71. The Fundamental Group of a Wedge of Circles

이 절에서는 원들의 쐐기(wedge of circles)가 무엇을 의미하는지 정의하고, 그 기본군(fundamental group)을 계산한다.

정의

하우스도르프 공간(Hausdorff space) $X$가 부분공간(subspace) $S_1,\dots ,S_n$의 합집합이라고 하자. 각각의 $S_i$는 단위 원(unit circle) $S^1$과 위상동형(homeomorphic)이다. $i\ne j$일 때마다 $S_i\cap S_j=\{p\}$가 되는 점 $p\in X$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $X$를 원 $S_1,\dots ,S_n$의 쐐기(wedge) 라고 한다.

각 공간 $S_i$는 콤팩트(compact)이므로 $X$에서 닫혀 있음에 주목하자. 또한 $X$는 평면에 내장될(imbedded) 수 있음에 주목하자; 만약 $C_i$가 ${\mathbb{R}}^2$에서 중심이 $(i,0)$이고 반지름이 $i$인 원을 나타낸다면, $X$는 $C_1\cup \cdots \cup C_n$과 위상동형이다.

정리 71.1

$X$를 원 $S_1,\dots ,S_n$의 쐐기(wedge)라 하고, $p$를 이 원들의 공통점이라고 하자. 그러면 ${\pi }_1(X,p)$는 자유군(free group)이다. 만약 $f_i$가 ${\pi }_1(S_i,p)$의 생성원(generator)을 나타내는 $S_i$ 안의 고리(loop)라면, 고리 $f_1,\dots ,f_n$은 ${\pi }_1(X,p)$에 대한 자유 생성원계(system of free generators)를 나타낸다.

증명

$n=1$이면 결과는 즉각적이다. $n$에 대한 수학적 귀납법(induction)으로 진행한다. 증명은 이전 절의 예제 1에서 주어진 것과 유사하다.

$X$를 원 $S_1,\dots ,S_n$의 쐐기라 하고, $p$를 이 원들의 공통점이라고 하자. 각 $i$에 대해 $p$와 다른 점 $q_i\in S_i$를 선택하자. $W_i=S_i-\{q_i\}$라 하고, $U=S_1\cup W_2\cup \cdots \cup W_n$과 $V=W_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$이라 하자.

그러면 $U\cap V=W_1\cup \cdots \cup W_n$이다. $U,V,U\cap V$ 각각은 공통점을 갖는 경로 연결 공간(path-connected space)들의 합집합이므로 경로 연결이다.

공간 $W_i$는 열린 구간(open interval)과 위상동형(homeomorphic)이므로, 점 $p$를 변형 수축(deformation retract)으로 갖는다. $F_i:W_i\times I\to W_i$를 변형 수축이라 하자. $F_i$들을 합쳐서 맵 $F:(U\cap V)\times I\to U\cap V$를 정의할 수 있고, 이것은 $U\cap V$를 $p$로의 변형 수축으로 만든다. ( $F$가 연속임을 보이기 위해, $S_i$가 $X$의 닫힌 부분공간이므로, 공간 $W_i=S_i-\{q_i\}$는 $U\cap V$의 닫힌 부분공간이고, 따라서 $W_i\times I$는 $(U\cap V)\times I$의 닫힌 부분공간임을 주목하자. 그러면 붙임 보조정리(pasting lemma)가 적용된다.) 따라서 $U\cap V$는 단일 연결(simply connected)이므로, ${\pi }_1(X,p)$는 포함사상(inclusion)에 의해 유도된 단사준동형사상(monomorphism)에 대해 ${\pi }_1(U,p)$와 ${\pi }_1(V,p)$의 자유곱(free product)이다.

유사한 논증으로 $S_1$이 $U$의 변형 수축이고 $S_2\cup \cdots \cup S_n$이 $V$의 변형 수축임을 보인다. 따라서 ${\pi }_1(U,p)$는 무한 순환군(infinite cyclic)이고, 고리 $f_1$이 생성원을 나타낸다. 또한 귀납 가정에 의해 ${\pi }_1(V,p)$는 자유군이고, 고리 $f_2,\dots ,f_n$이 자유 생성원계를 나타낸다. 이제 우리의 정리는 정리 69.2로부터 따라 나온다.

이제 이 결과를 한 점을 공통으로 갖는 무한히 많은 원들의 합집합인 공간 $X$로 일반화한다. 여기서는 $X$의 위상(topology)에 대해 주의해야 한다.

