65. The Winding Number of a Simple Closed Curve

만약 $h:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$가 연속 함수라면, 유도된 준동형사상 $h_{\ast }$는 $S^1$의 기본군의 생성원을 ${\mathbb{R}}^2-0$의 기본군의 생성원의 정수 거듭제곱으로 보낸다. 이 정수 $n$을 $0$에 대한 $h$의 감김수(winding number) 라고 부른다. 이는 $h$가 “원점을 중심으로 $S^1$을 몇 번 감았는지”를 측정하며, 그 부호는 물론 생성원의 선택에 따라 달라진다. 그림 65.1을 보라.

이제, 만약 $h$가 단사, 즉 $h$가 $S^1$과 ${\mathbb{R}}^2-0$에 있는 단순 닫힌 곡선 $C$ 사이의 위상동형사상이라면, $h$의 감김수에 대해 무엇을 말할 수 있을까? 그림 65.2의 삽화들은 명백한 추측을 제시한다: 만약 $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계가 아닌 성분에 속한다면 $n=0$이고, 반면에 $0$이 유계 성분에 속한다면 $n=\pm 1$이다.

첫 번째 추측은 증명하기 쉬운데, 보조정리 61.2는 $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계가 아닌 성분에 속할 경우 $h$가 널호모토픽(nulhomotopic)임을 말해주기 때문이다. 반면에, 두 번째 추측은 놀랍게도 어렵다. 사실 이것은 꽤 깊은 결과이다. 우리는 이 절에서 그것을 증명한다.

늘 그렇듯이, 우리는 ${\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$를 $S^2$로 대체하고, $0$에 해당하는 점을 $p$, $\infty$에 해당하는 점을 $q$라고 하자. 그러면 우리의 추측은 다음과 같이 재구성될 수 있다: 만약 $C$가 $S^2$에 있는 단순 닫힌 곡선이고, $p$와 $q$가 $S^2-C$의 서로 다른 성분에 속한다면, 포함사상(inclusion mapping) $j:C\to S^2-p-q$는 기본군의 동형사상을 유도한다. 이것이 우리가 증명할 내용이다.

먼저, 단순 닫힌 곡선 $C$가 네 개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프(complete graph)에 포함되는 경우에 대해 우리의 결과를 증명한다. 그런 다음 일반적인 경우를 증명한다.

보조정리 65.1

$G$를 네 개의 꼭짓점 $a_1,\dots ,a_4$를 갖는 $S^2$의 부분공간인 완전 그래프라고 하자. $C$를 단순 닫힌 곡선인 부분 그래프 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_1$이라고 하자. $p$와 $q$를 각각 변 $a_1{a}_3$과 $a_2{a}_4$의 내점이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다: (a) 점 $p$와 $q$는 $S^2-C$의 서로 다른 성분에 속한다. (b) 포함사상 $j:C\to S^2-p-q$는 기본군의 동형사상을 유도한다.

증명

(a) 보조정리 64.3의 증명에서와 같이, 세타 공간 $C\cup a_1{a}_3$은 $S^2$를 세 성분 $U,V,W$로 분리한다. 이 중 하나, 예를 들어 $W$는 $C$를 경계로 가지며, $a_2$와 $a_4$를 모두 포함하는 유일한 성분이다. 따라서 $a_2{a}_4-a_2-a_4$는 $W$에 있어야 하므로, 특히 $q$는 $W$에 속한다. 물론 $p$는 세타 공간 $C\cup a_1{a}_3$에 속하므로 $W$에 있지 않다. 이제 보조정리 64.1은 $W$가 $S^2-C$의 성분 중 하나임을 말해주므로, $p$와 $q$는 $S^2-C$의 서로 다른 성분에 속한다.

(b) $X=S^2-p-q$라고 하자. 증명의 아이디어는 다음과 같다: 우리는 변 $a_1{a}_2$의 내점 $x$와 변 $a_3{a}_4$의 내점 $y$를 선택한다. 그리고 꺾인 선 경로(broken-line path) $\alpha$와 $\beta$를 다음과 같이 정의한다.

$$\alpha =x{a}_1{a}_{4}y\text{그리고}\beta =y{a}_3{a}_{2}x.$$

그러면 $\alpha \ast \beta$는 단순 닫힌 곡선 $C$에 놓여 있는 루프이다. 우리는 $\alpha \ast \beta$가 $X$의 기본군의 생성원을 나타낸다는 것을 증명할 것이다. 이로부터 준동형사상 $j_{\ast }:{\pi }_1(C,x)\to {\pi }_1(X,x)$가 전사(surjective)임이 따르므로, $j_{\ast }$는 동형사상이어야 한다(관련된 군들이 무한 순환군이므로). 그림 65.3을 보라.

