72. Adjoining a Two-cell

우리는 이제까지 원환면(torus) $T=S^1\times S^1$의 기본군(fundamental group)을 두 가지 방법으로 계산했다. 하나는 표준 덮개 사상(standard covering map) $p\times p:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to S^1\times S^1$을 고려하고 들어올림 대응(lifting correspondence)을 사용하는 것이었다. 다른 하나는 곱공간(product space)의 기본군에 대한 기본 정리를 포함하는 것이었다. 이제 우리는 또 다른 방법으로 원환면의 기본군을 계산한다.

덮개 사상 $p\times p$를 단위 정사각형(unit square)으로 제한하면, 몫 사상(quotient map) $\pi :I^2\to T$를 얻는다. 이 사상은 $\text{Bd }{I}^2$를 부분공간(subspace) $A=(S^1\times b_0)\cup (b_0\times S^1)$으로 보내는데, 이는 두 원의 쐐기(wedge of two circles)이다. 그리고 $I^2$의 나머지 부분을 $T-A$ 위로 전단사적(bijectively)으로 보낸다. 따라서, 원환면 $T$는 정사각형 $I^2$의 변들을 공간 $A$에 붙여서 얻은 공간으로 생각할 수 있다.

평면에서 다각형 영역(polygonal region)의 변들을 다른 공간에 붙여서 공간을 구성하는 과정은 매우 유용하다. 우리는 여기서 그러한 공간의 기본군을 계산하는 방법을 보인다. 그 응용은 많고 유익할 것이다.

정리 72.1

$X$를 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라 하고, $A$를 $X$의 닫힌 경로 연결(closed path-connected) 부분공간이라 하자. $h:B^2\to X$가 $\text{Int }{B}^2$를 $X-A$ 위로 전단사적으로 보내고, $S^1=\text{Bd }{B}^2$를 $A$ 안으로 보내는 연속 함수(continuous map)가 존재한다고 가정하자. $p\in S^1$이라 하고 $a=h(p)$라 하자. $k:(S^1,p)\to (A,a)$를 $h$를 제한하여 얻은 사상이라 하자. 그러면 포함 사상(inclusion)에 의해 유도된 준동형사상(homomorphism)

$$i_{\ast }:{\pi }_1(A,a)\to {\pi }_1(X,a)$$

는 전사(surjective)이고, 그 핵(kernel)은 $k_{\ast }:{\pi }_1(S^1,p)\to {\pi }_1(A,a)$의 상(image)을 포함하는 ${\pi }_1(A,a)$의 가장 작은 정규 부분군(least normal subgroup)이다.

우리는 때때로 $X$의 기본군은 $[f]$가 ${\pi }_1(S^1,p)$를 생성할 때, 클래스 $k_{\ast }[f]$를 “죽여서(killing off)” $A$의 기본군으로부터 얻어진다고 말한다.

증명

1단계. $B^2$의 중심점을 $0$이라 하고, $x_0$를 $X$의 점 $h(0)$이라 하자. $U$가 $X$의 열린 집합 $U=X-x_0$일 때, $A$가 $U$의 변형 수축(deformation retract)임을 보인다.

$C=h(B^2)$라 하고, $\pi :B^2\to C$를 $h$의 치역(range)을 제한하여 얻은 사상이라 하자. 사상

$$\pi \times \text{id}:B^2\times I\to C\times I$$

는 $B^2\times I$가 콤팩트(compact)이고 $C\times I$가 하우스도르프이므로 닫힌 사상(closed map)이다; 따라서 이는 몫 사상(quotient map)이다. 그것의 제한

$${\pi }^{\prime }:(B^2-0)\times I\to (C-x_0)\times I$$

역시 몫 사상인데, 왜냐하면 그 정의역이 $B^2\times I$에서 열려 있고 $\pi \times \text{id}$에 대해 포화(saturated)이기 때문이다. $B^2-0$에서 $S^1$으로의 변형 수축이 있다; 이는 몫 사상 ${\pi }^{\prime }$를 통해 $C-x_0$에서 $\pi (S^1)$으로의 변형 수축을 유도한다. 우리는 이 변형 수축을 $A$의 각 점을 변형 동안 고정시켜 $U\times I$ 전체로 확장한다. 따라서 $A$는 $U$의 변형 수축이다.

따라서 $A$를 $U$에 포함시키는 것은 기본군의 동형사상(isomorphism)을 유도한다. 그러면 우리의 정리는 다음 명제를 증명하는 것으로 축소된다:

$[f]$가 ${\pi }_1(S^1,p)$를 생성하는 고리(loop)라 하자. 그러면 $U$를 $X$에 포함시키는 것은 전사 준동형사상

$${\pi }_1(U,a)\to {\pi }_1(X,a)$$

을 유도하며, 그 핵은 고리 $g=h\circ f$의 클래스를 포함하는 가장 작은 정규 부분군이다.

