58. Deformation Retracts and Homotopy Type

우리가 보았듯이, 공간 $X$의 기본군(fundamental group)에 대한 정보를 얻는 한 가지 방법은 $X$의 덮개 공간(covering spaces)을 연구하는 것이다. 또 다른 방법은 이 절에서 논의할 호모토피 유형(homotopy type)의 개념을 포함한다. 이는 공간의 기본군을 계산하는 문제를 다른 공간—가급적이면 더 친숙한 공간—의 기본군을 계산하는 문제로 환원하는 방법을 제공한다.

먼저 보조정리 하나를 살펴보자.

보조정리 58.1

연속사상 $h,k:(X,x_0)\to (Y,y_0)$가 주어졌다고 하자. 만약 $h$와 $k$가 호모토픽(homotopic)하고, $X$의 밑점(base point) $x_0$의 상이 호모토피가 진행되는 동안 $y_0$에 고정되어 있다면, 유도된 준동형사상(induced homomorphisms) $h_{\ast }$와 $k_{\ast }$는 같다.

증명

증명은 즉각적이다. 가정에 의해, $h$와 $k$ 사이의 호모토피 $H:X\times I\to Y$가 존재하여 모든 $t$에 대해 $H(x_0,t)=y_0$를 만족한다. $X$에서 $x_0$을 밑점으로 하는 루프(loop) $f$가 주어지면, 합성

$$I\times I\stackrel{f\times \text{id}}{\to }X\times I\stackrel{H}{\to }Y$$

는 $h\circ f$와 $k\circ f$ 사이의 호모토피이다. $f$가 $x_0$에서의 루프이고 $H$가 $x_0\times I$를 $y_0$으로 사상하므로, 이것은 경로 호모토피(path homotopy)이다.

이 보조정리를 사용하여, 이전에 증명했던 공간 ${\mathbb{R}}^2-0$에 대한 결과를 일반화하여, 포함사상(inclusion map) $j:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$에 의해 유도된 준동형사상이 단사일 뿐만 아니라 전사임도 보인다. 더 일반적으로 다음을 증명한다.

정리 58.2

포함사상 $j:S^n\to {\mathbb{R}}^{n+1}-0$는 기본군의 동형사상(isomorphism)을 유도한다.

증명

$X={\mathbb{R}}^{n+1}-0$이라 하고, $b_0=(1,0,\dots ,0)$이라 하자. 사상 $r:X\to S^n$을 $r(x)=x/\Vert x\Vert$로 정의하자. 그러면 $r\circ j$는 $S^n$의 항등사상(identity map)이므로, $r_{\ast }\circ j_{\ast }$는 ${\pi }_1(S^n,b_0)$의 항등 준동형사상(identity homomorphism)이다.

이제 $X$를 자신으로 사상하는 합성 $j\circ r$을 생각해보자.

$$X\stackrel{r}{\to }{S}^n\stackrel{j}{\to }X.$$

이 사상은 $X$의 항등사상은 아니지만, 항등사상과 호모토픽하다. 실제로, 다음으로 주어진 직선 호모토피(straight-line homotopy) $H:X\times I\to X$는

$$H(x,t)=(1-t)x+tx/\Vert x\Vert$$

$X$의 항등사상과 사상 $j\circ r$ 사이의 호모토피이다. $H(x,t)$는 결코 $0$이 될 수 없는데, 왜냐하면 $(1-t)+t/\Vert x\Vert$는 $1$과 $1/\Vert x\Vert$ 사이의 수이기 때문이다. 호모토피가 진행되는 동안 밑점 $b_0$는 고정되는데, 이는 $\Vert b_0\Vert =1$이기 때문이다. 앞선 보조정리에 의해, 준동형사상 $(j\circ r{)}_{\ast }=j_{\ast }\circ r_{\ast }$는 ${\pi }_1(X,b_0)$의 항등 준동형사상이다.

앞선 증명이 성공한 이유는 무엇이었을까? 대략적으로 말하면, ${\mathbb{R}}^{n+1}-0$의 항등사상을 ${\mathbb{R}}^{n+1}-0$ 전체를 $S^n$으로 축소시키는 사상으로 변형시키는 자연스러운 방법이 있었기 때문이다. 변형 $H$는 원점에서 시작하는 각 방사선(radial line)을 $S^n$과 교차하는 점으로 점차 축소시켰다. 이 변형 동안 $S^n$의 각 점은 고정되어 있었다.

