2-5. The First Fundamental Form; Area

제1 기본 형식 (The First Fundamental Form)

${\mathbb{R}}^3\supset S$의 자연스러운 내적(inner product)은 각 접평면 $T_p(S)$에 내적을 유도한다. 이 내적은 $p\in S$에 대하여 $⟨,{⟩}_p$로 표기하며, $w_1,w_2\in T_p(S)\subset {\mathbb{R}}^3$에 대하여 $⟨w_1,w_2{⟩}_p$는 ${\mathbb{R}}^3$에서의 $w_1$과 $w_2$의 내적과 같다.

점 $p\in S$에서 $T_p(S)$ 위에 정의된 이차 형식(quadratic form) $I_p:T_p(S)\to \mathbb{R}$은 다음과 같이 주어진다.

$$I_p(w)=⟨w,w{⟩}_p=|w{|}^2\ge 0$$

이 이차 형식 $I_p$를 점 $p$에서 정칙 곡면 $S$의 제1기본 형식(first fundamental form)이라 한다.

제1기본 형식은 곡면 $S$가 주변 공간 ${\mathbb{R}}^3$의 자연스러운 내적을 어떻게 상속하는지를 나타낸다. 이를 통해 곡선의 길이, 벡터 사이의 각, 영역의 넓이 등 곡면 위의 기하학적 양들을 주변 공간을 참조하지 않고 측정할 수 있다.

점 $p$에서의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$에 연관된 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$를 사용하여 제1기본 형식을 표현할 수 있다. 접선벡터 $w\in T_p(S)$는 곡선 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$에 대하여 $p=\alpha (0)$일 때 $w={\alpha }^{\prime }(0)={\mathbf{x}}_u{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_v{v}^{\prime }$¹로 나타낼 수 있다. 따라서,

$$\begin{array}{rl}{I}_p({\alpha }^{\prime }(0))& =⟨{\mathbf{x}}_u{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_v{v}^{\prime },{\mathbf{x}}_u{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_v{v}^{\prime }{⟩}_p\\ & =E(u^{\prime }{)}^2+2F{u}^{\prime }{v}^{\prime }+G(v^{\prime }{)}^2\end{array}$$

이때 $E,F,G$는 제1기본 형식의 계수라 불리며 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{array}{r}E(u,v)=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_u⟩\\ F(u,v)=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩\\ G(u,v)=⟨{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_v⟩\end{array}$$

평면 (Plane)

$w_1,w_2$가 정규직교벡터일 때, 평면 $\mathbf{x}(u,v)=p_0+u{w}_1+v{w}_2$의 제1 기본 형식의 계수는 ${\mathbf{x}}_u=w_1,{\mathbf{x}}_v=w_2$이므로 $E=1,F=0,G=1$이다.

원기둥 (Cylinder)

원기둥 $\mathbf{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$의 경우, ${\mathbf{x}}_u=(-\sin u,\cos u,0),{\mathbf{x}}_v=(0,0,1)$이므로 $E=1,F=0,G=1$이다. 이는 원기둥이 국소적으로 평면과 등거리(isometric) 관계에 있음을 시사한다.

나선면 (Helicoid)

나선면 $\mathbf{x}(u,v)=(v\cos u,v\sin u,au)$의 경우, ${\mathbf{x}}_u=(-v\sin u,v\cos u,a)$, ${\mathbf{x}}_v=(\cos u,\sin u,0)$이므로, 계수는 $E=v^2+a^2,F=0,G=1$이다.

곡선의 길이 (Arc Length)

매개화된 곡선 $\alpha :I\to S$의 호의 길이 $s(t)$는 다음과 같다.

$$s(t)={\int }_{t_0}^t|{\alpha }^{\prime }(t)|dt={\int }_{t_0}^t\sqrt{I({\alpha }^{\prime }(t))}dt$$

만약 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$가 좌표조각사상 안에 포함된다면,

$$s(t)={\int }_{t_0}^t\sqrt{E{\left(\frac{du}{dt}\right)}^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G{\left(\frac{dv}{dt}\right)}^2}dt$$

이로 인해 호의 길이의 요소 $ds$를 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$d{s}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$$

벡터 사이의 각 (Angle between Vectors)

두 매개화된 정칙 곡선 $\alpha :I\to S,\beta :I\to S$가 $t=t_0$에서 만날 때, 그 사이의 각 $\theta$는 다음과 같이 주어진다.

$$\cos \theta =\frac{⟨{\alpha }^{\prime }(t_0),{\beta }^{\prime }(t_0)⟩}{|{\alpha }^{\prime }(t_0)||{\beta }^{\prime }(t_0)|}$$

특히, 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$의 두 좌표곡선 사이의 각 $\varphi$는 다음과 같다.

$$\cos \varphi =\frac{⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩}{|{\mathbf{x}}_u||{\mathbf{x}}_v|}=\frac{F}{\sqrt{EG}}$$

따라서 좌표곡선들이 직교할 필요충분조건은 모든 $(u,v)$에 대해 $F(u,v)=0$인 것이다. 이러한 매개화를 직교 매개화(orthogonal parametrization)²라 한다.

구면과 등각항로 (Sphere and Loxodromes)

구면의 매개화 $\mathbf{x}(\theta ,\varphi )=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$에 대하여 제1 기본 형식의 계수는 $E=1,F=0,G={\sin }^2\theta$이다.