2단계. 이 결과를 증명하기 위해, 먼저 $A$에 속하지 않는 밑점(base point) $b$에 대해 포함에 의해 유도된 준동형사상 ${\pi }_1(U,b)\to {\pi }_1(X,b)$를 고려하는 것이 편리하다.

$b$를 $U-A$의 임의의 점이라 하자. $X$를 열린 집합 $U$와 $V=X-A=\pi (\text{Int }{B}^2)$의 합집합으로 쓰자. $A$가 $U$의 변형 수축이므로 $U$는 경로 연결이다. $\pi$는 몫 사상이므로, $\text{Int }{B}^2$로의 제한 역시 몫 사상이므로 동형사상(homeomorphism)이다; 따라서 $V$는 단일 연결(simply connected)이다. 집합 $U\cap V=V-x_0$는 $\text{Int }{B}^2-0$와 동형이므로, 경로 연결이고 그 기본군은 무한 순환군(infinite cyclic)이다. $b$는 $U\cap V$의 점이므로, 보조정리 70.4는 포함에 의해 유도된 준동형사상

$${\pi }_1(U,b)\to {\pi }_1(X,b)$$

가 전사이고, 그 핵은 $U\cap V$의 무한 순환 기본군의 상을 포함하는 가장 작은 정규 부분군임을 의미한다.

3단계. 이제 우리는 밑점을 $a$로 다시 바꾸어 정리를 증명한다.

$q$를 $B^2$에서 $0$에서 $p$로 가는 선분의 중점이라 하고, $b=h(q)$라 하자; 그러면 $b$는 $U\cap V$의 점이다. $f_0$를 이 공간의 기본군을 생성하는 $q$를 밑점으로 하는 $\text{Int }{B}^2-0$의 고리라 하자; 그러면 $g_0=h\circ f_0$는 $U\cap V$에서 $b$를 밑점으로 하는 고리이며, $U\cap V$의 기본군을 생성한다.

2단계는 포함에 의해 유도된 준동형사상 ${\pi }_1(U,b)\to {\pi }_1(X,b)$가 전사이고 그 핵은 고리 $g_0=h\circ f_0$의 클래스를 포함하는 가장 작은 정규 부분군임을 말한다. 밑점 $a$에 대한 유사한 결과를 얻기 위해 다음과 같이 진행한다:

$\gamma$를 $B^2$에서 $q$에서 $p$로 가는 직선 경로라 하고, $\delta$를 $U$에서 $b$에서 $a$로 가는 경로 $\delta =h\circ \gamma$라 하자. 경로 $\delta$에 의해 유도된 동형사상(둘 다 $\hat{\delta }$로 표기)은 다음 도식에서 포함에 의해 유도된 준동형사상과 교환된다:

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
\pi_{1}(U, b) \arrow[r] \arrow[d, "\hat{\delta}"'] 
  & \pi_{1}(X, b) \arrow[d, "\hat{\delta}"] \\
\pi_{1}(U, a) \arrow[r] 
  & \pi_{1}(X, a)
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}
 

따라서, ${\pi }_1(U,a)$에서 ${\pi }_1(X,a)$로의 포함에 의해 유도된 준동형사상은 전사이고, 그 핵은 원소 $\hat{\delta }([g_0])$를 포함하는 가장 작은 정규 부분군이다.

고리 $f_0$는 $q$를 밑점으로 하는 $\text{Int }{B}^2-0$의 기본군의 생성원을 나타낸다. 그러면 고리 $\bar{\gamma }\ast (f_0\ast \gamma )$는 $p$를 밑점으로 하는 $B^2-0$의 기본군의 생성원을 나타낸다. 따라서, 이는 $f$ 또는 그 역경로(reverse)와 경로 동치(path homotopic)이다; 전자의 경우라고 가정하자. 이 경로 동치를 사상 $h$로 따라가면, $\bar{\delta }\ast (g_0\ast \delta )$가 $U$에서 $g$와 경로 동치임을 알 수 있다. 그러면 $\hat{\delta }([g_0])=[g]$이고, 정리는 따라온다.

이 정리에서 단위 공(unit ball) $B^2$에 특별한 것은 없다. 만약 $B^2$를 $B^2$와 동형인 임의의 공간 $B$로 대체하고, $\text{Bd }B$를 동형사상 하에서 $S^1$에 해당하는 부분공간으로 나타내면 같은 결과가 성립한다. 이러한 공간 $B$를 2-세포(2-cell) 라고 한다. 이 정리의 공간 $X$는 $A$에 “2-세포를 부착하여” 얻어진 것으로 생각된다. 우리는 나중에 이 상황을 더 형식적으로 다룰 것이다.