그림은 $n=1$인 경우에 변형 $H$가 어떻게 ${\mathbb{R}}^2-0$ 안의 루프 $f$와 $S^1$ 안의 루프 $g=f/\Vert f\Vert$ 사이의 경로 호모토피 $H(f(s),t)$를 만드는지 보여준다.

이러한 설명은 동일한 절차가 적용되는 더 일반적인 상황을 공식화하도록 이끈다.

정의

$A$가 $X$의 부분공간(subspace)이라고 하자. $X$의 항등사상이 $X$의 모든 점을 $A$ 안으로 보내는 사상과 호모토픽하고, 이 호모토피가 진행되는 동안 $A$의 각 점이 고정되어 있을 때, $A$를 $X$의 변형 축소(deformation retract) 라고 한다. 이는 연속사상 $H:X\times I\to X$가 존재하여 모든 $x\in X$에 대해 $H(x,0)=x$이고 $H(x,1)\in A$이며, 모든 $a\in A$에 대해 $H(a,t)=a$임을 의미한다. 호모토피 $H$를 $X$를 $A$ 위로의 변형 축소(deformation retraction) 라고 한다. 방정식 $r(x)=H(x,1)$로 정의된 사상 $r:X\to A$는 $X$를 $A$ 위로의 축소(retraction)이며, $H$는 $X$의 항등사상과 사상 $j\circ r$ 사이의 호모토피이다. 여기서 $j:A\to X$는 포함사상이다.

앞선 정리의 증명은 즉시 다음을 증명하기 위해 일반화된다.

정리 58.3

$A$가 $X$의 변형 축소라 하고, $x_0\in A$라 하자. 그러면 포함사상

$$j:(A,x_0)\to (X,x_0)$$

는 기본군의 동형사상을 유도한다.

예제 1

$B$를 ${\mathbb{R}}^3$의 $z$-축이라고 하자. 공간 ${\mathbb{R}}^3-B$를 생각해보자. 이 공간은 구멍 뚫린 $xy$-평면 $({\mathbb{R}}^2-0)\times \{0\}$을 변형 축소로 가진다. 방정식

$$H(x,y,z,t)=(x,y,(1-t)z)$$

로 정의된 사상 $H$는 변형 축소이다. 이 사상은 $z$-축에 평행한 각 선을 그 선이 $xy$-평면과 교차하는 점으로 점차 축소시킨다. 우리는 공간 ${\mathbb{R}}^3-B$가 무한 순환 기본군(infinite cyclic fundamental group)을 가짐을 결론 내린다.

예제 2

두 점이 제거된 평면(doubly punctured plane) ${\mathbb{R}}^2-\{p\}-\{q\}$를 생각해보자. 우리는 이 공간이 “8자 모양” 공간을 변형 축소로 가짐을 주장한다. 방정식을 쓰는 대신, 변형 축소를 그림으로 나타내기만 하겠다.

예제 3

${\mathbb{R}}^2-\{p\}-\{q\}$의 또 다른 변형 축소는 “세타 공간(theta space)”

$$\theta =S^1\cup (\{0\}\times [-1,1])$$

이다. 관련된 사상을 그려보는 것은 여러분에게 맡긴다. 결과적으로, 8자 모양 공간과 세타 공간은 동형인 기본군을 가지지만, 어느 하나가 다른 하나의 변형 축소인 것은 아니다.

물론, 우리는 아직 8자 모양 공간의 기본군에 대해 아무것도 모른다. 하지만 곧 알게 될 것이다.

8자 모양 공간과 세타 공간의 예는 두 공간이 동형인 기본군을 가짐을 보이기 위해 하나가 다른 하나의 변형 축소와 동형임을 보이는 것보다 더 일반적인 방법이 있을 수 있다는 가능성을 시사한다. 이제 그러한 개념을 공식화한다.

정의

$f:X\to Y$와 $g:Y\to X$가 연속사상이라고 하자. 사상 $g\circ f:X\to X$가 $X$의 항등사상과 호모토픽하고, 사상 $f\circ g:Y\to Y$가 $Y$의 항등사상과 호모토픽하다고 하자. 그러면 사상 $f$와 $g$를 호모토피 동치(homotopy equivalences) 라고 하고, 각각을 다른 하나의 호모토피 역원(homotopy inverse) 이라고 한다.

