선형 연산자(Linear operator)

벡터 공간에서의 선형 변환(Linear transformation)은 다음과 같이 정의한다.

$$T(v+w)=T(v)+T(w),T(cv)=cT(v)$$

고등

• 원점을 지나는 일차함수(정비례)

  $$f(x)=ax,f(x+y)=f(x)+f(y),f(cx)=cf(x)$$

• 행렬 덧셈

  $$A(x+y)=Ax+Ay,A(cx)=c(Ax)$$

• (수렴하는)수열의 합(급수) 연산¹

  $$\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n,\sum (c{a}_n)=c\sum a_n$$

• 확률에서의 기댓값 연산

  $$E[X+Y]=E[X]+E[Y],E[cX]=cE[X]$$

• (수렴하는)극한 연산

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x),\underset{x\to a}{\lim }(cf(x))=c\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

• 미분 연산

  $$D(f)=f^{\prime },D(f+g)=D(f)+D(g),D(cf)=cD(f)$$

• 적분 연산

  $$I(f)=\int f(x)dx,I(f+g)=I(f)+I(g),I(cf)=cI(f)$$

• 벡터 덧셈

$$(x+w,y+z)=(x,y)+(w,z),(cx,cy)=c(x,y)$$

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• 행렬의 대각합

$$\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B),\text{tr}(cA)=c\cdot \text{tr}(A)$$

• 행렬의 전치

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T,(cA{)}^T=c{A}^T$$

• 행렬식 (한 행 또는 한 열에 대해 선형성 성립)

  $$\det \left[\begin{array}{c}u+w\\ v\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+\det \left[\begin{array}{c}w\\ v\end{array}\right],\det \left[\begin{array}{c}cu\\ v\end{array}\right]=c\cdot \det \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$$

• 내적 (첫번째 벡터에 대해 선형성 성립)²

  $$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩,⟨cu,w⟩=c⟨u,w⟩$$

• 외적 (한 벡터에 대해 선형성 성립)

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c},(c\mathbf{a})\times \mathbf{b}=c(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$

학부

• 푸리에 변환

  $$\mathcal{F}(f+g)=\mathcal{F}(f)+\mathcal{F}(g),\mathcal{F}(cf)=c\mathcal{F}(f)$$

• 라플라스 변환

  $$\mathcal{L}(f+g)=\mathcal{L}(f)+\mathcal{L}(g),\mathcal{L}(cf)=c\mathcal{L}(f)$$

• 선형 미분 방정식 연산자 $$L(y+z)=L(y)+L(z),L(cy)=cL(y)$$

• 맥스웰 방정식

  $$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0},\nabla \times \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}={\mu }_0\mathbf{J}$$

• 파동 방정식

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2{\nabla }^{2}u,(\square u=0)$$

• 슈뢰딩거 방정식 $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi ,H({\Psi }_1+{\Psi }_2)=H{\Psi }_1+H{\Psi }_2$$

• 아인슈타인 장 방정식

  $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

Footnotes

1. 단, 더하는 순서가 바뀌면 수렴하지 않을 수 있다. 절대 수렴 $\sum |a_n|<\infty$인 경우에는 더하는 순서가 바뀌어도 수렴한다. 절대 수렴하지 않는다면, 리만 재배열 정리(Riemann Rearrangement Theorem)에 의해 어떤 방식으로 재배열(rearrangement)하느냐에 따라 급수의 합이 다르게 나올 수도 있다. ↩

2. 두 번째 벡터에 대해서는 성립하지 않는다. $⟨x,cy⟩$ = $\bar{c}⟨x,y⟩$ ↩