포화 집합(Saturated Set)

포화 집합(Saturated Set)

전사함수 $p:X\to Y$에 대해, 부분집합 $C\subseteq X$가 포화(saturated)되었다는 것은:

$C$가 만나는 모든 동치류(=역상 $p^{-1}(\{y\})$)를 통째로 포함하고 있다는 뜻입니다.

즉, 다음을 만족합니다:

$$\forall y\in Y,\left[p^{-1}(\{y\})\cap C\ne \varnothing \Rightarrow p^{-1}(\{y\})\subseteq C\right]$$

다르게 말하면, $C$는 어떤 $B\subseteq Y$의 완전한 역상으로 쓸 수 있어야 합니다.

$$C=p^{-1}(B)\text{for some }B\subseteq Y$$

이를 달리 말하면 $C$는 자신이 만나는 모든 동치류 $p^{-1}(\{y\})$를 통째로 포함해야 합니다.

예시

• $X=\mathbb{R}$
• $Y=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (즉, 실수를 정수 차이로 식별한 몫공간)
• 사상 $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, $p(x)=x\mathrm{mod}\mathbb{Z}$

이때, $x\sim y⟺x-y\in \mathbb{Z}$, 즉 $x$와 $y$가 정수만큼 차이 나면 같은 동치류입니다.
각 동치류는 다음처럼 생겼습니다:

$$p^{-1}(\{[x]\})=\{x+n\mid n\in \mathbb{Z}\}$$ $$C=\bigcup _{r\in [0,0.5)}\{r+n\mid n\in \mathbb{Z}\}$$

즉, $[0,0.5)$ 구간 안의 모든 수에 대해, 정수만큼 이동한 점들을 다 모읍니다. 이건 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$C=p^{-1}([0,0.5))\Rightarrow \text{포화}$$

이 집합은 어떤 동치류를 만나면 그 전체를 포함하므로 포화입니다.