유리함수의 역함수와 대칭

유리함수의 역함수를 직접 구하기

다음 유리함수의 역함수를 구해 보자.

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$$

집합의 원소는 모두 실수로 생각한다. 정의역은 $X=\{x\mid x\ne -\frac{d}{c}\}$이고, 공역은 치역과 같은 $Y=\{y\mid y\ne \frac{a}{c}\}$로 둔다. 역함수에서는 $X,Y$가 서로 바뀐다.¹

먼저 $y$가 주어졌을 때의 $x$를 구한다. 분모를 곱하고 $x$가 있는 항을 모으면

$$\begin{array}{rl}y(cx+d)& =ax+b\\ cxy+dy& =ax+b\\ (cy-a)x& =b-dy\\ x& =\frac{b-dy}{cy-a}=\frac{dy-b}{-cy+a}\end{array}$$

이다. 이제 $x,y$의 이름을 바꾸면 역함수는

$$y=\frac{dx-b}{-cx+a}$$

가 된다. 원함수에서 $x=-\frac{d}{c}$를 제외했던 것과 달리, 역함수에서는 $x=\frac{a}{c}$를 제외한다.

계수의 변화를 배열로 보면 규칙이 잘 드러난다.

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

즉, $a,d$의 자리를 바꾸고 $b,c$의 부호를 바꾼다. 서로 다른 숫자를 넣어 각 계수가 어디로 가는지 보자.

$$y=\frac{x+2}{3x+4}$$

역함수는

$$y=\frac{4x-2}{-3x+1}$$

이다. 분자의 $x$ 계수 1과 분모의 상수항 4는 자리를 바꾸고, 2와 3은 각각 -2와 -3이 된다. 원함수와 역함수의 제외 입력은 각각 $-\frac{4}{3}$, $\frac{1}{3}$이다.

원함수의 점대칭과 역함수의 선대칭

유리함수 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 점근선은

$$x=-\frac{d}{c},y=\frac{a}{c}$$

이다. 그래프는 두 점근선의 교점 $C(-\frac{d}{c},\frac{a}{c})$에 대하여 점대칭이다.²

한편 원함수와 역함수의 두 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 선대칭이다. 이때 점근선도 서로 반사되므로 교점의 좌표가 바뀐다.

구분	원함수	역함수
수직점근선	$x=-\frac{d}{c}$	$x=\frac{a}{c}$
수평점근선	$y=\frac{a}{c}$	$y=-\frac{d}{c}$
두 점근선의 교점	$C(-\frac{d}{c},\frac{a}{c})$	$C^{\prime }(\frac{a}{c},-\frac{d}{c})$

앞의 $y=\frac{x+2}{3x+4}$에서는 $C(-\frac{4}{3},\frac{1}{3})$, $C^{\prime }(\frac{1}{3},-\frac{4}{3})$이다. 두 그래프의 대칭 중심이 다르므로 원함수와 역함수는 일치하지 않는다.

유리함수의 원함수와 역함수가 일치하려면

두 그래프가 일치하려면 점근선도 같아야 한다. 따라서 $C$를 $y=x$에 대하여 반사한 점 $C^{\prime }$가 다시 $C$가 되어야 한다. 즉, 점근선의 교점이 $y=x$ 위에 있어야 한다.

$$-\frac{d}{c}=\frac{a}{c}⟺a+d=0$$

이 조건이면 역함수식도 원래 식과 같아진다. 따라서 앞에서 정한 전체 정의역을 사용하는 유리함수에서는 이것이 두 함수가 일치할 필요충분조건이다.³

예를 들어

$$y=\frac{x+2}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$$

의 점근선은 $x=1$, $y=1$이고 교점은 $C(1,1)$이다. 역함수를 구하면

$$y=\frac{-x-2}{-x+1}=\frac{x+2}{x-1}$$

이므로 같은 함수가 된다.

그림에서 $P(2,4)$와 $R(0,-2)$의 중점은 $C(1,1)$이다. 이 두 점은 중심 $C$에 대하여 점대칭이다. 또 $P(2,4)$와 $Q(4,2)$는 $y=x$에 대하여 선대칭이며 같은 곡선 위에 있다. 이 예에서는 원함수와 역함수를 한 곡선으로 나타낼 수 있다. $C$는 점근선의 교점이며 그래프 위의 점은 아니다.

연립방정식을 행렬로 풀기

다음 연립방정식을 생각하자.

$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x+4y=11\end{array}$$

계수와 미지수, 우변을 따로 모으면

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right)$$

로 쓸 수 있다. 즉,

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right)$$

라 놓으면 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$이다. 우리가 구하려는 것은 $\mathbf{x}$이므로, 왼쪽에 곱해진 $A$를 되돌릴 방법이 필요하다.

이 $A$에 대하여

$$-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$$

가 성립한다. $I$는 곱해도 원래 값을 그대로 두는 단위행렬이다. 이처럼 $A$에 곱해 단위행렬을 만드는 행렬을 $A$의 역행렬이라 하고 $A^{-1}$로 나타낸다. 따라서 양변의 왼쪽에 이 행렬을 곱하면

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =A^{-1}\mathbf{b}\\ & =-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\end{array}$$

이다. 구한 해는 $x=1$, $y=2$이며 원래 두 방정식에 대입해도 맞는다. 일반적으로도 역행렬이 존재하면 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$에서 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$를 구할 수 있다. 역행렬은 $A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$를 만족한다.