$D_1$과 $D_2$를 다음과 같은 호(arc)라고 하자.

$$D_1=p{a}_3{a}_{2}q\text{그리고}{D}_2=q{a}_4{a}_{1}p,$$

그리고 $U=S^2-D_1$과 $V=S^2-D_2$라고 하자. 그림 65.4를 보라. 그러면 $X=U\cup V$이고, $U\cap V$는 $D$가 단순 닫힌 곡선 $D=D_1\cup D_2$인 $S^2-D$와 같다. 따라서 조르당 곡선 정리에 의해 $U\cap V$는 두 개의 성분을 가진다. 더욱이, $D$가 단순 닫힌 곡선 $a_1{a}_3{a}_2{a}_4{a}_1$과 같으므로, (a)의 결과는 그래프 $G$의 다른 두 변의 내점에 있는 점 $x$와 $y$가 $S^2-D$의 서로 다른 성분에 놓여 있음을 의미한다.

따라서 정리 63.1의 가정이 만족된다. 경로 $\alpha$는 $U$에서 $x$에서 $y$로 가는 경로이고, $\beta$는 $V$에서 $y$에서 $x$로 가는 경로이다. $X$의 기본군이 무한 순환군이므로, 루프 $\alpha \ast \beta$는 이 군의 생성원을 나타낸다.

이제 우리의 주된 정리를 증명한다.

정리 65.2

$C$를 $S^2$에 있는 단순 닫힌 곡선이라고 하자. $p$와 $q$가 $S^2-C$의 서로 다른 성분에 속한다고 하자. 그러면 포함사상 $j:C\to S^2-p-q$는 기본군의 동형사상을 유도한다.

증명

증명은 $C$를 부분 그래프로 포함하는 네 꼭짓점의 완전 그래프를 구성하는 것을 포함한다.

1단계. ${\mathbb{R}}^2$의 세 개의 서로 다른 점 $a,b,c$를 생각하자. 만약 $A$가 끝점 $a$와 $b$를 갖는 호이고, $B$가 끝점 $b$와 $c$를 갖는 호라면, $A\cup B$에 포함된 끝점 $a$와 $c$를 갖는 호가 존재한다.

$a$에서 $b$로 가는 경로 $f:I\to A$와 $b$에서 $c$로 가는 경로 $g:I\to B$를 위상동형사상이 되도록 선택하자. $f(t_0)\in B$가 되는 가장 작은 $I$의 점을 $t_0$이라고 하고, $g(t_1)=f(t_0)$이 되는 $I$의 점을 $t_1$이라고 하자. 그러면 집합 $f([0,t_0])\cup g([t_1,1])$이 원하는 호이다. ($t_0=0$이거나 $t_1=1$이면, 이 집합들 중 하나는 한 점으로 구성된다.) 그림 65.5를 보라.

2단계. 만약 $U$가 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합이라면, $U$에서 경로로 연결될 수 있는 임의의 두 점은 $U$에 놓여 있는 호의 끝점이 됨을 보인다. $x,y\in U$ 에 대해, $x=y$이거나 $U$에 끝점 $x,y$를 갖는 호가 존재하면 $x\sim y$라고 하자. 1단계의 결과는 이것이 동치 관계임을 보여준다. 동치류들은 열려 있는데, 만약 $x$의 $ϵ$-근방이 $U$에 포함되면, 그것은 $x$와 동치인 점들로 구성되기 때문이다. $U$가 연결 공간이므로, 이러한 동치류는 단 하나만 존재한다.

3단계. $C$를 ${\mathbb{R}}^2$에 있는 단순 닫힌 곡선이라고 하자. 우리는 $C$가 부분 그래프 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_1$과 같도록 하는, 네 개의 꼭짓점 $a_1,\dots ,a_4$를 갖는 ${\mathbb{R}}^2$의 부분공간 $G$인 완전 그래프를 구성한다.

편의를 위해, $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계 성분에 속한다고 가정하자. ${\mathbb{R}}^2$의 $x$-축 $\mathbb{R}\times 0$을 생각하자. $a_1$을 $C$에 놓여 있는 음의 $x$-축 위의 가장 큰 점으로 하고, $a_3$을 양의 $x$-축 위의 가장 작은 점으로 하자. 그러면 선분 $a_1{a}_3$은 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계 성분의 폐포에 놓여 있다.

