2-8. A Geometric Deﬁnition of Area

이 절의 목표는 2-5.절에서 소개된 면적 공식에 대한 기하학적 정당성을 부여하는 것이다. 이는 곡면 위의 영역을 평면 영역들의 합으로 근사하고, 그 극한을 통해 면적을 정의한 뒤, 이 정의가 적분 공식과 일치함을 보이는 방식으로 이루어진다.

곡면 $S$ 위의 유계 영역 $R$ 의 면적은 다음과 같은 기하학적 과정을 통해 정의된다.

분할 (Partition): 영역 $R$ 을 유한개의 작은 부분 영역 $R_{i}$ 들로 나눈다( $R = \cup_{i} R_{i}$ ). 이때 분할 $P$ 의 노름(norm) $μ$ 는 모든 $R_{i}$ 의 지름(diameter) 중 가장 큰 값으로 정의된다.
접평면으로의 사영 (Projection onto Tangent Plane): 각 부분 영역 $R_{i}$ 에서 임의의 점 $p_{i}$ 를 선택하고, $R_{i}$ 를 점 $p_{i}$ 에서의 접평면 $T_{p_{i}} (S)$ 위로 정사영시킨다. 이 사영된 영역을 $\overset{ˉ}{R}_{i}$ 라 한다.
근사와 극한 (Approximation and Limit): 모든 사영된 영역의 넓이의 합 $\sum_{i} A (\overset{ˉ}{R}_{i})$ 는 영역 $R$ 의 넓이에 대한 근삿값이다. 분할을 점점 더 잘게 만들어 노름 $μ$ 가 $0$ 으로 갈 때, 이 합이 선택 과정에 관계없이 일정한 값으로 수렴하면, 그 극한값을 영역 $R$ 의 면적(area)으로 정의한다.

A (R) = μ_{n} \to 0 lim i \sum A (\overset{ˉ}{R}_{i})

정칙 곡면 $S$ 의 좌표근방 $x (U)$ 에 포함된 유계 영역 $R = x (Q)$ 는 면적을 가지며, 그 값은 다음과 같이 주어진다.

A (R) = \iint_{Q} ∣ x_{u} \land x_{v} ∣ d u d v

각각의 작은 사영 넓이 $A (\overset{ˉ}{R}_{i})$ 는 다중적분의 변수변환 공식을 통해 매개변수 $(u, v)$ 에 대한 적분으로 표현된다. $A (\overset{ˉ}{R}_{i}) = \iint_{Q_{i}} \frac{\partial ( x ˉ , y ˉ )}{\partial ( u , v )} d u d v$ 여기서 $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ 는 접평면의 직교좌표이다. 점 $p_{i}$ 에서 야코비안 $\frac{\partial ( x ˉ , y ˉ )}{\partial ( u , v )}$ 의 값은 면적 요소 $∣ x_{u} \land x_{v} ∣$ 의 값과 같다. 적분 평균값 정리에 의해, $A (\overset{ˉ}{R}_{i})$ 는 근사적으로 $p_{i}$ 에서의 면적 요소 값과 $Q_{i}$ 의 넓이의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 합 $\sum A (\overset{ˉ}{R}_{i})$ 는 적분 $\iint_{Q} ∣ x_{u} \land x_{v} ∣ d u d v$ 의 리만 합(Riemann sum)에 해당한다. 분할의 노름이 $0$ 으로 가는 극한에서, 이 리만 합은 적분값으로 수렴한다.

Ray