동차 선형 미분 방정식 (Homogeneous Linear Differential Equations with Constant Coefficients)

많은 경우에서 물리적 법칙은 미분 방정식의 형태로 표현되며, 특히 자연적인 진동, 전기 회로, 유체 역학 등에서 동차 방정식이 등장한다. 예를 들어 물체가 공기 저항을 받으며 자유 낙하할 때, 뉴턴의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+k\frac{dy}{dt}=0$$

여기서,

• $m$ : 물체의 질량 (kg)
• $k$ : 공기 저항 계수 (Ns/m)
• $y(t)$ : 시간에 따른 위치 (m)

이 방정식의 해를 구하면, 물체가 속도를 점차 줄이며 평형 상태로 도달하는 과정을 분석할 수 있다.

동차 선형 미분 방정식(Homogeneous Linear Differential Equation)

미분 방정식(differential equation)은 미지 함수 $y=y(t)$ 와 그 도함수(derivatives)들을 포함하는 방정식이다. 가장 일반적인 $n$계 미분 방정식의 형태는 다음과 같다.

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=f(t)$$

여기서,

• $y^{(k)}$ 는 $y$ 의 $k$계 도함수,
• $a_n,a_{n-1},\dots ,a_0$ 는 $t$ 의 함수(보통 상수 계수인 경우가 많음),
• $f(t)$ 는 주어진 함수이다.

이 방정식에서 오른쪽이 $0$인 경우, 즉 $f(t)=0$이면, 이를 동차 선형 미분 방정식(homogeneous linear differential equation)이라고 한다.

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=0$$

만약 $f(t)\ne 0$이면, 이를 비동차(nonhomogeneous)선형 미분 방정식 이라고 한다.

미분 연산자 $D$

$C^{\infty }$는 모든 차수의 도함수를 가질 수 있는 함수들의 집합을 의미한다. $C^{\infty }$가 $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$의 부분공간(subspace)이다. $x\in C^{\infty }$에 대해, 도함수 $x^{\prime }$도 여전히 $C^{\infty }$에 속한다. 따라서, 우리는 도함수 연산을 통해 다음과 같은 사상(mapping)을 정의할 수 있다.

$$D:C^{\infty }\to C^{\infty }$$ $$D(x)=x^{\prime },\text{for }x\in C^{\infty }$$

쉽게 확인할 수 있듯이, $D$는 선형 연산자(linear operator)이다. 좀 더 일반적으로, 복소수 계수(complex coefficients)를 갖는 다항식(polynomial)

$$p(t)=a_n{t}^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0$$

을 고려하자.

이제, 다음과 같이 정의하면

$$p(D)=a_n{D}^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\cdots +a_{1}D+a_{0}I$$

$p(D)$ 역시 $C^{\infty }$ 위에서의 선형 연산자가 된다. 어떤 차수가 양수인 다항식 $p(t)$에 대해, $p(D)$를 상수 계수를 가진 미분 연산자(differential operator with constant coefficients), 또는 간단히 미분 연산자(differential operator)라고 한다. 미분 연산자 $p(D)$의 차수(order)는 다항식 $p(t)$의 차수(degree)와 같다.

미분 연산자는 선형 대수의 관점에서 미분 방정식을 변형하는 데 유용하게 쓰인다. 임의의 상수 계수를 가지는 동차 선형 미분 방정식(homogeneous linear differential equation with constant coefficients)은 다음과 같이 주어진다.

$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=0$$

이 방정식은 미분 연산자를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$(D^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\cdots +a_{1}D+a_{0}I)(y)=0$$

보조 다항식(Auxiliary Polynomial)

위 미분 방정식에 대해, 다음과 같은 복소수 다항식을 정의한다.

$$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0$$

이를 해당 미분 방정식에 연관된 보조 다항식(auxiliary polynomial) 이라고 한다. ==상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 모든 해의 집합은 미분 연산자 $p(D)$의 영공간(null space)과 일치한다.== 미분 연산자 $p(D)$의 영공간(null space)이란, 모든 $y\in C^{\infty }$에 대해 다음을 만족하는 함수들의 집합이다.

$$p(D)(y)=0$$

이는 해당 미분 방정식의 해를 찾는 문제와 동일하다. 즉, 방정식을 만족하는 모든 함수 $y$의 집합이 $p(D)$의 영공간과 정확히 일치함을 알 수 있다. 또한 ==상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 모든 해의 집합은 $C^{\infty }$의 부분공간(subspace)이다.== ¹

해 공간과 지수 함수

우리는 상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해 집합을 해 공간(solution space) 이라고 부른다. 해 공간을 표현하는 가장 일반적인 방법은 기저(basis)를 찾는 것이다. 이를 위해, 특정 함수 형태를 고려한다.