역함수와 같은 계수 규칙

일반적인 $2\times 2$ 행렬을

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\det A=ad-bc$$

라 하자. $\det A$를 행렬 $A$의 행렬식이라 한다. 앞에서 역함수를 구할 때의 계수 배열을 곱하면

$$A\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=(\det A)I$$

이다. 곱한 결과가 $I$가 되도록 $\det A$로 나누면

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)(\det A\ne 0)$$

를 얻는다. 앞의 예에서는 $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$이므로 $-\frac{1}{2}$을 곱했다. 역함수에서 보았던 $a,d$의 자리 교환과 $b,c$의 부호 변경이 역행렬에도 나타난다.⁴

$\det A$가 0인지 확인하는 이유

이 글에서 다루는 유리함수에서는 $\det A$가 0인지 아닌지가 역함수와 역행렬의 존재를 가른다.

• $\det A\ne 0$이면 역함수와 역행렬이 존재한다.
• $\det A=0$이면 유리함수는 상수함수가 되어 역함수가 없고, 계수행렬에도 역행렬이 없다.

예를 들어

$$y=\frac{2x+4}{x+2}=2(x\ne -2)$$

에서는 $\det A=2\cdot 2-4\cdot 1=0$이다. 서로 다른 입력이 모두 2로 가므로 거꾸로 입력을 하나로 정할 수 없다. 역함수의 계수 규칙이나 역행렬 공식을 적용하기 전에 이 조건을 확인해야 한다.

예제

1. $y=\frac{3x-2}{2x+1}$의 역함수와 정의역·치역을 구하라.⁵

2. $y=\frac{2x+3}{x-2}$의 원함수와 역함수가 일치하는지 점근선의 교점으로 판단하고, 역함수식을 구해 확인하라.⁶

3. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$일 때, $A\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$를 만족하는 $\mathbf{x}$를 역행렬로 구하라.⁷

4. $y=\frac{2x+4}{x+2}$에 역함수가 있는지 설명하고, 계수행렬 $A$의 행렬식과 연결하라.⁸

Footnotes

1. $y=\frac{a}{c}$가 가능하다고 하면 $y(cx+d)=ax+b$에서 $ad=bc$가 되어 가정과 모순이다. 반대로 $y\ne \frac{a}{c}$이면 $x=\frac{dy-b}{a-cy}$로 놓을 수 있고 $cx+d=\frac{ad-bc}{a-cy}\ne 0$이다. 이 $x$는 원래 정의역에 속하며 함숫값이 $y$이므로 치역은 정확히 $Y$이다. ↩

2. 식을 $y-\frac{a}{c}=\frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}$로 정리할 수 있다. $x+\frac{d}{c}$와 $y-\frac{a}{c}$의 부호를 함께 바꾸어도 두 값의 곱은 변하지 않으므로 $(-\frac{d}{c},\frac{a}{c})$에 대한 점대칭이다. ↩

3. $d=-a$를 역함수식에 넣으면 $y=\frac{-ax-b}{-cx+a}=\frac{ax+b}{cx-a}$가 되어 원래 식과 같다. 두 정의역에서 제외하는 값도 $\frac{a}{c}$로 같아진다. 이 결론은 $c\ne 0$, $ad-bc\ne 0$이고 정의역을 추가로 잘라내지 않은 현재의 함수에 대한 것이다. ↩

4. 행렬 $A\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)$의 두 성분은 $ax+b$, $cx+d$이다. 위 성분을 아래 성분으로 나눈 값이 원래 유리함수다. 역행렬에서도 $A^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{c}dx-b\\ -cx+a\end{array}\right)$이므로 두 성분의 비는 $\frac{\frac{dx-b}{\det A}}{\frac{-cx+a}{\det A}}=\frac{dx-b}{-cx+a}$이다. 분자와 분모에 붙은 같은 상수가 소거된다. ↩

5. 역함수는 $y=\frac{x+2}{3-2x}$이다. 원함수의 정의역은 $X=\{x\mid x\ne -\frac{1}{2}\}$, 치역은 $Y=\{y\mid y\ne \frac{3}{2}\}$이며 역함수에서는 두 집합이 바뀐다. ↩

6. 점근선은 $x=2$, $y=2$이므로 교점 $(2,2)$가 $y=x$ 위에 있다. 역함수도 $y=\frac{-2x-3}{-x+2}=\frac{2x+3}{x-2}$이다. 두 함수의 정의역도 $x\ne 2$로 같으므로 일치한다. ↩

7. $\det A=3$이고 $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$이다. 따라서 $\mathbf{x}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$이다. 원래 식에 대입하면 $A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$이다. ↩

8. $x\ne -2$에서 $y=2$인 상수함수이므로 역함수가 없다. 계수행렬은 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$이고 $\det A=0$이므로 역행렬도 없다. ↩