$C$를 끝점 $a_1,a_3$를 갖는 두 호 $C_1,C_2$의 합집합으로 쓰자. $a$를 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계가 아닌 성분의 한 점이라고 하자. $C_1$과 $C_2$는 ${\mathbb{R}}^2$를 분리하지 않으므로, $a$에서 $0$으로 가는 경로 $\alpha :I\to {\mathbb{R}}^2-C_1$과 $\beta :I\to {\mathbb{R}}^2-C_2$를 선택할 수 있다. 2단계에 비추어, 우리는 $\alpha$와 $\beta$가 단사라고 가정할 수 있다.

$\alpha (t_0)\in C$가 되는 가장 작은 수를 $t_0$이라고 할 때, $a_2=\alpha (t_0)$이라고 하자. 그러면 $a_2$는 $C_2$의 내점이다. 비슷하게, $\beta (t_1)\in C$가 되는 가장 작은 수를 $t_1$이라고 할 때, $a_4=\beta (t_1)$이라고 하자. 그러면 $a_4$는 $C_1$의 내점이다. 그러면 $\alpha ([0,t_0])$과 $\beta ([0,t_1])$은 각각 $a$와 $a_2$, $a_4$를 잇는 호이다. 2단계에 의해, 그들의 합집합은 끝점 $a_2,a_4$를 갖는 호를 포함하며, 이 호는 이 두 점에서만 $C$와 교차한다. 이 호는 선분 $a_1{a}_3$ 및 곡선 $C$와 함께 원하는 그래프를 형성한다. 그림 65.6을 보라.

4단계. 3단계의 결과와 이전 보조정리로부터, $S^2-C$의 서로 다른 성분에 놓인 어떤 점 쌍 $p,q$에 대해, 포함사상 $j:C\to S^2-p-q$가 기본군의 동형사상을 유도함이 따른다. 증명을 완성하기 위해서는, $S^2-C$의 서로 다른 성분에 놓인 임의의 점 쌍 $p,q$에 대해서도 동일한 결과가 성립함을 보이면 된다. 이를 위해서는 다음을 증명하는 것으로 충분하다:

$D$를 ${\mathbb{R}}^2$의 단순 닫힌 곡선이라 하고, $0$이 ${\mathbb{R}}^2-D$의 유계 성분에 속한다고 가정하자. $p$를 이 성분의 다른 점이라고 하자. 만약 포함사상 $j:D\to {\mathbb{R}}^2-0$이 기본군의 동형사상을 유도한다면, 포함사상 $k:D\to {\mathbb{R}}^2-p$도 마찬가지이다.

위상동형사상 $f:{\mathbb{R}}^2-p\to {\mathbb{R}}^2-0$을 $f(x)=x-p$로 정의하자. 다음 사상이

$$D\stackrel{k}{\to }{\mathbb{R}}^2-p\stackrel{f}{\to }{\mathbb{R}}^2-0$$

기본군의 동형사상을 유도함을 보이면 충분하다. $\alpha$를 ${\mathbb{R}}^2-D$에서 $0$에서 $p$로 가는 경로라고 하고, $F:D\times I\to {\mathbb{R}}^2-0$을 $F(x,t)=x-\alpha (t)$로 정의하자. 그러면 $F$는 $j$와 $f\circ k$ 사이의 호모토피이다. $j$가 동형사상을 유도하므로, $f\circ k$도 동형사상을 유도한다. (따름정리 58.5 참조).

이 정리는 대수적 위상수학(algebraic topology)의 상당히 깊은 정리의 특수한 경우로, $S^{m+n+1}$의 두 서로소(disjoint) 부분공간(subspace)의 “연결수(linking number)“에 관한 것이다. 이 두 부분공간 중 하나는 $m$-구($m$-sphere)와 위상동형(homeomorphic)이고 다른 하나는 $n$-구($n$-sphere)와 위상동형이다. 이것은 알렉산더 쌍대성 정리(Alexander duality theorem)와 관련이 있다. ([Mu], p. 433 참조.) 우리 정리의 특수한 경우는 $S^2$ 안의 $0$-구($0$-sphere)(즉, 두 점 공간)와 $1$-구($1$-sphere)(즉, 단순 닫힌 곡선)의 경우이다.