임의의 실수 $s$에 대해, 우리는 지수 함수 $e^s$를 알고 있다. 여기서 $e$는 자연로그의 밑으로, $\ln e=1$을 만족한다. 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. ($s,t$는 임의의 실수)

$$e^{s+t}=e^s{e}^t,e^{-t}=\frac{1}{e^t}$$

모든 실수 에 대해 위의 성질이 성립한다.

오일러 공식 (Euler’s Formula)

임의의 복소수 $c=a+ib$에 대해,

$$e^c=e^a(\cos b+i\sin b)$$

이며, 특히, $a=0$일 경우,

$$e^{ib}=\cos b+i\sin b$$

이다. 이 공식은 오일러 공식(Euler’s Formula)이라 불린다. 그리고 앞선 지수법칙은 복소수로 확장할 수 있다. ($c,d$는 임의의 복소수)

$$e^{c+d}=e^c{e}^d,e^{-c}=\frac{1}{e^c}$$

지수 함수 (Exponential Function)

복소수 $c$에 대해,

$$f(t)=e^{ct}$$

로 정의되는 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$를 지수 함수(exponential function) 라고 한다. 모든 지수 함수 $f(t)=e^{ct}$에 대해, 도함수는 다음과 같다.

$$f^{\prime }(t)=c{e}^{ct}$$

1계 동차 선형 미분 방정식

미분 방정식

$$y^{\prime }+a_{0}y=0$$

에 대하여, 먼저 자명하게 $e^{-a_{0}t}$은 하나의 근이다. 임의의 해를 $x(t)$라 가정하자. 그렇다면

$$x^{\prime }(t)=-a_{0}x(t)$$

가 성립한다. $z(t)$를 다음과 같이 정의하자.

$$z(t)=e^{a_{0}t}x(t)$$

$z$를 미분하면 $(e^{a_{0}t}{)}^{\prime }=a_0{e}^{a_{0}t}$이고, $x^{\prime }(t)=-a_{0}x(t)$이므로,

$$z^{\prime }(t)=(e^{a_{0}t}{)}^{\prime }x(t)+e^{a_{0}t}{x}^{\prime }(t)=a_0{e}^{a_{0}t}x(t)-a_0{e}^{a_{0}t}x(t)=0$$

$z^{\prime }(t)\equiv 0$, 즉 $z$는 상수 함수이다. $z$가 상수 함수이므로, 어떤 복소수 $k$가 존재하여

$$z(t)=e^{a_{0}t}x(t)=k\forall t\in \mathbb{R}$$

따라서,

$$x(t)=k{e}^{-a_{0}t}.$$

이다. 즉, 주어진 미분 방정식 $y^{\prime }+a_{0}y=0$의 모든 해는 $e^{-a_{0}t}$의 스칼라배(scalar multiple) 형태로 표현된다. 따라서, ==해 공간의 차원은 $1$이며, 기저는 $\{e^{-a_{0}t}\}$임을 알 수 있다.== 나아가 임의의 복소수 $c$에 대해, 미분 연산자 $D-cI$의 영공간(null space)은 $\{e^{ct}\}$을 기저(basis)로 갖는다.²

고차 미분 방정식으로 확장 (Higher-Order Differential Equations)

이제, 차수가 1보다 큰 미분 방정식을 고려하자. 일반적인 $n$계 상수 계수 동차 선형 미분 방정식은 다음과 같다.

$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=0$$

이에 대응하는 보조 다항식 (auxiliary polynomial)은

$$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0$$

대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Algebra)에 의해, $1$차 다항식들의 곱으로 분해된다.

$$p(t)=(t-c_1)(t-c_2)\cdots (t-c_n)$$

여기서 $c_1,c_2,\dots ,c_n$은 (반복될 수도 있는)복소수 근이다. 이를 이용하여 미분 연산자로 변환하면,

$$p(D)=(D-c_{1}I)(D-c_{2}I)\cdots (D-c_{n}I)$$

이다. 미분 연산자 $D-c_{i}I$들은 교환 가능하므로,

$$N(D-c_{i}I)\subseteq N(p(D))$$

이제, $N(p(D))$가 주어진 미분 방정식의 해 공간과 일치하므로, 이를 이용하여 일반해를 구할 수 있다. 따라서 임의의 복소수 $c$가 $p(t)$의 근(root)이라면, 지수 함수 $e^{ct}$는 주어진 미분 방정식의 해이고, 고차 미분 방정식의 해는 보조 다항식의 근을 이용한 지수 함수의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

$p(D)$의 영공간

$n$계 미분 연산자 $p(D)$에 대해, 영공간 $N(p(D))$은 $C^{\infty }$의 $n$차원 부분공간이다.