$f:X\to Y$가 $X$와 $Y$의 호모토피 동치이고 $h:Y\to Z$가 $Y$와 $Z$의 호모토피 동치이면, $h\circ f:X\to Z$는 $X$와 $Z$의 호모토피 동치임을 보이는 것은 간단하다. 따라서 호모토피 동치 관계는 동치 관계이다. 호모토피 동치인 두 공간은 동일한 호모토피 유형(homotopy type) 을 가진다고 한다.

$A$가 $X$의 변형 축소이면, $A$는 $X$와 동일한 호모토피 유형을 가진다는 점에 주목하자. 포함사상 $j:A\to X$와 축소사상 $r:X\to A$를 생각하자. 그러면 합성 $r\circ j$는 $A$의 항등사상과 같고, 합성 $j\circ r$은 가정에 의해 $X$의 항등사상과 호모토픽하다(그리고 실제로 호모토피가 진행되는 동안 $A$의 각 점은 고정된다).

이제 우리는 동일한 호모토피 유형을 가지는 두 공간이 동형인 기본군을 가짐을 보인다. 이를 위해, $X$의 밑점이 호모토피 동안 고정되지 않을 때 $X$에서 $Y$로의 두 연속사상 사이의 호모토피가 있을 때 어떤 일이 일어나는지 연구할 필요가 있다.

보조정리 58.4

$h,k:X\to Y$가 연속사상이고, $h(x_0)=y_0$, $k(x_0)=y_1$이라고 하자. 만약 $h$와 $k$가 호모토픽하면, $y_0$에서 $y_1$으로 가는 경로 $\alpha$가 존재하여 $k_{\ast }=\hat{\alpha }\circ h_{\ast }$를 만족한다. 실제로, $H:X\times I\to Y$가 $h$와 $k$ 사이의 호모토피이면, $\alpha$는 경로 $\alpha (t)=H(x_0,t)$이다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
\pi_1(X, x_0) \arrow[r, "h_*"] \arrow[dr, "k_*"'] & \pi_1(Y, y_0) \arrow[d, "\hat{\alpha}"] \\
& \pi_1(Y, y_1)
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

증명

$f:I\to X$가 $x_0$을 밑점으로 하는 $X$ 안의 루프라고 하자. 우리는

$$k_{\ast }([f])=\hat{\alpha }(h_{\ast }([f]))$$

임을 보여야 한다. 이 방정식은 $[k\circ f]=[\bar{\alpha }]\ast [h\circ f]\ast [\alpha ]$를 의미하며, 이는

$$[\alpha ]\ast [k\circ f]=[h\circ f]\ast [\alpha ]$$

와 동치이다. 이것이 우리가 검증할 방정식이다.

시작하기 위해, 공간 $X\times I$ 안의 루프 $f_0$와 $f_1$을 방정식

$$f_0(s)=(f(s),0)\text{그리고}{f}_1(s)=(f(s),1)$$

로 정의하자. 또한 $X\times I$ 안의 경로 $c$를 방정식

$$c(t)=(x_0,t)$$

로 정의하자. 그러면 $H\circ f_0=h\circ f$이고 $H\circ f_1=k\circ f$이며, $H\circ c$는 경로 $\alpha$와 같다.

$F:I\times I\to X\times I$를 $F(s,t)=(f(s),t)$로 정의된 사상이라 하자. $I\times I$의 네 변을 따라가는 다음 경로들을 생각해보자.

$$\begin{array}{rl}{\beta }_0(s)& =(s,0)\text{그리고}{\beta }_1(s)=(s,1),\\ {\gamma }_0(t)& =(0,t)\text{그리고}{\gamma }_1(t)=(1,t).\end{array}$$

그러면 $F\circ {\beta }_0=f_0$이고 $F\circ {\beta }_1=f_1$이며, $F\circ {\gamma }_0=F\circ {\gamma }_1=c$이다.

꺾은선 경로(broken-line paths) ${\beta }_0\ast {\gamma }_1$과 ${\gamma }_0\ast {\beta }_1$은 $I\times I$에서 $(0,0)$에서 $(1,1)$로 가는 경로이다. $I\times I$는 볼록하므로(convex), 이들 사이에 경로 호모토피 $G$가 존재한다. 그러면 $F\circ G$는 $X\times I$에서 $f_0\ast c$와 $c\ast f_1$ 사이의 경로 호모토피이다. 그리고 $H\circ (F\circ G)$는 $Y$에서

$$(H\circ f_0)\ast (H\circ c)=(h\circ f)\ast \alpha \text{와}(H\circ c)\ast (H\circ f_1)=\alpha \ast (k\circ f)$$

사이의 경로 호모토피이며, 이것이 원하는 바이다.

