75. Homology of Surfaces

우리가 수많은 표면의 기본 군에 대한 표현(presentation)을 얻는 데 성공했지만, 이제 잠시 멈추어 우리가 실제로 무엇을 성취했는지 자문해 보아야 한다. 예를 들어, 우리의 계산으로부터 이중 원환면(double torus)과 삼중 원환면(triple torus)이 위상적으로 구별된다고 결론 내릴 수 있는가?

즉시는 아니다. 왜냐하면 우리가 알다시피, 두 그룹의 표현이 주어졌을 때 그 그룹들이 동형(isomorphic)인지 아닌지를 결정할 효과적인 절차가 없기 때문이다. 우리가 아벨 군(abelian group) ${\pi }_1/[{\pi }_1,{\pi }_1]$으로 넘어가면, 여기서 ${\pi }_1={\pi }_1(X,x_0)$이다, 상황은 훨씬 더 만족스럽다. 왜냐하면 그때 우리는 작업할 수 있는 알려진 불변량(invariants)들을 갖기 때문이다. 우리는 이 절에서 이 상황을 탐구한다.

우리는 공간 $X$가 경로 연결(path-connected) 공간이고, $\alpha$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로일 때, $x_0$을 밑점(base point)으로 하는 기본 군과 $x_1$을 밑점으로 하는 기본 군 사이에 동형사상(isomorphism) $\hat{\alpha }$가 존재하지만, 그 동형사상은 경로 $\alpha$의 선택에 의존한다는 것을 이미 알고 있다. “아벨화된 기본 군(abelianized fundamental group)“에 대해서는 더 강력한 결과가 성립한다. 이 경우, 경로 $\alpha$에 의해 유도된 $x_0$을 밑점으로 하는 아벨화된 기본 군과 $x_1$을 밑점으로 하는 아벨화된 기본 군 사이의 동형사상은 사실상 경로 $\alpha$의 선택과 무관하다.

이 사실을 확인하기 위해서는, $\alpha$와 $\beta$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 두 경로일 때, 경로 $g=\alpha \ast \bar{\beta }$가 ${\pi }_1/[{\pi }_1,{\pi }_1]$의 자기 자신으로의 항등 동형사상(identity isomorphism)을 유도함을 보이는 것으로 충분하다. 그리고 이것은 쉽다. $[f]\in {\pi }_1(X,x_0)$가 주어지면, 우리는

$$\hat{g}[f]=[\bar{g}\ast f\ast g]=[g{]}^{-1}\ast [f]\ast [g]$$

를 갖는다. 우리가 아벨 군 ${\pi }_1/[{\pi }_1,{\pi }_1]$의 잉여류(cosets)로 넘어갈 때, 우리는 $\hat{g}$가 항등 사상(identity map)을 유도함을 알 수 있다.

정의

$X$가 경로 연결 공간일 때,

$$H_1(X)={\pi }_1(X,x_0)/[{\pi }_1(X,x_0),{\pi }_1(X,x_0)]$$

로 정의한다. 우리는 $H_1(X)$를 $X$의 첫 번째 호몰로지 군(first homology group) 이라 부른다. 밑점에 대한 언급은 표기에서 생략하는데, 왜냐하면 두 다른 점을 밑점으로 하는 아벨화된 기본 군들 사이에는 유일한 경로-유도 동형사상(path-induced isomorphism)이 존재하기 때문이다.

만약 대수적 위상수학(algebraic topology)을 더 공부한다면, $H_1(X)$의 완전히 다른 정의를 보게 될 것이다. 사실, 모든 $n\ge 0$에 대해 정의되는 $X$의 호몰로지 군(homology groups) 이라 불리는 군들 $H_n(X)$를 보게 될 것이다. 이들은 $X$의 위상적 불변량인 아벨 군들이며, 위상수학의 문제에 대수학의 결과를 적용하는 데 있어 근본적인 중요성을 갖는다. W. Hurewicz에 의한 한 정리는 이 군들과 $X$의 호모토피 군(homotopy groups) 사이의 관계를 확립한다. 특히 이 정리는 경로 연결 공간 $X$에 대해, $X$의 첫 번째 호몰로지 군 $H_1(X)$가 $X$의 아벨화된 기본 군과 동형임을 암시한다. 이 정리가 우리가 아벨화된 기본 군에 대한 표기법을 선택한 동기가 된다.

앞서 고려한 표면들에 대한 $H_1(X)$를 계산하기 위해, 우리는 다음의 결과가 필요하다:

정리 75.1

$F$를 군이라 하고, $N$을 $F$의 정규 부분군(normal subgroup)이라 하고, $q:F\to F/N$을 사영(projection)이라 하자. 사영 동형사상

$$p:F\to F/[F,F]$$

는 동형사상

$$\varphi :q(F)/[q(F),q(F)]\to p(F)/p(N)$$

을 유도한다.