Lemma 1

미분 연산자 $D-cI:C^{\infty }\to C^{\infty }$는 임의의 복소수 $c$에 대해 전사(onto) 함수이다. ³

Lemma 2

$V$를 벡터 공간이라 하고, $T$와 $U$를 $V$ 위의 선형 연산자라고 하자. $U$가 전사이고, $T$와 $U$의 영공간(null space)이 유한 차원(finite-dimensional)이라면, $TU$의 영공간도 유한 차원이며,

$$\dim (N(TU))=\dim (N(T))+\dim (N(U))$$

$N(p(D))$의 차원

수학적 귀납법(mathematical induction)을 이용하여 미분 연산자 $p(D)$의 차수 $n$에 대해 알아보자.

• $n=1$일 때, $1$계 동차 선형 미분 방정식의 차원은 $1$이다.

• 어떤 $n>1$에 대해, 차수가 $n-1$ 이하인 모든 미분 연산자 $q(D)$에 대해 $\dim (N(q(D)))=n-1$이라고 가정하자.

• 차수가 $n$인 미분 연산자 $p(D)$의 보조 다항식을 인수분해 하면,

$$p(t)=q(t)(t-c)$$

여기서 $q(t)$는 차수가 $n-1$인 다항식이며, $c$는 복소수이다. 이를 미분 연산자로 변환하면,

$$p(D)=q(D)(D-cI)$$

Lemma 2에 의해,

$$\begin{array}{rl}\dim (N(p(D)))& =\dim (N(q(D)))+\dim (N(D-cI))\\ & =(n-1)+1=n\end{array}$$

이므로, $p(D)$의 영공간 $N(p(D))$의 차원은 $n$이다.

지수함수 집합의 선형독립

서로 다른 $n$개의 복소수 $c_1,c_2,\dots ,c_n$에 대해, 지수 함수 집합 $\{e^{c_{1}t},e^{c_{2}t},\dots ,e^{c_{n}t}\}$는 선형 독립(linearly independent)이다.

따라서 $n$계 상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 보조 다항식(auxiliary polynomial)이 $n$개의 서로 다른 근(distinct zeros) $c_1,c_2,\dots ,c_n$을 가진다면,

$$\{e^{c_{1}t},e^{c_{2}t},\dots ,e^{c_{n}t}\}$$

는 해당 미분 방정식의 해 공간(solution space)의 기저(basis)가 된다.

반복근(repeated roots)을 갖는 보조 다항식

주어진 복소수 $c$와 양의 정수 $n$에 대해, $(t-c{)}^n$이 상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 보조 다항식이라 하자. 그러면, 다음과 같은 함수 집합

$$\beta =\{e^{ct},t{e}^{ct},\dots ,t^{n-1}{e}^{ct}\}$$

는 해당 미분 방정식의 해 공간의 기저(basis)가 된다. 미분 방정식의 해 공간이 $n$-차원임을 알고 있으므로, 집합 $\beta$가 선형 독립(linearly independent)이면서 해 공간에 포함됨을 보이면 충분하다.

$\beta$가 해 공간에 포함됨을 보이기

임의의 양의 정수 $k$에 대해, 미분 연산자 $D-cI$를 적용해 보자.

$$(D-cI)(t^k{e}^{ct})$$

곱의 미분 규칙(Product Rule)을 적용하면,

$$(D-cI)(t^k{e}^{ct})=k{t}^{k-1}{e}^{ct}+c{t}^k{e}^{ct}-c{t}^k{e}^{ct}$$

즉,

$$(D-cI)(t^k{e}^{ct})=k{t}^{k-1}{e}^{ct}$$

따라서, $k<n$일 때, $D-cI$를 $n$번 연속 적용하면,

$$(D-cI{)}^n(t^k{e}^{ct})=0$$

모든 $\beta$의 원소가 미분 방정식의 해임을 의미하므로, 집합 $\beta$가 해 공간의 부분집합임을 보였다.

