두 원의 방정식을 빼면 왜 직선이 남을까

두 원의 공통점을 지나는 직선

두 원이 서로 다른 두 점 $A,B$에서 만날 때, 선분 $AB$를 두 원의 공통현이라 한다. 두 교점의 좌표를 각각 구하지 않고도 직선 $AB$의 방정식을 찾을 수 있다.

다음 두 원을 보자.

$$x^2+y^2=25,x^2+y^2-5x-5y=0$$

두 번째 원의 식을 완전제곱식으로 정리하면

$${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$$

이다. 두 원의 공통점에서는 두 식이 동시에 성립하므로, 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면

$$\begin{array}{rl}(x^2+y^2)-(x^2+y^2-5x-5y)& =25-0\\ 5x+5y& =25\\ x+y& =5\end{array}$$

를 얻는다. 따라서 두 공통점은 모두 직선 $x+y=5$ 위에 있다.

실제로 $A(5,0)$과 $B(0,5)$는 두 원의 식을 모두 만족한다. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나이므로, 구한 $x+y=5$가 직선 $AB$의 방정식이다.

실선과 점선은 두 원이고, 두 교점을 이은 선분이 공통현이다. 식을 빼서 얻은 것은 이 선분을 포함하는 직선의 방정식이다.

직선 위의 모든 점이 공통점은 아니다

$x+y=5$가 두 원의 공통점을 지난다고 해서, 이 직선 위의 모든 점이 두 원에 놓이는 것은 아니다.

예를 들어 $R(2,3)$은 $2+3=5$를 만족하지만

$$2^2+3^2=13\ne 25$$

이므로 첫 번째 원 위의 점도 아니다. 두 원의 조건에서 새 식 하나를 얻었을 뿐, 원래 조건을 모두 남긴 것은 아니다.

따라서 공통점의 좌표까지 구하려면 $x+y=5$와 원래 원의 식 하나를 함께 푼다.¹

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25,y=5-x\\ x^2+(5-x{)}^2& =25\\ 2x(x-5)& =0\end{array}$$

$x=0,5$를 차례로 대입하면 두 공통점은 $(0,5),(5,0)$이다.

왜 일차식이 남는가

두 원의 식을 다음과 같이 $x^2,y^2$의 계수가 1인 꼴로 쓰자.

$$x^2+y^2+ax+by+c=0,x^2+y^2+dx+ey+f=0$$

두 식을 빼면 공통인 이차항이 지워져

$$(a-d)x+(b-e)y+c-f=0$$

이 남는다. 두 원의 중심은 각각 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$, $\left(-\frac{d}{2},-\frac{e}{2}\right)$이므로, 중심이 서로 다르면 $a-d,b-e$ 중 적어도 하나가 0이 아니다. 따라서 남은 식은 직선의 방정식이다.

중심이 같으면 결과가 다르다. 예를 들어 $x^2+y^2=25$와 $x^2+y^2=9$를 빼면 $0=16$이 되어 공통점이 없음을 알 수 있다. 같은 원의 식끼리 빼면 $0=0$이므로 특정한 직선을 얻을 수 없다.

중심이 다른 두 원이라면 만나지 않아도 식의 차이는 직선을 나타낸다. 다만 공통현이라는 해석은 두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 때 적용한다.

두 원이 서로 다른 두 점 $A,B$에서 만나고, 두 중심을 $O_1,O_2$라 하자. 각 원에서 두 반지름의 길이는 같으므로 $O_{1}A=O_{1}B$, $O_{2}A=O_{2}B$이다. 따라서 두 중심은 모두 선분 $AB$의 수직이등분선 위에 있다.

두 중심은 서로 다른 점이므로, 두 중심을 잇는 직선이 바로 이 수직이등분선이다. 즉 두 원의 공통현은 두 중심을 잇는 직선과 수직이다.

$$O_1{O}_2\perp AB$$

두 접점을 지나는 다른 원

이제 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 생각해 보자.

중심이 $O$인 원 밖의 점 $P$에서 그은 두 접선의 접점을 $A,B$라 하자. 접점에서 반지름과 접선은 수직이므로

$$OA\perp PA,OB\perp PB$$

이다. 따라서 두 직각삼각형 $OAP$, $OBP$는 빗변 $OP$를 공유한다.

직각삼각형의 빗변을 지름으로 하는 원은 그 삼각형의 세 꼭짓점을 지난다. 따라서 $OP$를 지름으로 하는 원은 두 접점 $A,B$를 모두 지난다.

이 보조원을 그리면, 구하려는 직선 $AB$는 원래 원과 보조원의 두 교점을 잇는 직선이 된다. 앞에서 사용한 방법을 그대로 적용할 수 있다.

앞의 원 $x^2+y^2=25$와 외부점 $P(5,5)$로 확인하자. $OP$의 중점은 $M\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$이고, $O{P}^2=50$이므로 보조원의 반지름의 제곱은 $\frac{25}{2}$이다. 따라서 보조원의 식은

$$\begin{array}{rl}{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2& =\frac{25}{2}\\ x^2+y^2-5x-5y& =0\end{array}$$

이다. 바로 앞에서 다룬 두 번째 원이다. 그러므로 두 접점을 잇는 직선도 $x+y=5$이다. 실제 접점은 $A(5,0),B(0,5)$이고, 두 접선은 각각 $x=5$, $y=5$이다.