증명

이 정리는 대략적으로 말해, $F$를 $N$으로 나눈 다음 그 몫을 아벨화하면, $F$를 먼저 아벨화하고 그 아벨화에서 $N$의 상으로 나누는 것과 같은 결과를 얻는다는 것을 말한다.

$q(F)=F/N$이고 $p(F)=F/[F,F]$일 때, 다음 그림과 같이 사영 동형사상들 $p,q,r,s$가 있다.

\begin{document}
\Large
\begin{tikzpicture}[>=stealth, line cap=round]
 
% nodes (원본 배치에 정밀 맞춤) 
\node (F)  at (0,0)       {$F$};
\node (qF) at (3.00, 2)    {$q(F)$};
\node (pF) at (3.00,-2)    {$p(F)$};
\node (Q)  at (10, 2)   {$q(F)/[\,q(F),q(F)\,]$};
\node (P)  at (10,-2)   {$p(F)/p(N)$};
 
% left fork (짧은 사선, 라벨 위치 보정) 
\draw[->,shorten >=2pt] (F) -- (qF) node[pos=0.3,above] {$q$};
\draw[->,shorten >=2pt] (F) -- (pF) node[pos=0.3,below] {$p$};
 
% horizontals (상단/하단 길이 동일, 라벨 중앙 위/아래) 
\draw[->,shorten >=2pt] (qF) -- (Q) node[pos=0.52,above] {$s$};
\draw[->,shorten >=2pt] (pF) -- (P) node[pos=0.52,below] {$r$};
 
% crossed diagonals (교차점에 u, v를 정확히 배치) 
\draw[->,shorten >=2pt] (qF) -- (P) node[pos=0.2,above] {$u$};
\draw[->,shorten >=2pt] (pF) -- (Q) node[pos=0.2,below] {$v$};
 
% right parallel vertical arrows (φ: ↓, ψ: ↑; 간격과 높이 정밀 매치) 
\coordinate (Qphi) at (10, 1.5);
\coordinate (Pphi) at (10, -1.5);
\coordinate (Qpsi) at (10.5, 1.5);
\coordinate (Ppsi) at (10.5, -1.5);
\draw[->] (Qphi) -- (Pphi) node[midway,left] {$\phi$};
\draw[->] (Ppsi) -- (Qpsi) node[midway,right] {$\psi$};
 
\end{tikzpicture}
\end{document}

$r\circ p$가 $N$을 $1$로 보내므로, 이는 동형사상 $u:q(F)\to p(F)/p(N)$을 유도한다. 그리고 $p(F)/p(N)$이 아벨 군이므로, 동형사상 $u$는 $q(F)/[q(F),q(F)]$의 동형사상 $\varphi$를 유도한다. 다른 한편으로, $s\circ q$가 $F$를 아벨 군으로 보내므로, 이는 동형사상 $v:p(F)\to q(F)/[q(F),q(F)]$를 유도한다. $s\circ q$가 $N$을 $1$로 보내므로, $v\circ p$도 마찬가지이다. 따라서 $v$는 $p(F)/p(N)$의 동형사상 $\psi$를 유도한다.

동형사상 $\varphi$는 다음과 같이 기술될 수 있다: $q(F)/[q(F),q(F)]$의 원소 $y$가 주어졌을 때, $s(q(x))=y$인 $F$의 원소 $x$를 선택한다. 그러면 $\varphi (y)=r(p(x))$이다. 동형사상 $\psi$도 유사하게 기술될 수 있다. 따라서 $\varphi$와 $\psi$는 서로의 역함수이다.

보조정리 75.2

$F$를 자유 생성원(free generators) ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$을 갖는 자유 군(free group)이라 하고, $x$를 $F$의 원소라 하고, $N$을 $x$를 포함하는 $F$의 가장 작은 정규 부분군(least normal subgroup)이라 하자. $G=F/N$이라 하자. $p:F\to F/[F,F]$를 사영이라 하자. 그러면 $G/[G,G]$는 기저(basis) $p({\alpha }_1),\dots ,p({\alpha }_n)$을 갖는 자유 아벨 군인 $F/[F,F]$를 $p(x)$에 의해 생성된 부분군으로 나눈 몫과 동형이다.

증명

$N$은 $x$와 그 모든 공액(conjugates)에 의해 생성되므로, 군 $p(N)$은 $p(x)$에 의해 생성된다는 점에 주목하자. 그러면 보조정리는 앞선 정리로부터 따라 나온다.

정리 75.3

$X$가 $n$겹 원환면의 연결합($n$-fold connected sum of tori)이면, $H_1(X)$는 랭크(rank)가 $2n$인 자유 아벨 군이다.

