59. The Fundamental Group of Sⁿ

이제 이 장의 시작에서 언급했던 문제, 즉 구(sphere), 원환면(torus), 이중 원환면(double torus)이 위상적으로 구별되는 곡면임을 보이는 문제로 돌아가자. 먼저 구부터 시작하여, $n\ge 2$일 때 $S^n$이 단순연결(simply connected)임을 보일 것이다. 우리가 필요한 핵심적인 결과는 다음 정리에 나와 있다.

정리 59.1

$X=U\cup V$라 하자. 여기서 $U$와 $V$는 $X$의 열린 집합이다. $U\cap V$가 경로연결(path connected)이고, $x_0\in U\cap V$라 가정하자. $U$와 $V$를 각각 $X$로 포함시키는 함수(inclusion mapping)를 $i$와 $j$라 하자. 그러면 유도된 준동형사상(induced homomorphisms)

$$i_{\ast }:{\pi }_1(U,x_0)\to {\pi }_1(X,x_0)\text{and}{j}_{\ast }:{\pi }_1(V,x_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$$

의 상(image)은 ${\pi }_1(X,x_0)$를 생성한다.

증명

이 정리는 $x_0$를 시작점으로 하는 $X$ 안의 임의의 고리(loop) $f$가 $U$ 또는 $V$ 안에 있는 $x_0$를 시작점으로 하는 고리들인 $g_i$들의 곱 $(g_1\ast (g_2\ast (\cdots \ast g_n)))$ 형태와 경로 호모토픽(path homotopic)하다는 것을 말한다.

1단계. 단위 구간의 분할(subdivision) $a_0<a_1<\cdots <a_n$이 존재하여, 각 $i$에 대해 $f(a_i)\in U\cap V$이고 $f([a_{i-1},a_i])$가 $U$ 또는 $V$에 포함됨을 보이자.

먼저, 각 $i$에 대해 $f([b_{i-1},b_i])$가 $U$ 또는 $V$에 포함되도록 하는 $[0,1]$의 분할 $b_0,\dots ,b_m$을 선택한다. (르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)를 사용한다.) 만약 각 $i$에 대해 $f(b_i)$가 $U\cap V$에 속하면, 증명이 끝난다. 그렇지 않다면, $f(b_i)\notin U\cap V$인 첨수 $i$가 존재한다. 집합 $f([b_{i-1},b_i])$와 $f([b_i,b_{i+1}])$는 각각 $U$ 또는 $V$에 속한다. 만약 $f(b_i)\in U$이면, 이 두 집합은 모두 $U$에 속해야 한다. 그리고 $f(b_i)\in V$이면, 둘 다 $V$에 속해야 한다. 어느 경우든, $b_i$를 삭제하여 새로운 분할 $c_0,\dots ,c_{m-1}$을 얻을 수 있으며, 이 분할은 여전히 각 $i$에 대해 $f([c_{i-1},c_i])$가 $U$ 또는 $V$에 포함된다는 조건을 만족한다.

이 과정을 유한 번 반복하면 원하는 분할을 얻을 수 있다.

2단계. 정리를 증명하자. 주어진 $f$에 대해, 1단계에서 구성한 분할 $a_0,\dots ,a_n$을 잡자. $f_i$를 $[0,1]$을 $[a_{i-1},a_i]$로 보내는 양의 선형 함수(positive linear map)와 $f$의 합성으로 정의된 $X$ 안의 경로라 하자. 그러면 $f_i$는 $U$ 또는 $V$ 안에 있는 경로이고, 정리 51.3에 의해

$$[f]=[f_1]\ast [f_2]\ast \cdots \ast [f_n]$$

이다. 각 $i$에 대해, $U\cap V$에서 $x_0$로부터 $f(a_i)$로 가는 경로 ${\alpha }_i$를 선택하자. (여기서 $U\cap V$가 경로연결임을 사용한다.) $f(a_0)=f(a_n)=x_0$이므로, ${\alpha }_0$와 ${\alpha }_n$은 $x_0$에서의 상수 경로(constant path)로 선택할 수 있다.