접점을 구하지 않고 연결선 구하기

원과 외부점이 일반적으로 주어져도 방법은 같다. 원을

$$x^2+y^2=r^2(r>0)$$

이라 하고 외부점을 $P(u,v)$라 하자. $P$가 원 밖에 있다는 조건은 $u^2+v^2>r^2$이다.

$OP$의 중점은 $\left(\frac{u}{2},\frac{v}{2}\right)$이고, 보조원의 반지름의 제곱은 $\frac{u^2+v^2}{4}$이므로

$${\left(x-\frac{u}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{v}{2}\right)}^2=\frac{u^2+v^2}{4}$$

이다. 전개하면

$$x^2+y^2-ux-vy=0$$

이 된다. 원래 원의 식에서 이 식을 빼면

$$ux+vy=r^2$$

를 얻는다. 이것이 두 접점을 잇는 직선의 방정식이다. $u,v$는 접점의 좌표가 아니라, 원 밖의 점 $P$의 좌표라는 점에 주의한다.

이 식은 두 접선 각각의 방정식이 아니다. 두 접선과 원래 원의 두 접점을 한꺼번에 연결하는 직선의 식이다. 두 접점이 존재하도록 외부점이라는 조건도 함께 확인해야 한다.

접점을 따로 구하지 않고 적용하기

원 $x^2+y^2=25$와 점 $P(6,3)$을 생각하자. $6^2+3^2=45>25$이므로 $P$는 원 밖에 있다.

$OP$를 지름으로 하는 보조원의 방정식은

$$x^2+y^2-6x-3y=0$$

이다. 원래 원의 식에서 이 식을 빼면

$$\begin{array}{rl}(x^2+y^2)-(x^2+y^2-6x-3y)& =25\\ 6x+3y& =25\end{array}$$

를 얻는다. 따라서 두 접점을 잇는 직선의 방정식은 $6x+3y=25$이다.

여기서는 두 접점의 좌표를 각각 구하지 않았다. 두 접점을 지나는 보조원을 찾았으므로, 두 원의 식을 빼는 것만으로 연결선의 방정식을 얻을 수 있었다. 접점의 좌표도 필요하다면 그때 이 직선의 식과 원의 식을 연립하면 된다.

예제

1. 두 원 $x^2+y^2=25$, $x^2+y^2-4x-2y-5=0$의 공통현을 포함하는 직선의 방정식과 두 공통점의 좌표를 구하라.²

2. 원 $x^2+y^2=9$ 밖의 점 $P(5,0)$에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 직선의 방정식을 구하라. 두 접점의 좌표도 구하여 확인하라.³

3. 원 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ 밖의 점 $P(5,0)$에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 직선의 방정식을 구하라. 원과 점 $P$를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하여 생각해 보라.⁴

4. 두 원 $x^2+y^2=1$, $(x-4{)}^2+y^2=1$의 식을 빼면 $x=2$를 얻는다. 이 직선이 존재하므로 두 원에도 공통점이 있다고 말할 수 있는가? 이유를 설명하라.⁵

Footnotes

1. 원래 두 식을 $F=0,G=0$이라 하면, $F=0,G=0$은 $F=0,F-G=0$과 동치이다. 뒤의 두 식에서 $G=F-(F-G)=0$을 되찾을 수 있기 때문이다. 반면 $F-G=0$ 하나만으로는 $F=G$라는 조건만 남고 두 값이 각각 0이라는 조건은 사라진다. ↩

2. 두 식의 차이에서 $4x+2y+5=25$, 즉 $2x+y=10$이다. $y=10-2x$를 첫 번째 원에 대입하면 $5(x-3)(x-5)=0$이다. 따라서 두 공통점은 $(3,4),(5,0)$이다. ↩

3. $5x=9$이므로 구하는 직선은 $x=\frac{9}{5}$이다. 원에 대입하면 $y^2=9-\frac{81}{25}=\frac{144}{25}$이므로 두 접점은 $\left(\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$, $\left(\frac{9}{5},-\frac{12}{5}\right)$이다. 두 접점에서 반지름과 $P$를 잇는 직선이 수직인지도 확인할 수 있다. ↩

4. 원과 점 $P$를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하면, 원은 $x^2+y^2=4$, 점 $P$의 좌표는 $(4,2)$가 된다. 이때 두 접점을 잇는 직선은 $4x+2y=4$이다. 이를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동하여 원래 위치로 돌아오면 $4(x-1)+2(y+2)=4$, 즉 $2x+y=2$이다. ↩

5. 말할 수 없다. $x=2$를 첫 번째 원에 대입하면 $4+y^2=1$이므로 실수인 $y$가 없다. 뺀 식은 공통점이 있다면 반드시 만족해야 하는 조건이며, 그 조건을 만족하는 점이 원 위에도 존재하는지는 별도로 확인해야 한다. ↩