필터 (FILTERS)

필터 (FILTERS)

집합 $X$ 위의 필터(filter) $F$는 다음 성질을 만족하는 $X$의 부분집합들의 모임이다.¹

$F_1$: $F$의 원소인 집합을 포함하는 $X$의 모든 부분집합은 $F$에 속한다.² $F_2$: $F$의 원소인 집합들의 모든 유한 교집합은 $F$에 속한다. $F_3$: 공집합은 $F$에 속하지 않는다.

필터 $F$를 갖는 집합 $X$는 $F$에 의해 필터화된 집합(a set filtered by F), 또는 간단히 필터화된 집합(a filtered set)이라고 불린다.

만약 $\mathcal{B}$가 공집합 $\varnothing$을 포함하지 않는 $X$의 부분집합들로 이루어진 공집합이 아닌 집합족일 때, $\mathcal{B}$의 어떤 원소를 포함하는 $X$의 모든 부분집합들의 모임이 필터 $F$가 될 필요충분조건은 $\mathcal{B}$에 속한 임의의 두 집합의 교집합이 $\mathcal{B}$에 속한 어떤 집합을 포함하는 것이다. 이러한 $\mathcal{B}$를 필터 $F$의 기저(base)라고 하며, $F$는 $\mathcal{B}$에 의해 생성된(generated) 필터라고 불린다. 이와 동등하게, 필터 $F$의 부분집합 $\mathcal{B}$가 $F$의 기저가 될 필요충분조건은 $F$의 모든 집합이 $\mathcal{B}$의 집합을 하나 포함하는 것이다. 두 필터 기저가 동일한 필터를 생성할 때, 그들은 동치(equivalent)라고 한다. 조건 $F_2$와 $F_3$은 집합족 $F$가 유한 교차성(finite intersection property)을 만족함을 의미한다. 즉, 이 집합족에 속한 임의의 유한 개의 집합들의 교집합은 공집합이 아니다. 역으로, 유한 교차성을 만족하는 어떤 집합족은 필터의 준기저(subbase)가 된다. 왜냐하면 그 집합족의 원소들의 모든 유한 교집합들의 모임은 필터 기저가 되기 때문이다.

만약 $F,F^{\prime }$가 같은 집합 $X$ 위의 두 필터일 때, $F^{\prime }$가 $F$보다 더 섬세하다(finer)고 하는 것은($F$가 $F^{\prime }$보다 더 성기다(coarser)고 하는 것은) $F\subset F^{\prime }$일 때이다. 만약 $F\ne F^{\prime }$이기도 하다면, $F^{\prime }$는 $F$보다 엄격하게 더 섬세하다(strictly finer)고 하거나, $F$는 $F^{\prime }$보다 엄격하게 더 성기다(strictly coarser)고 한다. 두 필터 중 하나가 다른 하나보다 더 섬세할 때, 이 두 필터는 비교 가능(comparable)하다고 한다. 기저 ${\mathcal{B}}^{\prime }$을 갖는 필터 $F^{\prime }$가 기저 $\mathcal{B}$를 갖는 필터 $F$보다 더 섬세할 필요충분조건은 $\mathcal{B}$의 모든 집합이 ${\mathcal{B}}^{\prime }$의 집합을 하나 포함하는 것이다.

$X$ 위의 필터 $F$가 $F$보다 엄격하게 더 섬세한 필터 $F^{\prime }$가 존재하지 않는 성질을 가질 때, 이 필터 $F$를 극대 필터(ultrafilter)라고 한다. 이와 동등하게, $F$가 극대 필터가 될 필요충분조건은 ==$A\cup B\in F$를 만족하는 $X$의 임의의 두 서로소 부분집합 $A,B$에 대해, $A\in F$이거나 또는 $B\in F$인 것이다.==³ 따라서 만약 $F$가 극대 필터이고 $E\subset X$이면, $E\in F$이거나 또는 $X-E\in F$이다. 더 나아가, 만약 $F$와 $F^{\prime }$가 서로 다른 극대 필터라면, $A\in F$이고 $A\notin F^{\prime }$인 집합 $A$가 존재한다; 그런데 그러면 $X-A\in F^{\prime }$이므로, 우리는 $A\in F$이고 $X-A\in F^{\prime }$임을 알 수 있다.⁴

한 점 $x$가 어떤 필터의 모든 집합에 포함될 때, 우리는 그것을 집적점(cluster point)이라고 부른다. 명백하게, 극대 필터는 최대 하나의 집적점만을 가질 수 있다. 집적점 $p$를 갖는 극대 필터는 그 점을 포함하는 모든 집합들의 모임이며, 이를 고정(fixed) 또는 주(principal) 극대 필터라고 부른다. 집적점이 없는 극대 필터는 자유(free) 또는 비주(nonprincipal) 극대 필터라고 불린다.