따름정리 58.5

$h,k:X\to Y$가 호모토픽한 연속사상이고, $h(x_0)=y_0$, $k(x_0)=y_1$이라고 하자. 만약 $h_{\ast }$가 단사(injective), 전사(surjective), 또는 자명(trivial)하다면, $k_{\ast }$도 마찬가지이다.

따름정리 58.6

$h:X\to Y$라고 하자. 만약 $h$가 널호모토픽(nulhomotopic)하면, $h_{\ast }$는 자명한 준동형사상이다.

증명

상수사상(constant map)은 자명한 준동형사상을 유도한다.

정리 58.7

$f:X\to Y$가 연속사상이고, $f(x_0)=y_0$이라고 하자. 만약 $f$가 호모토피 동치이면,

$$f_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,y_0)$$

는 동형사상이다.

증명

$g:Y\to X$가 $f$의 호모토피 역원이라고 하자. 다음 사상들을 생각해보자.

$$(X,x_0)\stackrel{f}{\to }(Y,y_0)\stackrel{g}{\to }(X,x_1)\stackrel{f}{\to }(Y,y_1)$$

여기서 $x_1=g(y_0)$이고 $y_1=f(x_1)$이다. 우리는 해당하는 유도된 준동형사상들을 가진다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
\pi_1(X, x_0) \arrow[r, "(f_{x_0})_*"] & \pi_1(Y, y_0) \arrow[dl, "g_*", sloped] \\
\pi_1(X, x_1) \arrow[r, "(f_{x_1})_*"] & \pi_1(Y, y_1)
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

여기서 두 다른 밑점에 대한 $f$에 의해 유도된 준동형사상들을 구별해야 한다.

이제 $g\circ f:(X,x_0)\to (X,x_1)$은 가정에 의해 항등사상과 호모토픽하므로, $X$ 안에 경로 $\alpha$가 존재하여

$$(g\circ f{)}_{\ast }=\hat{\alpha }\circ (i_X{)}_{\ast }=\hat{\alpha }$$

를 만족한다. 따라서 $(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ (f_{x_0}{)}_{\ast }$는 동형사상이다.

유사하게, $f\circ g$가 항등사상 $i_Y$와 호모토픽하므로, 준동형사상 $(f\circ g{)}_{\ast }=(f_{x_1}{)}_{\ast }\circ g_{\ast }$는 동형사상이다.

첫 번째 사실은 $g_{\ast }$가 전사임을 암시하고, 두 번째 사실은 $g_{\ast }$가 단사임을 암시한다. 따라서 $g_{\ast }$는 동형사상이다. 첫 번째 방정식을 다시 한 번 적용하면,

$$(f_{x_0}{)}_{\ast }=(g_{\ast }{)}^{-1}\circ \hat{\alpha }$$

이므로, $(f_{x_0}{)}_{\ast }$도 동형사상이다.

$g$가 $f$의 호모토피 역원이라 할지라도, 준동형사상 $g_{\ast }$가 준동형사상 $(f_{x_0}{)}_{\ast }$의 역원은 아니라는 점에 유의하라.

호모토피 동치 관계는 명백히 변형 축소의 개념보다 더 일반적이다. 세타 공간과 8자 모양 공간은 둘 다 두 점이 제거된 평면의 변형 축소이다. 따라서, 이들은 두 점이 제거된 평면과 호모토피 동치이며, 결과적으로 서로 호모토피 동치이다. 그러나 어느 하나도 다른 하나의 변형 축소와 동형이 아니며, 실제로 어느 하나도 다른 하나에 부분집합으로 포함될 수조차 없다.

이 두 공간에서 발생하는 상황이 호모토피 동치에 관한 표준적인 상황이라는 것은 놀라운 사실이다. Martin Fuchs는 두 공간 $X$와 $Y$가 동일한 호모토피 유형을 가지는 것과, 이들이 단일 공간 $Z$의 변형 축소와 동형인 것이 필요충분조건임을 증명했다. 그 증명은 초등적인 도구만을 사용하지만 어렵다.