$\beta$가 선형 독립임을 보이기

임의의 선형 결합을 고려하자.

$$b_0{e}^{ct}+b_{1}t{e}^{ct}+\cdots +b_{n-1}{t}^{n-1}{e}^{ct}=0$$

이제, 양변을 $e^{ct}$로 나누면,

$$b_0+b_{1}t+\cdots +b_{n-1}{t}^{n-1}=0$$

좌변은 $n-1$차 이하의 다항식이다. 이 다항식이 항등적으로 0이 되어야 하므로, 모든 계수 $b_0,b_1,\dots ,b_{n-1}$는 0이어야 한다. 따라서, 집합 $\beta$는 선형 독립이다.

정리

상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식이 주어졌다고 하자. 이때, 해당 방정식의 보조 다항식(auxiliary polynomial)이 다음과 같은 형태를 가진다고 하자.

$$(t-c_1{)}^{n_1}(t-c_2{)}^{n_2}\cdots (t-c_k{)}^{n_k}$$

여기서 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$는 양의 정수(positive integers)이며, $c_1,c_2,\cdots ,c_k$는 서로 다른(distinct)복소수이다. 그러면, 미분 방정식의 해 공간(solution space)의 기저(basis)는 다음과 같다.

$$\{e^{c_{1}t},t{e}^{c_{1}t},\cdots ,t^{n_1-1}{e}^{c_{1}t},\cdots ,e^{c_{k}t},t{e}^{c_{k}t},\cdots ,t^{n_k-1}{e}^{c_{k}t}\}$$

예제

1. $y^{\prime \prime }+4y=0$

특성 방정식을 설정한 후 인수분해하면,

$$t^2+4=(t-2i)(t+2i)=0$$

서로 다른 복소수 근을 얻는다.

$$c_1=2i,c_2=-2i$$

지수 함수

$$e^{2it},e^{-2it}$$

는 주어진 미분 방정식의 해가 된다. 따라서, 해 공간의 기저는 $\{e^{2it},e^{-2it}\}$이다. 오일러 공식(Euler’s Formula)을 이용하면,

$$\begin{array}{rl}\cos 2t& =\frac{1}{2}(e^{2it}+e^{-2it})\\ \sin 2t& =\frac{1}{2i}(e^{2it}-e^{-2it})\end{array}$$

$\{e^{2it},e^{-2it}\}$ 대신 $\{\cos 2t,\sin 2t\}$도 해 공간의 기저가 될 수 있다. 이 기저가 유용한 이유는, 실수 해를 직접 제공하기 때문이다. 모든 해는 기저의 선형 결합으로 표현되므로,

$$y(t)=c_1\cos 2t+c_2\sin 2t,(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$

이제 $c_1,c_2$를 초기 조건(initial conditions)에 맞게 조정하면, 특정 해(particular solution)를 구할 수 있다.

2. $y^{(3)}-3y^{(2)}+3y^{(1)}-y=0$

특성 방정식을 인수분해하면,

$$t^3-3t^2+3t-1=(t-1{)}^3=0$$

반복근 $t=1$(중복도 3)을 갖는다. 해 공간의 기저는 다음과 같다.

$$\{e^t,t{e}^t,t^2{e}^t\}$$

해 공간의 기저를 이용하면, 모든 해는 기저의 선형 결합으로 표현된다.

$$y(t)=c_1{e}^t+c_{2}t{e}^t+c_3{t}^2{e}^t$$

여기서 $c_1,c_2,c_3$를 를 초기 조건(initial conditions)에 맞게 조정하면, 특정 해(particular solution)를 구할 수 있다.

Footnotes

1. $p(D)(a{y}_1+b{y}_2)=ap(D)(y_1)+bp(D)(y_2)=0+0=0$ ↩

2. 미분 연산자 $D-cI$가 주어진 경우, 이를 만족하는 함수는 미분 방정식 $(D-cI)(y)=0$의 해이다. 즉, $y^{\prime }-cy=0$이므로, 앞선 방식과 같이 $y=k{e}^{ct}$이다. ↩

3. $w(t)=v(t)e^{-ct},t\in \mathbb{R}$라 하면, $w\in C^{\infty }$가 성립한다. $W^{\prime }(t)=w(t)$라 두고, $u(t)=W(t)e^{ct}$라 정의하자. $(D-cI)u(t)=u^{\prime }(t)-cu(t)=(W^{\prime }(t)e^{ct}+W(t)c{e}^{ct})-cW(t)e^{ct}=w(t)e^{ct}=v(t)e^{-ct}{e}^{ct}=v(t)$ 이므로, 미분 연산자 $D-cI$는 전사 함수(onto function)다. ↩