, $H_1=H$를 만족하는 $p^{-1}(b_0)$의 점 $e_1$이 존재한다.

증명

(a) 먼저 $[\alpha ]\ast H_1\ast [\alpha {]}^{-1}\subset H_0$임을 보인다. $H_1$의 원소 $[h]$가 주어졌을 때, $[h]=p_{\ast }([\tilde{h}])$를 만족하는 $e_1$에 기반을 둔 $E$의 고리 $\tilde{h}$가 있다. 경로 $\tilde{k}=(\gamma \ast \tilde{h})\ast \bar{\gamma }$는 $e_0$에 기반을 둔 $E$의 고리이고,

$$p_{\ast }([\tilde{k}])=[(\alpha \ast h)\ast \bar{\alpha }]=[\alpha ]\ast [h]\ast [\alpha {]}^{-1}$$

이므로, 후자의 원소는 원하는 대로 $p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))=H_0$에 속한다.

이제 $[\alpha ]\ast H_1\ast [\alpha {]}^{-1}\supset H_0$임을 보인다. $\bar{\gamma }$는 $e_1$에서 $e_0$으로 가는 경로이고 $\bar{\alpha }$는 고리 $p\circ \bar{\gamma }$와 같다. 방금 증명한 결과에 의해,

$$[\bar{\alpha }]\ast H_0\ast [\bar{\alpha }{]}^{-1}\subset H_1$$

이며, 이는 우리가 원하는 결과를 함의한다.

(b) 역을 증명하기 위해, $e_0$가 주어지고 $H$가 $H_0$와 켤레라 하자. 그러면 $b_0$에 기반을 둔 $B$의 어떤 고리 $\alpha$에 대해 $H_0=[\alpha ]\ast H\ast [\alpha {]}^{-1}$이다. $\alpha$를 $e_0$에서 시작하는 $E$ 안의 경로 $\gamma$로 들어올리고, $e_1=\gamma (1)$이라 하자. 그러면 (a)에 의해 $H_0=[\alpha ]\ast H_1\ast [\alpha {]}^{-1}$이다. 우리는 $H=H_1$이라고 결론짓는다.

정리 79.4

$p:E\to B$와 $p^{\prime }:E^{\prime }\to B$를 덮개 사상이라 하고, $p(e_0)=p^{\prime }(e_0^{\prime })=b_0$라 하자. 덮개 사상 $p$와 $p^{\prime }$가 동치일 필요충분조건은 ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군

$$H_0=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))\text{와}{H}_0^{\prime }=p_{\ast }^{\prime }({\pi }_1(E^{\prime },e_0^{\prime }))$$

가 켤레인 것이다.

증명

$h:E\to E^{\prime }$가 동치사상이면, $e_1^{\prime }=h(e_0)$라 하고 $H_1^{\prime }=p_{\ast }({\pi }_1(E^{\prime },e_1^{\prime }))$라 하자. 정리 79.2는 $H_0=H_1^{\prime }$임을 함의하고, 앞의 보조정리는 $H_1^{\prime }$이 $H_0^{\prime }$와 켤레임을 알려준다.

역으로, 군 $H_0$와 $H_0^{\prime }$가 켤레이면, 앞의 보조정리에 의해 $H_1^{\prime }=H_0$를 만족하는 $E^{\prime }$의 점 $e_1^{\prime }$이 존재한다. 그러면 정리 79.2는 $h(e_0)=e_1^{\prime }$를 만족하는 동치사상 $h:E\to E^{\prime }$를 준다.

예제 1

원 $B=S^1$의 덮개 공간을 생각해보자. ${\pi }_1(B,b_0)$가 아벨군이므로, ${\pi }_1(B,b_0)$의 두 부분군은 켤레일 필요충분조건은 그들이 같은 것이다. 따라서 $B$의 두 덮개는 그들이 ${\pi }_1(B,b_0)$의 같은 부분군에 대응할 때만 동치이다.

이제 ${\pi }_1(B,b_0)$는 정수들의 덧셈군 $\mathbb{Z}$와 동형이다. $\mathbb{Z}$의 부분군들은 무엇인가? 현대 대수학의 표준 정리에 따르면, $\mathbb{Z}$의 자명하지 않은 부분군은 어떤 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$에 대해 $n$의 모든 배수로 이루어진 군 $G_n$이어야 한다.

우리는 원의 한 덮개 공간인 덮개 $p:\mathbb{R}\to S^1$을 연구했다. $\mathbb{R}$이 단일 연결(simply connected)이므로, 이것은 ${\pi }_1(S^1,b_0)$의 자명한 부분군에 대응해야 한다. 우리는 또한 $z$가 복소수일 때 $p(z)=z^n$으로 정의된 덮개 $p:S^1\to S^1$을 고려했다. 이 경우, 사상 $p_{\ast }$는 ${\pi }_1(S^1,b_0)$의 생성원을 자기 자신의 $n$배로 보낸다. 따라서, 군 $p_{\ast }({\pi }_1(S^1,b_0))$는 ${\pi }_1(S^1,b_0)$와 $\mathbb{Z}$ 사이의 표준 동형사상 하에서 $\mathbb{Z}$의 부분군 $G_n$에 대응한다.

앞의 정리로부터 우리는 $S^1$의 모든 경로 연결 덮개 공간이 이러한 덮개 중 하나와 동치라고 결론짓는다.