두 제곱근의 합을 원의 그림으로 구하기

식이 정의되는 범위

다음 식의 최댓값을 구해 보자.

$$\sqrt{x}+\sqrt{8-x}$$

실수에서 두 제곱근이 모두 정의되려면 $x\ge 0$, $8-x\ge 0$이어야 한다. 따라서 가능한 입력의 집합은

$$X=\{x\mid 0\le x\le 8\}$$

이다. $x$가 커지면 첫 번째 제곱근은 커지고 두 번째는 작아진다. 이 두 값을 따로 계산하는 대신, 두 값을 한 점의 좌표로 나타내면 어떤 조건이 생기는지 보자.

두 제곱근을 점의 좌표로 놓기

두 제곱근을 각각

$$u=\sqrt{x},v=\sqrt{8-x}$$

로 놓는다. 이렇게 놓는 이유는 두 값을 제곱해서 더하면 $x$가 사라지기 때문이다.

$$u^2+v^2=x+(8-x)=8$$

또 제곱근 기호의 값은 0 이상이므로

$$u\ge 0,v\ge 0$$

이다. 따라서 점 $(u,v)$는 원점이 중심이고 반지름이 $2\sqrt{2}$인 원에서 두 좌표가 모두 0 이상인 사분원 위에 있다. 양 끝점도 포함한다.

반대로 이 사분원 위의 점 $(u,v)$를 하나 고르면, $x=u^2$로 놓을 수 있다. 이때 $0\le x\le 8$이고 $8-x=v^2$이다. $u,v\ge 0$이므로 원래 두 제곱근의 값은 정확히 $u,v$가 된다. 즉 원래 식에서 가능한 값의 쌍과 사분원 위의 점은 서로 대응한다.

이제 구하려는 값은 점 $(u,v)$의 두 좌표의 합

$$u+v$$

이다.

합이 일정한 점은 직선 위에 있다

두 좌표의 합이 $t$라는 조건은

$$u+v=t,v=-u+t$$

이다. 이는 $u,v$ 좌표평면에서 기울기가 $-1$인 직선이다. 직선 $u+v=t$는 직선 $u+v=0$을 $v$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이다.

그림의 곡선은 $u^2+v^2=8$, $u,v\ge 0$인 사분원이다. $u+v=3$은 사분원과 두 점에서 만나고, $u+v=4$는 $P$에서 접한다. $u+v=5$는 만나지 않는다. 이처럼 사분원과 만나는 직선 $u+v=t$에서 $t$의 최댓값을 구하면 원래 식의 최댓값을 구할 수 있다.

접선을 이용한 최댓값

사분원 위에서는 $u,v\ge 0$이므로 $t=u+v\ge 0$이다. 원점에서 직선 $u+v-t=0$까지의 거리는

$$\frac{|-t|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}$$

이다. 직선이 원과 만나려면 이 거리가 반지름보다 크지 않아야 하므로

$$\frac{t}{\sqrt{2}}\le 2\sqrt{2},t\le 4$$

를 얻는다.

실제로 $P(2,2)$는 $u^2+v^2=8$을 만족하고 $u+v=4$이다. 따라서 $u+v=4$인 직선은 이 점에서 원에 접하며, 이 점은 우리가 다루는 사분원에도 속한다.

치환 전의 변수 $x$의 값을 구하면, $u=\sqrt{x}=2$이므로 $x=4$이고,

$$\sqrt{4}+\sqrt{8-4}=2+2=4$$

이다. 따라서 원래 식의 최댓값은 4이며, $x=4$일 때 그 값을 갖는다.

부등식을 이용한 확인

그림에서 접점은 두 좌표가 같은 점이었다. 이 조건은 식으로도 확인할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}(u+v{)}^2& =2(u^2+v^2)-(u-v{)}^2\\ & =16-(u-v{)}^2\\ & \le 16\end{array}$$

$u+v\ge 0$이므로 $u+v\le 4$이다. 등호는 $u=v$일 때 성립한다. 이 조건과 $u^2+v^2=8$을 함께 사용하면 $u=v=2$를 얻는다. 원의 그림과 부등식이 같은 최댓값과 같은 등호 조건을 나타낸다.