만약 $X$가 위상 공간일 때, $X$의 임의의 공집합이 아닌 부분집합 $A$의 모든 근방들의 집합 $N$을 $A$의 근방 필터(neighborhood filter)라고 한다. $F$를 $X$ 위의 임의의 필터라고 하자. 만약 $F$가 점 $x$의 근방 필터 $N$보다 더 섬세하다면, 점 $x\in X$를 $F$의 극한점(limit point)이라고 한다; 또한 $F$는 $x$로 수렴한다(converge)고도 한다. 점 $x$는 $X$ 위의 필터 기저 $\mathcal{B}$의 극한(limit)이라고 하며, $\mathcal{B}$를 기저로 하는 필터가 $x$로 수렴할 때 $\mathcal{B}$는 $x$로 수렴한다(converge)고 한다. 이와 동등하게, 위상 공간 $X$ 위의 필터 기저 $\mathcal{B}$가 $x$로 수렴한다고 할 필요충분조건은 $x$의 모든 근방이 $\mathcal{B}$의 집합을 하나 포함하는 것이다.

근방 필터 예시

위상 공간 $(X,\mathcal{T})$와 그 안의 한 점 $p\in X$가 주어졌다고 하자.

집합 $N\subseteq X$이 점 $p$의 근방(neighborhood)이라는 것은, $p\in U\subseteq N$을 만족하는 열린집합 $U\in \mathcal{T}$가 존재하는 것이다.

이때 점 $p$의 모든 근방들의 집합족을 ${\mathcal{N}}_p$라 표기하자.

$${\mathcal{N}}_p=\{N\subseteq X\mid N\text{is a neighborhood of }p\}$$

이 집합족 ${\mathcal{N}}_p$는 $X$ 위의 필터가 되며, 이를 점 $p$의 근방 필터(neighborhood filter)라 부른다.

1. ($F_1$) $N\in {\mathcal{N}}_p$이고 $N\subseteq M$이라 하자. $N\in {\mathcal{N}}_p$이므로 정의에 따라 $p\in U\subseteq N$인 열린집합 $U$가 존재한다. 가정에서 $N\subseteq M$이므로, $p\in U\subseteq M$이 성립한다. 따라서 $M$ 또한 $p$의 근방이므로 $M\in {\mathcal{N}}_p$이다.

2. ($F_2$) $N_1,N_2\in {\mathcal{N}}_p$이라 하자. 정의에 의해 $p\in U_1\subseteq N_1$인 열린집합 $U_1$과 $p\in U_2\subseteq N_2$인 열린집합 $U_2$가 존재한다. 위상의 공리에 의해 $U_1\cap U_2$ 또한 열린집합이며, $p\in U_1\cap U_2$이다. 또한 $U_1\cap U_2\subseteq N_1\cap N_2$이므로, $N_1\cap N_2$는 $p$의 근방이다. 따라서 $N_1\cap N_2\in {\mathcal{N}}_p$이다.

3. ($F_3$) 임의의 $N\in {\mathcal{N}}_p$에 대하여, 정의상 $p\in N$이므로 $N$은 공집합이 될 수 없다. 따라서 $\varnothing \notin {\mathcal{N}}_p$이다.

Principal(Fixed) Ultrafilter 예시

집적점(cluster point)을 갖는 극대 필터를 ‘주 극대 필터’라고 한다. 이와 같이 정의된 주 극대 필터는 그 집적점 $p$를 포함하는 모든 집합들의 모임이다. 즉, 주 극대 필터는 점 $p$에 의해 생성되는 필터라고 할 수 있다.

$${\mathcal{U}}_p=\{A\subseteq X\mid p\in A\}$$

Nonprincipal(Free) Ultrafilter 예시

집적점이 없는 극대 필터로, 무한집합에만 존재하며, 그 존재는 선택 공리에 의해 수학적으로 보장되지만, 우리가 그 원소를 하나하나 구체적으로 나열할 수는 없다.

Footnotes

1. 필터를 한마디로 정의하면 ‘큰 집합들의 모임’이라고 생각할 수 있다. 어떤 집합 $X$의 부분집합들 중에서 ‘충분히 크다’고 여겨지는 것들만 모아놓은 컬렉션이다. 다만, 아무렇게나 ‘크다’고 정하는 게 아니라, 일관성을 유지하기 위해 다음 세 가지 규칙을 반드시 지켜야한다. 어떤 집합 A가 ‘큰 집합’으로 인정받았다면, $A$를 포함하는 더 큰 집합 $B(A\subset B)$는 당연히 ‘큰 집합’ 모임에 속해야 한다. 큰 집합 $A,B$를 가져왔을 때, 둘의 공통 부분$A\cap B$도 여전히 ‘큰 집합’으로 인정되어야한다. 마지막으로 원소가 하나도 없는 공집합은 클 수 없다. ↩

2. 필터의 첫 번째 성질 $F_1$은 “어떤 집합 $A$가 필터 $F$에 속하면, $A$를 포함하는 모든 집합(초집합) $B$도 $F$에 속한다”는 것이다. ↩

3. $F$가 모든 부분집합에 대해 “가질 것인가, 버릴 것인가”의 양자택일을 강요한다. ↩

4. $A\in F$이면, $X-A\in F$이므로, 유한 교집합을 통해 $A\cap (X-A)=\varnothing \in F$이 성립한다. 이는 $F$가 필터라는 정의에 위배된다. 따라서 $A\in F$이면서 $X-A\notin F$인 집합 $A$가 존재한다. 이와 유사하게, $X-A\in F^{\prime }$이면서 $A\notin F^{\prime }$인 집합 $A$도 존재한다. 따라서 두 극대 필터는 서로 다른 집합을 포함한다. ↩