정의

$J$의 각 $\alpha$에 대해 부분공간 $X_{\alpha }$들의 합집합인 공간 $X$가 있다고 하자. $X$의 위상이 부분공간 $X_{\alpha }$들과 정합적(coherent) 이라 함은,¹ $X$의 부분집합 $C$가 닫혀 있다는 것과 각 $\alpha$에 대해 $C\cap X_{\alpha }$가 $X_{\alpha }$에서 닫혀 있다는 것이 동치일 때를 말한다. 이와 동등한 조건은, 집합이 $X$에서 열려 있다는 것과 각 $X_{\alpha }$와의 교집합이 $X_{\alpha }$에서 열려 있다는 것이 동치인 것이다.

만약 $X$가 유한 개의 닫힌 부분공간 $X_1,\dots ,X_n$의 합집합이라면, $X$의 위상은 자동적으로 이 부분공간들과 정합적이다. 왜냐하면 $C\cap X_i$가 $X_i$에서 닫혀 있으면, 그것은 $X$에서도 닫혀 있고, $C$는 집합 $C\cap X_i$들의 유한 합집합이기 때문이다.

정의

$J$의 각 $\alpha$에 대해, 단위 원과 위상동형인 부분공간 $S_{\alpha }$들의 합집합인 공간 $X$가 있다고 하자. $\alpha \ne \beta$일 때마다 $S_{\alpha }\cap S_{\beta }=\{p\}$가 되는 점 $p\in X$가 존재한다고 가정하자. 만약 $X$의 위상이 부분공간 $S_{\alpha }$들과 정합적이라면, $X$를 원 $S_{\alpha }$들의 쐐기(wedge) 라고 한다.

유한한 경우, 정의는 정합 조건 대신 하우스도르프 조건을 포함했다; 그 경우 정합 조건이 따라 나왔다. 무한한 경우, 이것은 더 이상 참이 아닐 것이므로, 우리는 정의의 일부로 정합 조건을 포함시켰다. 하우스도르프 조건도 포함시킬 수 있겠지만, 그것은 더 이상 필요하지 않다. 왜냐하면 그것은 정합 조건으로부터 따라 나오기 때문이다:

보조정리 71.2

$X$를 $J$의 각 $\alpha$에 대한 원 $S_{\alpha }$들의 쐐기라고 하자. 그러면 $X$는 정규(normal)이다. 더욱이, $X$의 임의의 콤팩트(compact) 부분공간은 유한 개의 원 $S_{\alpha }$들의 합집합에 포함된다.

증명

한 점 집합들이 $X$에서 닫혀 있다는 것은 명백하다. $A$와 $B$를 $X$의 서로소인 닫힌 부분집합이라 하자; $B$는 $p$를 포함하지 않는다고 가정하자. $S_{\alpha }$에서 열려 있고 $\{p\}\cup (A\cap S_{\alpha })$와 $B\cap S_{\alpha }$를 각각 포함하는 서로소인 부분집합 $U_{\alpha }$와 $V_{\alpha }$를 선택하자. $U={\cup }_{\alpha \in J}{U}_{\alpha }$와 $V={\cup }_{\alpha \in J}{V}_{\alpha }$라 하자; 그러면 $U$와 $V$는 서로소이다. 모든 집합 $U_{\alpha }$가 $p$를 포함하므로 $U\cap S_{\alpha }=U_{\alpha }$이고, 어떤 $V_{\alpha }$도 $p$를 포함하지 않으므로 $V\cap S_{\alpha }=V_{\alpha }$이다. 따라서 $U$와 $V$는 $X$에서 열려 있다. 따라서 $X$는 정규이다.

이제 $C$를 $X$의 콤팩트 부분공간이라 하자. 가능한 각 $\alpha$에 대해 $C\cap (S_{\alpha }-\{p\})$의 점 $x_{\alpha }$를 선택하자. 집합 $D=\{x_{\alpha }\}$는 $X$에서 닫혀 있다. 왜냐하면 각 공간 $S_{\alpha }$와의 교집합이 한 점 집합이거나 공집합이기 때문이다. 같은 이유로, $D$의 각 부분집합은 $X$에서 닫혀 있다. 따라서 $D$는 $C$에 포함된 $X$의 닫힌 이산(discrete) 부분공간이다; $C$는 극한점 콤팩트(limit point compact)이므로 $D$는 유한해야 한다.

정리 71.3

$X$를 $J$의 각 $\alpha$에 대한 원 $S_{\alpha }$들의 쐐기라 하고, $p$를 이 원들의 공통점이라고 하자. 그러면 ${\pi }_1(X,p)$는 자유군이다. 만약 $f_{\alpha }$가 ${\pi }_1(S_{\alpha },p)$의 생성원을 나타내는 $S_{\alpha }$ 안의 고리라면, 고리들의 집합 $\{f_{\alpha }\}$는 ${\pi }_1(X,p)$에 대한 자유 생성원계를 나타낸다.

