행렬이 가환(Commutativity)이기 위한 충분조건

행렬의 가환

대각화 가능(diagonalizable)한 두 행렬 $A$와 $B$에 대해, 다음 두 조건이 동치(equivalent)이다.

1. $A$와 $B$가 가환(commute), 즉 $AB=BA$
2. $A$와 $B$가 동시에 대각화 가능(simultaneously diagonalizable)

즉, $A$와 $B$가 대각화 가능하다고 가정하면, $AB=BA$일 필요충분 조건은 $A$와 $B$가 동시에 대각화 가능하다는 것이다.

필요조건(⇒) $A$와 $B$가 동시에 대각화 가능하면 $AB=BA$

$A$와 $B$가 동시에 대각화 가능하다는 것은, 어떤 가역 행렬 $P$가 존재하여 $P^{-1}AP$와 $P^{-1}BP$가 모두 대각 행렬이 된다는 것이다.

$$P^{-1}AP=D_A,P^{-1}BP=D_B$$

여기서 $D_A$와 $D_B$는 각각 $A$와 $B$의 대각 행렬이다.

$$\begin{array}{r}{P}^{-1}ABP=(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=D_A{D}_B\\ P^{-1}BAP=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)=D_B{D}_A\end{array}$$

• 대각 행렬 $D_A$와 $D_B$는 서로 가환(즉, $D_A{D}_B=D_B{D}_A$) 이므로,

$$P^{-1}ABP=P^{-1}BAP$$

$P$가 가역이므로, 양변에 $P$를 곱하면,

$$AB=BA$$

즉, 동시에 대각화 가능하면 $AB=BA$가 성립한다.

충분조건(⇐) $AB=BA$이면 $A$와 $B$가 동시에 대각화 가능

$A$와 $B$가 대각화 가능하므로, 두 행렬의 각각의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재한다. $A$의 고유벡터들을 살펴보자.

$$A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$$

$AB=BA$이므로, $A$의 고유벡터 $v_i$에 $B$를 작용하면,

$$A(B{v}_i)=B(A{v}_i)=B({\lambda }_i{v}_i)={\lambda }_i(B{v}_i)$$

$B{v}_i$도 $A$에 대한 고유공간 안에 포함된다. 만약 $A$의 각 고유값에 대해 1차 독립인 고유벡터들이 존재한다면, $B$는 이 기저에 대해 삼각 행렬(triangular form)로 표현될 수 있다. $B$가 대각화 가능하므로, $B$도 어떤 기저에서 대각 행렬로 표현된다. 그런데, 이미 $A$의 고유벡터들이 $B$에 대해서도 불변이라는 사실을 알았다. 그러므로, $A$와 $B$는 공통된 기저에서 동시에 대각화 가능하다.

아이디어

고유공간(Eigenspace)

행렬 $A$가 주어졌을 때, 고유공간(eigenspace)$E_{\lambda }$은 고윳값 $\lambda$에 대응하는 모든 고유벡터들로 이루어진 부분공간이다. 즉, 고유공간 $E_{\lambda }$는 다음을 만족하는 모든 벡터들의 집합이다.

$$E_{\lambda }=\{v\in {\mathbb{R}}^n\mid Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)$$

고유공간은 원점을 포함하는 선형 부분공간(subspace)이다. 즉, 고유벡터뿐만 아니라 고유벡터의 모든 선형 조합도 고유공간에 속한다.

불변 부분공간(Invariant Subspace)

선형 연산자 $T$가 벡터 공간 $V$의 부분공간 $W$에 대해 다음을 만족하면, $W$를 $T$-불변(invariant under $T$)이라고 한다.

$$T(W)\subseteq W$$

즉, $W$의 임의의 벡터 $v$에 대해, $T(v)$도 여전히 $W$안에 있어야 한다.

동시 대각화의 의미

따라서, $A,B$가 동시에 대각화 가능하다는 것은, $A$의 모든 고유공간이 $B$에 대해 불변(invariant)하다는 것을 의미한다.