행렬로 정의하는 대칭과 사영

직선 $y=mx$에 대한 대칭 변환과 사영 변환을 찾고자 합니다. 일반적인 표준기저에서 해당 식을 찾는 과정은 복잡하므로, 새로운 기저를 이용해 다시 표준변환하는 과정을 설명해보겠습니다.

개념정리

$T$를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 연산자라고 하고, $\beta$와 ${\beta }^{\prime }$를 $V$의 순서 있는 기저라고 하자. $Q$를 ${\beta }^{\prime }$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 기저 변환 행렬이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

$$[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_{\beta }Q$$

$T$의 표준기저 표현을 찾는 것은 어려우므로, 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$를 선택하여 $T$를 표현하고자 합니다.

새로운 기저의 구성

대칭 변환을 쉽게 표현하기 위해, 직선 $y=mx$에 평행한 벡터와 수직인 벡터를 새로운 기저로 선택합니다. 왜냐하면 평행한 방향의 벡터는 그대로 유지하고, 수직한 벡터는 방향이 반전되기 때문입니다.

1. 평행한 벡터: $(1,m)$ 직선의 방향 벡터로, 기울기 $m$을 가진 직선과 평행합니다.
2. 수직인 벡터: $(-m,1)$ 평행한 벡터와 수직을 이루는 벡터입니다. $(1,m)\cdot (-m,1)=-m+m=0$

이렇게 구성된 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$는 다음과 같습니다. ${\beta }^{\prime }=\{(1,m),(-m,1)\}$

대칭 변환 행렬 계산

대칭 변환 $T$ 가 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$에서 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

$$\begin{array}{rl}T(1,m)& =1(1,m)+0(-m,1)=(1,m)\\ T(-m,1)& =0(1,m)+1(-m,1)=(-m,1)\end{array}$$

$T$는 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$에서 대칭축과 평행한 벡터는 유지하고, 수직한 벡터의 방향을 바꾸는 방식으로 동작합니다. 따라서 $T$의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

이제, $[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_{\beta }Q$ 관계식을 이용하면, $[T{]}_{\beta }=Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}{Q}^{-1}$를 구할 수 있습니다.

기저 변환 행렬 $Q$

기저 변환 행렬 $Q$는 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$를 기존 표준 기저 $\beta$로 나타내는 역할을 합니다.

1. 좌표 변환을 이용한 $Q$ 계산

$$Q=[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }$$

• $(1,m)$의 표준 기저 표현

$$I_V(1,m)=1(1,0)+m(0,1)=\left[\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right]$$

• $(-m,1)$의 표준 기저 표현

$$I_V(-m,1)=-m(1,0)+1(0,1)=\left[\begin{array}{c}-m\\ 1\end{array}\right]$$

따라서 $Q$는 다음과 같습니다.

$$Q=\left[\begin{array}{cc}1& -m\\ m& 1\end{array}\right]$$

2. $Q^{-1}$ 계산

$Q$의 역행렬을 계산하여 $Q^{-1}$를 구하면 다음과 같습니다.

$$Q^{-1}=\frac{1}{\det (Q)}\mathrm{adj}(Q)=\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1& m\\ -m& 1\end{array}\right]$$

대칭 변환 행렬 $[T{]}_{\beta }$ 계산

마지막으로 $[T{]}_{\beta }=Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}{Q}^{-1}$ 관계식을 이용하여 대칭 변환 행렬 $[T{]}_{\beta }$를 계산합니다.

$$\begin{array}{rl}[T{]}_{\beta }& =Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}{Q}^{-1}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}1& -m\\ m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1& m\\ -m& 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right]\end{array}$$

행렬 $[T{]}_{\beta }$를 사용하여 선형 변환 $T(x,y)$를 정의합니다.

$$\begin{array}{rl}T(x,y)& =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & \\ & =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{c}(1-m^2)x+2my\\ 2mx+(m^2-1)y\end{array}\right]\end{array}$$

따라서, $T(x,y)$는 다음과 같습니다.

$$T(x,y)=\left(\frac{x-m^{2}x+2my}{1+m^2},\frac{2mx+m^{2}y-y}{1+m^2}\right)$$

사영 변환 행렬 계산

사영 변환 $T$ 가 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$에서 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

$$\begin{array}{rl}T(1,m)& =1(1,m)+0(-m,1)=(1,m)\\ T(-m,1)& =0(1,m)+0(-m,1)=(0,0)\end{array}$$

$T$는 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$에서 사영축과 평행한 벡터는 유지하고, 수직한 벡터는 한 점으로 수렴($\vec{0}$)하는 방식으로 동작합니다. 따라서 $T$의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

사영 변환 행렬 $[T{]}_{\beta }$ 계산

$[T{]}_{\beta }=Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}{Q}^{-1}$ 관계식을 이용하여 사영 변환 행렬 $[T{]}_{\beta }$를 계산합니다.

$$\begin{array}{rl}[T{]}_{\beta }& =Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}{Q}^{-1}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}1& -m\\ m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1& m\\ -m& 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1& m\\ m& m^2\end{array}\right]\end{array}$$

행렬 $[T{]}_{\beta }$를 사용하여 선형 변환 $T(x,y)$를 정의합니다.

$$\begin{array}{rl}T(x,y)& =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{cc}1& m\\ m& m^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{1+m^2}\left[\begin{array}{c}x+my\\ mx+m^{2}y\end{array}\right]\end{array}$$

따라서, $T(x,y)$는 다음과 같습니다.

$$T(x,y)=\left(\frac{x+my}{1+m^2},\frac{mx+m^{2}y}{1+m^2}\right)$$