이제 각 $i$에 대해

$$g_i=({\alpha }_{i-1}\ast f_i)\ast {\bar{\alpha }}_i$$

라 하자. 그러면 $g_i$는 $x_0$를 시작점으로 하는 $X$ 안의 고리이며, 그 상은 $U$ 또는 $V$ 안에 있다. 직접 계산하면

$$[g_1]\ast [g_2]\ast \cdots \ast [g_n]=[f_1]\ast [f_2]\ast \cdots \ast [f_n]$$

임을 알 수 있다.

앞의 정리는 위상수학에서 자이페르트-판 캄펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)라 불리는 유명한 정리의 특별한 경우이다. 이 정리는 $U\cap V$가 경로연결일 때, 공간 $X=U\cup V$의 기본군을 $U$와 $V$의 기본군으로 완전히 표현한다. 우리는 이 정리를 11장에서 공부할 것이다.

보조정리 59.2

$X=U\cup V$라 하자. 여기서 $U$와 $V$는 $X$의 열린 집합이고, $U\cap V$는 공집합이 아니고 경로연결이라 가정하자. 만약 $U$와 $V$가 단순연결이면, $X$도 단순연결이다.

정리 59.3

$n\ge 2$이면, $n$-구 $S^n$은 단순연결이다.

증명

$p=(0,\dots ,0,1)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$와 $q=(0,\dots ,0,-1)$를 각각 $S^n$의 “북극(north pole)“과 “남극(south pole)“이라 하자.

1단계. $n\ge 1$일 때, 구멍 뚫린 구(punctured sphere) $S^n-\{p\}$가 ${\mathbb{R}}^n$과 위상동형(homeomorphic)임을 보이자.

$f:(S^n-\{p\})\to {\mathbb{R}}^n$을 다음 방정식으로 정의하자.

$$f(x)=f(x_1,\dots ,x_{n+1})=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\dots ,x_n).$$

이 사상 $f$를 입체 사영(stereographic projection)이라 부른다. ($S^n-\{p\}$의 점 $x$와 북극 $p$를 지나는 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 안의 직선을 생각하면, 이 직선은 $n$-평면 ${\mathbb{R}}^n\times \{0\}\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$과 점 $f(x)\times \{0\}$에서 만난다.) $f$가 위상동형임은 사상 $g:{\mathbb{R}}^n\to (S^n-\{p\})$를

$$g(y)=g(y_1,\dots ,y_n)=(t(y)\cdot y_1,\dots ,t(y)\cdot y_n,1-t(y))$$

로 정의하고, 여기서 $t(y)=2/(1+\Vert y{\Vert }^2)$이며, $g$가 $f$의 오른쪽 및 왼쪽 역함수임을 보임으로써 확인할 수 있다.

반사 사상 $(x_1,\dots ,x_{n+1})\to (x_1,\dots ,x_n,-x_{n+1})$은 $S^n-\{p\}$와 $S^n-\{q\}$ 사이의 위상동형을 정의하므로, 후자 역시 ${\mathbb{R}}^n$과 위상동형이다.

2단계. 정리를 증명하자. $U=S^n-\{p\}$와 $V=S^n-\{q\}$를 $S^n$의 열린 집합이라 하자.

먼저 $n\ge 1$일 때, 구 $S^n$은 경로연결임을 주목하자. 이는 $U$와 $V$가 경로연결이고(${\mathbb{R}}^n$과 위상동형이므로) 공통으로 점 $(1,0,\dots ,0)$을 가지기 때문이다.

이제 $n\ge 2$일 때, 구 $S^n$이 단순연결임을 보이자. 공간 $U$와 $V$는 ${\mathbb{R}}^n$과 위상동형이므로 단순연결이다. 이들의 교집합은 $S^n-\{p\}-\{q\}$이며, 이는 입체 사영에 의해 ${\mathbb{R}}^n-\{0\}$과 위상동형이다. 후자의 공간은 경로연결인데, 왜냐하면 ${\mathbb{R}}^n-\{0\}$의 모든 점은 직선 경로로 $S^{n-1}$의 한 점과 연결될 수 있고, $n\ge 2$이면 $S^{n-1}$이 경로연결이기 때문이다. 그러면 앞의 보조정리가 적용된다.