나가타-스미르노프 거리화 정리(Nagata-Smirnov metrization theorem)

나가타-스미르노프 거리화 정리(Nagata-Smirnov metrization theorem)

나가타-스미르노프 거리화 정리는 위상공간이 거리화 가능(Metrizable)하기 위한 필요충분조건으로, 정칙공간(Regular space)과 국소 유한 기저(Locally finite basis)의 존재를 제시합니다.

나가타-스미르노프 거리화 정리의 증명은 다음과 같이 네 단계로 세분화할 수 있습니다.

• 첫 번째 단계에서는 정칙공간(Regular space) $X$가 국소 유한 기저(Locally finite basis) $\mathcal{B}$를 가진다고 가정합니다.
• 두 번째 단계에서는 $\mathcal{B}$의 각 원소 $B$에 대해 닫힌집합(Closed set) $F_B$와 열린집합(Open set) $U_B$를 적절히 선택하여 $F_B\subset B\subset U_B$가 되도록 하고, Urysohn의 보조정리(Urysohn’s lemma)를 이용해 $X$에서 $F_B$와 $X\setminus U_B$를 구분하는 연속함수 $f_B:X\to [0,1]$를 정의합니다.
• 세 번째 단계에서는 이 함수들의 집합 $\{f_B{\}}_{B\in \mathcal{B}}$를 이용하여 $X$ 위에 거리함수(Metric) $d(x,y)={\sum }_{B\in \mathcal{B}}{2}^{-n(B)}|f_B(x)-f_B(y)|$를 정의합니다. 여기서 $n(B)$는 $\mathcal{B}$의 원소에 일대일로 대응되는 자연수입니다.
• 네 번째 단계에서는 이 거리함수 $d$가 $X$의 원래 위상과 일치함을 보임으로써, $X$가 거리화 가능함을 증명합니다.

$G_{\delta }$

$G_{\delta }$ 집합은 가산개의 닫힌집합의 교집합으로 정의됩니다. 여기서 $G$ 는 독일어 “Gebiet”(영역, open set)을, $\delta$는 그리스 문자로 “Durchschnitt”(교집합, intersection)을 의미합니다.

$G_{\delta }$ 집합의 예

First countable(제1가산공간)이고 Hausdorff(하우스도르프)인 위상공간 $X$에서 임의의 한 점 집합 $\{x\}$이 $G_{\delta }$ 집합이 됩니다.

실수 전체 집합 $\mathbb{R}$에서 열린구간 $(-1/n,1/n)$의 무한 교집합을 생각해봅니다.

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$$

각 $n$에 대해 $(-1/n,1/n)$은 0을 중심으로 한 점점 더 좁아지는 열린구간입니다. $n$이 커질수록 구간의 길이는 $2/n$으로 점점 작아집니다. 임의의 $x\ne 0$에 대해, $|x|>0$이므로, 충분히 큰 $n$에 대해 $1/n<|x|$가 됩니다. 이때 $x\notin (-1/n,1/n)$이므로, $x$는 교집합에 포함되지 않습니다. 오직 $x=0$만이 모든 $n$에 대해 $0\in (-1/n,1/n)$을 만족합니다.

따라서

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\{0\}$$

입니다. 즉, 이 교집합은 공집합이 아니고, 오직 0만을 포함하는 한 점 집합입니다.