경선(meridian, $\varphi =\text{const.}$)과 일정한 각 $\beta$를 이루는 곡선인 등각항로(loxodrome)의 방정식은 다음과 같이 유도된다. 곡선이 $\alpha (t)=\mathbf{x}(\theta (t),\varphi (t))$로 주어질 때, ${\alpha }^{\prime }(t)$와 경선의 접선벡터 ${\mathbf{x}}_{\theta }$ 사이의 각은 다음과 같다.

$$\cos \beta =\frac{⟨{\mathbf{x}}_{\theta },{\alpha }^{\prime }(t)⟩}{|{\mathbf{x}}_{\theta }||{\alpha }^{\prime }(t)|}=\frac{{\theta }^{\prime }}{\sqrt{({\theta }^{\prime }{)}^2+({\varphi }^{\prime }{)}^2{\sin }^2\theta }}$$

이를 정리하면 $\frac{{\theta }^{\prime }}{\sin \theta }=\pm {\varphi }^{\prime }\cot \beta$를 얻고, 적분하면 다음 등각항로의 방정식을 얻는다.

$$\log \left(\tan \frac{\theta }{2}\right)=\pm (\varphi +c)\cot \beta$$

면적 (Area)

정칙 곡면 $S$ 위의 유계 영역(bounded region) $R$이 좌표조각사상 $\mathbf{x}:U\to S$ 안에 포함될 때, $R$의 면적(area) $A(R)$은 다음과 같이 정의된다.

$$A(R)={\iint }_Q|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|dudv,Q={\mathbf{x}}^{-1}(R)$$

또 다른 매개화 $\bar{\mathbf{x}}:\bar{U}\to S$가 주어졌을 때, $\bar{Q}={\bar{\mathbf{x}}}^{-1}(R)$이라 하면,

$$A(R)={\iint }_Q|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|dudv={\iint }_{\bar{Q}}|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (\bar{u},\bar{v})}\right|d\bar{u}d\bar{v}$$

이므로, 넓이는 매개화 선택에 독립적이다.

$|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v{|}^2+⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v{⟩}^2=|{\mathbf{x}}_u{|}^2|{\mathbf{x}}_v{|}^2$이므로, 피적분함수는 제1 기본 형식의 계수로 다음과 같이 표현된다.

$$|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|=\sqrt{⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_u⟩⟨{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_v⟩-(⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩{)}^2}=\sqrt{EG-F^2}$$

원환면의 면적 (Area of a Torus)

매개화 $\mathbf{x}(u,v)=((a+r\cos u)\cos v,(a+r\cos u)\sin v,r\sin u)$로 주어진 원환면(torus)의 제1 기본 형식 계수는 $E=r^2,F=0,G=(r\cos u+a{)}^2$ 이다. 따라서 면적 요소는 $\sqrt{EG-F^2}=r(r\cos u+a)$ 이다.

$0<u<2\pi ,0<v<2\pi$ 범위에서 적분하면 원환면의 전체 면적을 얻을 수 있다.

$$A(T)={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }r(r\cos u+a)dudv=2\pi {\int }_0^{2\pi }r(r\cos u+a)du=4{\pi }^{2}ra$$

파푸스의 정리 (Pappus’s Theorem)

회전축을 포함하는 평면 위의 곡선 $C$를 회전시켜 얻은 회전곡면(surface of revolution) $S$의 겉넓이 $A$는 생성곡선 $C$의 길이($l$)와, 곡선 $C$의 무게중심(centroid)이 회전하며 그리는 원의 둘레를 곱한 값과 같다.

$$A=2\pi {\int }_0^l\rho (s)ds=l\times (2\pi \bar{\rho })$$

• $l$: 생성곡선(generating curve) $C$의 총 길이
• $s$: 곡선 $C$의 호의 길이(arc length) 매개변수
• $\rho (s)$: 호의 길이 $s$에 해당하는 곡선 위의 점에서 회전축까지의 거리입니다.

Footnotes

1. ${\alpha }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{x}(u(t),v(t))=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}\frac{dv}{dt}={\mathbf{x}}_u{u}^{\prime }+{\mathbf{x}}_v{v}^{\prime }$ ↩

2. 직교 매개화(Orthogonal Parametrization)란 제1 기본 형식의 계수 중 $F=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩=0$ 인 경우에 해당한다. 이러한 좌표계는 국소적으로 직교좌표계와 유사하게 행동하기 때문에 곡면의 기하학적 분석과 계산을 매우 단순하게 만들어 준다. 예를 들어, 호의 길이 요소는 $d{s}^2=Ed{u}^2+Gd{v}^2$로, 면적 요소는 $dA=\sqrt{EG}dudv$로 간소화된다. 또한 크리스토펠 기호(${\Gamma }_{ij}^k$)의 계산이 쉬워져 측지선(geodesic)이나 평행이동(parallel transport)과 관련된 미분방정식을 다루기가 훨씬 수월해진다. 더 나아가, 만약 제2 기본 형식의 계수인 $f$마저 $f=0$이라면, 이 좌표곡선들은 그 점에서의 주곡률 방향(principal directions)과 일치하게 됩니다. 이 특별한 경우($F=f=0$)에는 주곡률이 각각 $k_1=e/E$와 $k_2=g/G$로 매우 간단하게 구해지며, 가우스 곡률과 평균 곡률의 계산 역시 극도로 단순화된다. ↩