증명

포함사상에 의해 유도된 준동형사상 $i_{\alpha }:{\pi }_1(S_{\alpha },p)\to {\pi }_1(X,p)$라 하고, $G_{\alpha }$를 $i_{\alpha }$의 상(image)이라 하자.

$X$ 안의 임의의 고리 $f$가 $p$를 밑점(base point)으로 할 때, $f$의 상 집합은 콤팩트이므로, $f$는 어떤 유한한 부분공간 $S_{{\alpha }_1},\dots ,S_{{\alpha }_n}$들의 합집합 안에 놓여 있음에 주목하자. 더욱이, 만약 $f$와 $g$가 $X$에서 경로 호모토픽(path homotopic)한 두 고리라면, 그것들은 실제로 어떤 유한한 부분공간들의 합집합 안에서 경로 호모토픽하다.

이로부터 군 $\{G_{\alpha }\}$가 ${\pi }_1(X,p)$를 생성한다는 것이 따라 나온다. 왜냐하면 만약 $f$가 $X$ 안의 고리라면, $f$는 어떤 유한한 첨자 집합에 대해 $S_{{\alpha }_1}\cup \cdots \cup S_{{\alpha }_n}$ 안에 놓여 있고; 그러면 정리 71.1은 $[f]$가 군 $G_{{\alpha }_1},\dots ,G_{{\alpha }_n}$의 원소들의 곱임을 의미한다. 유사하게, $i_{\beta }$가 단사준동형사상임이 따라 나온다. 왜냐하면 만약 $f$가 $S_{\beta }$ 안의 고리이고 $X$에서 상수에 경로 호모토픽하다면, $f$는 어떤 유한한 공간 $S_{\alpha }$들의 합집합에서 상수에 경로 호모토픽하고, 따라서 정리 71.1은 $f$가 $S_{\beta }$에서 상수에 경로 호모토픽함을 의미하기 때문이다.

마지막으로, 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 축소된 비어있지 않은 단어(reduced nonempty word)

$$w=(g_{{\alpha }_1},\dots ,g_{{\alpha }_n})$$

가 ${\pi }_1(X,p)$의 항등원을 나타낸다고 가정하자. 경로 호모토피 클래스가 $w$로 나타내어지는 $X$ 안의 고리 $f$가 있다고 하자. 그러면 $f$는 $X$에서 상수에 경로 호모토픽하므로, 어떤 유한한 부분공간 $S_{\alpha }$들의 합집합에서 상수에 경로 호모토픽하다. 이것은 정리 71.1에 모순된다.

이전 정리는 $X$의 위상이 부분공간 $S_{\alpha }$들과 정합적이라는 사실에 의존했다. 다음 예제를 고려해보자:

예제 1

$C_n$을 평면 ${\mathbb{R}}^2$에서 중심이 $(1/n,0)$이고 반지름이 $1/n$인 원이라 하자. $X$를 이 원들의 합집합인 ${\mathbb{R}}^2$의 부분공간이라 하자; 그러면 $X$는 각 쌍이 원점 $p$에서 교차하는 가산 무한 개의 원들의 합집합이다. 그러나 $X$는 원 $C_n$들의 쐐기가 아니다; 우리는 (편의상) $X$를 무한 귀걸이(infinite earring) 라고 부른다.

$X$가 부분공간 $C_n$들과 정합적인 위상을 갖지 않음을 직접 확인할 수 있다; 양의 $x$-축과 $X$의 교집합은 각 원 $C_n$에서 정확히 한 점을 포함하지만, $X$에서 닫혀 있지 않다. 대안으로, 각 $n$에 대해, $f_n$을 ${\pi }_1(C_n,p)$의 생성원을 나타내는 $C_n$ 안의 고리라고 하자; 우리는 ${\pi }_1(X,p)$가 $\{[f_n]\}$을 자유 생성원계로 갖는 자유군이 아님을 보인다. 실제로, 우리는 원소 $[f_i]$들이 군 ${\pi }_1(X,p)$를 생성조차 하지 않음을 보인다.