증명

앞선 보조정리에 비추어 볼 때, 정리 74.3은 $H_1(X)$가 집합 $\{{\alpha }_1,{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_n\}$ 위의 자유 아벨 군 $F^{\#}$를 원소 $[{\alpha }_1,{\beta }_1]\cdots [{\alpha }_n,{\beta }_n]$에 의해 생성된 부분군으로 나눈 몫과 동형임을 암시한다. 여기서 평소와 같이 $[\alpha ,\beta ]=\alpha \beta {\alpha }^{-1}{\beta }^{-1}$이다. 군 $F^{\#}$가 아벨 군이므로, 이 원소는 항등원과 같다.

정리 75.4

$X$가 $m$겹 사영 평면의 연결합($m$-fold connected sum of projective planes)이면, $H_1(X)$의 꼬임 부분군(torsion subgroup) $T(X)$는 위수(order)가 2이고, $H_1(X)/T(X)$는 랭크가 $m-1$인 자유 아벨 군이다.¹

증명

앞선 보조정리에 비추어 볼 때, 정리 74.4는 $H_1(X)$가 집합 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 위의 자유 아벨 군 $F^{\#}$를 $({\alpha }_1{)}^2\cdots ({\alpha }_m{)}^2$에 의해 생성된 부분군으로 나눈 몫과 동형임을 암시한다. (아벨 군을 다룰 때 보통 하듯이) 덧셈 표기법으로 바꾸면, 이는 원소 $2({\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_m)$에 의해 생성된 부분군이다. 군 $F^{\#}$에서 기저를 바꾸어 보자. $\beta ={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_m$이라 하면, 원소 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{m-1},\beta$는 $F^{\#}$의 기저를 이룬다. $F^{\#}$의 어떤 원소도 이 원소들의 항으로 유일하게 쓰여질 수 있다. 군 $H_1(X)$는 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{m-1},\beta$ 위의 자유 아벨 군을 $2\beta$에 의해 생성된 부분군으로 나눈 몫과 동형이다. 다르게 말하면, $H_1(X)$는 $m$겹 데카르트 곱(cartesian product) $\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}$를 부분군 $0\times \cdots \times 0\times 2\mathbb{Z}$로 나눈 몫과 동형이다. 정리는 이로부터 따라 나온다.

정리 75.5

$T_n$과 $P_m$을 각각 $n$겹 원환면의 연결합과 $m$겹 사영 평면의 연결합이라 하자. 그러면 표면들 $S^2;T_1,T_2,\dots ;P_1,P_2,\dots$는 모두 위상적으로 구별된다.

Footnotes

1. 정리 75.4의 증명에 사용된 기저 변환은 임의의 유한 생성 아벨 군의 구조를 밝히는 일반적인 알고리즘인 스미스 표준 형식(Smith Normal Form)의 한 예시이다. 어떤 호몰로지 군 $H_1(X)$의 표현이 $m$개의 생성원 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$과 $k$개의 관계식 $R_1,\dots ,R_k$로 주어질 때, 그 구조는 다음과 같이 기계적으로 찾을 수 있다. 먼저, 관계식들로부터 $k\times m$ 크기의 정수 관계 행렬(Relations Matrix) $A$를 구성하는데, 각 행은 관계식에, 각 열은 생성원에 해당한다. 예를 들어, $m$겹 사영평면의 경우 관계식은 $2{\alpha }_1+\cdots +2{\alpha }_m=0$ 하나이므로, 관계 행렬은 $[22\dots 2]$ 이다. 이후 정수 행·열 연산을 통해 이 행렬 $A$를 대각 행렬 $D$로 변환하는데, 이 $D$는 $D_{ii}$가 $D_{i+1,i+1}$을 나누는 조건을 만족하며 이를 $A$의 스미스 표준 형식이라 한다. 사영평면의 경우, 이 SNF는 대각 성분이 $[2,0,\dots ,0]$인 행렬이 된다. 최종적인 군의 구조는 이 대각 행렬 $D$로부터 직접 얻을 수 있다. 대각 성분이 $d_1,d_2,\dots ,d_r$이고 생성원이 $m$개일 때, 군의 구조는 ${\mathbb{Z}}_{d_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{d_r}\oplus {\mathbb{Z}}^{m-r}$ 와 동형이다. 따라서 $m$겹 사영평면의 SNF $[2,0,\dots ,0]$는 $r=1$, $d_1=2$ 이므로, 꼬임 부분 ${\mathbb{Z}}_2$와 랭크 $m-1$인 자유 부분 ${\mathbb{Z}}^{m-1}$으로 구성된 군, 즉 $H_1(X)\cong {\mathbb{Z}}^{m-1}\oplus {\mathbb{Z}}_2$ 임을 알려준다. 이 방법은 임의의 유한 생성 호몰로지 군에 적용 가능한 일반적인 계산법이다. ↩