같은 방법으로 $a>0$일 때, $X=\{x\mid 0\le x\le a\}$에서 $\sqrt{x}+\sqrt{a-x}$의 최댓값은 $\sqrt{2a}$이고 $x=\frac{a}{2}$일 때 그 값을 갖는다.¹

계수가 다른 두 제곱근의 합

이번에는 다음 식의 최댓값을 구해 보자.

$$2\sqrt{x}+\sqrt{5-x}$$

식이 정의되는 범위는 $X=\{x\mid 0\le x\le 5\}$이다. 앞에서와 같이

$$u=\sqrt{x},v=\sqrt{5-x}$$

로 놓으면

$$u^2+v^2=5,u\ge 0,v\ge 0$$

이다. 따라서 점 $(u,v)$는 원점이 중심이고 반지름이 $\sqrt{5}$인 사분원 위에 있다. 이 사분원 위의 점에서도 $x=u^2$로 놓으면 원래 두 제곱근의 값을 얻는다.

이번에 구하려는 값은 $u+v$가 아니라 $2u+v$이다. 이를 $t$로 놓으면

$$2u+v=t,v=-2u+t$$

이므로 직선의 기울기는 $-2$이다. 두 제곱근의 계수가 달라지면, 합을 나타내는 직선의 기울기도 달라진다.

$u,v\ge 0$이므로 $t=2u+v\ge 0$이다. 원점에서 직선 $2u+v-t=0$까지의 거리는 $\frac{t}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{t}{\sqrt{5}}$이다. 직선이 원과 만나려면

$$\frac{t}{\sqrt{5}}\le \sqrt{5},t\le 5$$

이어야 한다.

$t=5$이면 원점과 직선 사이의 거리가 반지름과 같으므로 접선이다. 접점으로 그은 반지름은 접선에 수직이다. 접선의 기울기가 $-2$이므로 반지름이 놓인 직선의 기울기는 $\frac{1}{2}$이다. 따라서 접점은 $v=\frac{1}{2}u$ 위에 있고,

$$u^2+{\left(\frac{1}{2}u\right)}^2=5,u^2=4$$

이다. $u,v\ge 0$이므로 접점은 그림의 $P(2,1)$이다. 이 점은 우리가 다루는 사분원 위에 있고 $2u+v=5$를 만족하므로 최댓값 5를 얻는다.

이때 $u=\sqrt{x}=2$이므로 $x=4$이다. 원래 식에 대입하면

$$2\sqrt{4}+\sqrt{5-4}=4+1=5$$

이다. 따라서 최댓값은 5이며, $x=4$일 때 그 값을 갖는다.

예제

1. $3\sqrt{x}+4\sqrt{25-x}$의 최댓값과 그때의 $x$를 구하라.²

2. $\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$의 가능한 입력의 집합과 최댓값을 구하고, 그때의 $x$를 구하라.³

3. $\sqrt{x}+\sqrt{8-x}$의 최솟값과 그때의 $x$를 구하라. 사분원의 어느 점에 대응하는지도 설명하라.⁴

Footnotes

1. $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{a-x}$로 놓으면 $u,v\ge 0$, $u^2+v^2=a$이다. 따라서 $(u+v{)}^2=2a-(u-v{)}^2\le 2a$이므로 $u+v\le \sqrt{2a}$이다. 등호가 성립하려면 $u=v$여야 하므로 $x=a-x$, 즉 $x=\frac{a}{2}$이다. 이 값은 $X$에 속하므로 최댓값이 실제로 존재한다. ↩

2. 식이 정의되는 범위는 $X=\{x\mid 0\le x\le 25\}$이다. $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{25-x}$로 놓으면 $u^2+v^2=25$, $u,v\ge 0$이다. $3u+4v=t$로 놓으면 $t\ge 0$이고, 원점과 직선 사이의 거리가 $\frac{t}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{t}{5}$이므로 $t\le 25$이다. 점 $(3,4)$는 이 사분원 위에 있고 $3\cdot 3+4\cdot 4=25$이므로 최댓값은 25이다. 이때 $x=u^2=9$이며, 원래 식에 대입하면 $3\sqrt{9}+4\sqrt{25-9}=9+16=25$이다. ↩

3. 두 제곱근의 조건에서 $X=\{x\mid 1\le x\le 9\}$이다. $u=\sqrt{x-1}$, $v=\sqrt{9-x}$로 놓으면 $u^2+v^2=8$이다. 최댓값은 4이며, 등호 조건 $u=v$에서 $x-1=9-x$이므로 $x=5$이다. 실제로 $\sqrt{5-1}+\sqrt{9-5}=4$이다. ↩

4. $u,v\ge 0$, $u^2+v^2=8$이므로 $(u+v{)}^2=8+2uv\ge 8$이다. 따라서 $u+v\ge 2\sqrt{2}$이고 등호는 $uv=0$일 때 성립한다. 이는 사분원의 양 끝점 $(0,2\sqrt{2})$, $(2\sqrt{2},0)$이며 각각 $x=0$, $x=8$에 대응한다. 최솟값은 $2\sqrt{2}$이다. ↩