다음과 같이 정의된 $X$ 안의 고리 $g$를 고려하자: 각 $n$에 대해, 구간 $[1/(n+1),1/n]$ 위에서 $g$를 이 구간을 $[0,1]$로 보내는 양의 선형 사상(positive linear map) 다음에 $f_n$을 적용한 것으로 정의한다. 이것은 $(0,1]$ 위에서 $g$를 명시한다; $g(0)=p$로 정의한다. $X$가 ${\mathbb{R}}^2$로부터 유도된 부분공간 위상을 가지므로, $g$가 연속임을 쉽게 알 수 있다. $n$이 주어졌을 때, 원소 $[g]$가 $[f_1],\dots ,[f_n]$에 의해 생성된 ${\pi }_1(X,p)$의 부분군 $G_n$에 속하지 않음을 보인다.

$N>n$을 선택하고, $h(x)=x$ for $x\in C_N$이고 그 외에는 $h(x)=p$로 설정하여 맵 $h:X\to C_N$을 고려하자. 그러면 $h$는 연속이고, 유도된 준동형사상 $h_{\ast }:{\pi }_1(X,p)\to {\pi }_1(C_N,p)$는 $G_n$의 각 원소를 항등원으로 보낸다. 다른 한편으로, $h\circ g$는 $C_N$ 안의 고리인데, $[1/(N+1),1/N]$ 밖에서는 상수이고 이 구간 위에서는 이 구간을 $[0,1]$로 보내는 양의 선형 사상 다음에 $f_N$을 적용한 것과 같다. 따라서, $h_{\ast }([g])=[f_N]$이고, 이것은 ${\pi }_1(C_N,p)$를 생성한다! 따라서 $[g]\notin G_n$이다.

이전 정리에서, 우리는 원들의 무한 쐐기인 공간의 기본군을 계산했다. 나중에 사용하기 위해, 우리는 이제 그러한 공간이 실제로 존재함을 보인다! (이 결과는 14장에서 사용할 것이다.)

보조정리 71.4

첨자 집합 $J$가 주어졌을 때, $J$의 각 $\alpha$에 대한 원 $S_{\alpha }$들의 쐐기인 공간 $X$가 존재한다.

증명

집합 $J$에 이산 위상(discrete topology)을 부여하고, $E$를 곱공간(product space) $S^1\times J$라 하자. 점 $b_0\in S^1$를 선택하고, $X$를 닫힌 집합 $P=\{b_0\}\times J$를 한 점 $p$로 붕괴시켜(collapsing) 얻은 몫공간(quotient space)이라 하자. $\pi :E\to X$를 몫사상(quotient map)이라 하고, $S_{\alpha }=\pi (S^1\times \{\alpha \})$라 하자. 우리는 각 $S_{\alpha }$가 $S^1$과 위상동형이고 $X$가 원 $S_{\alpha }$들의 쐐기임을 보인다.

만약 $C$가 $S^1\times \{\alpha \}$에서 닫혀 있다면, $\pi (C)$는 $X$에서 닫혀 있음에 주목하자. 왜냐하면 만약 점 $b_0\times \alpha$가 $C$에 없다면 ${\pi }^{-1}(\pi (C))=C$이고, 그렇지 않으면 ${\pi }^{-1}(\pi (C))=C\cup P$이기 때문이다. 두 경우 모두, ${\pi }^{-1}(\pi (C))$는 $S^1\times J$에서 닫혀 있으므로, $\pi (C)$는 $X$에서 닫혀 있다.

이로부터 $S_{\alpha }$ 자체가 $X$에서 닫혀 있음이 따라 나온다. 왜냐하면 $S^1\times \{\alpha \}$는 $S^1\times J$에서 닫혀 있고, $\pi$는 $S^1\times \{\alpha \}$를 $S_{\alpha }$ 위로 위상동형적으로 사상하기 때문이다. ${\pi }_{\alpha }$를 이 위상동형사상이라 하자.

$X$가 부분공간 $S_{\alpha }$들과 정합적인 위상을 가짐을 보이기 위해, $D\subset X$이고 각 $\alpha$에 대해 $D\cap S_{\alpha }$가 $S_{\alpha }$에서 닫혀 있다고 가정하자. 이제

$${\pi }^{-1}(D)\cap (S^1\times \{\alpha \})={\pi }_{\alpha }^{-1}(D\cap S_{\alpha })$$

이고, ${\pi }_{\alpha }$가 연속이므로 후자의 집합은 $S^1\times \{\alpha \}$에서 닫혀 있다. 그러면 ${\pi }^{-1}(D)$는 $S^1\times J$에서 닫혀 있으므로, 몫 위상의 정의에 의해 $D$는 $X$에서 닫혀 있다.

Footnotes

1. 전체의 위상적 성질이 각 부분의 위상적 성질들과 일관되게 결정된다는 의미다. ↩