케일리 해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)

$T$ 를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환이라 하자. 또한, $f (t)$ 를 $T$ 의 특성 다항식이라 하자. 그러면

f (T) = T_{0}

즉, $T$ 는 자신의 특성 방정식을 만족한다.

$T$ -순환 부분공간 (T-cyclic subspace)

$T$ 를 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환이라 하고, $x$ 를 $V$ 의 0이 아닌 벡터라고 하자. 이때, 부분공간

W = span ({x, T (x), T^{2} (x), \dots})

를 $x$ 에 의해 생성된 $V$ 의 $T$ -순환 부분공간이라고 한다. $W$ 는 $x$ 를 포함하는 $V$ 의 가장 작은 $T$ -불변 부분공간이다. 즉, $x$ 를 포함하는 모든 $T$ -불변 부분공간은 반드시 $W$ 를 포함해야 한다.

$T_{W}$ 의 특성 다항식은 $T$ 의 특성 다항식을 나눈다.

$W$ 가 $V$ 의 $T$ -불변 부분공간이면, $T_{W}$ 의 특성 다항식은 $T$ 의 특성 다항식을 나눈다. $W$ 에 대한 순서 있는 기저를 $γ = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}}$ 라 하고, 이를 확장하여 $V$ 에 대한 순서 있는 기저 $β = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}}$ 를 정의하자. 이때,

A = [T]_{β}, B_{1} = [T_{W}]_{γ}

라고 하면,

A = (B_{1} O B_{2} B_{3})

의 형태로 쓸 수 있다.

$T$ 의 특성 다항식을 $f (t)$ , $T_{W}$ 의 특성 다항식을 $g (t)$ 라 하자. 그러면

f (t) = det (A - t I_{n}) = det (B_{1} - t I_{k} O B_{2} B_{3} - t I_{n - k}) = g (t) \cdot det (B_{3} - t I_{n - k})

이다. 따라서 $g (t)$ 는 $f (t)$ 를 나눈다.

$T_{W}$ 의 특성다항식

만약

a_{0} v + a_{1} T (v) + \dots + a_{k - 1} T^{k - 1} (v) + T^{k} (v) = 0

을 만족하는 스칼라 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k - 1}$ 가 존재한다면, $T_{W}$ 의 특성 다항식은

f (t) = (- 1)^{k} (a_{0} + a_{1} t + \dots + a_{k - 1} t^{k - 1} + t^{k})

이다.

$dim W = k$ 일 때, $β = {v, T (v), \dots, T^{k - 1} (v)}$ 를 $W$ 의 순서 기저라 하자.

스칼라 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k - 1}$ 가 존재하여

a_{0} v + a_{1} T (v) + \dots + a_{k - 1} T^{k - 1} (v) + T^{k} (v) = 0

이 성립한다고 하자. 이때,

[T_{W}]_{β} = 010 ⋮ 0 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 000 ⋮ 1 - a_{0} - a_{1} - a_{2} ⋮ - a_{k - 1}

이다. 이 행렬의 특성 다항식은

f (t) = (- 1)^{k} (a_{0} + a_{1} t + \dots + a_{k - 1} t^{k - 1} + t^{k})

이다.

케일리 해밀턴 정리 증명

$f (T) (v) = 0$ 임을 모든 $v \in V$ 에 대해 보인다. $v = 0$ 일 경우 자명하므로, $v \neq = 0$ 인 경우를 가정하자. $v$ 에 의해 생성되는 $T$ -순환 부분공간 $W$ 를 고려하자.

$dim (W) = k$ 라 하면, $T^{k} (v) \in W$ 이므로, 스칼라 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k - 1}$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

a_{0} v + a_{1} T (v) + \dots + a_{k - 1} T^{k - 1} (v) + T^{k} (v) = 0

따라서 $T_{W}$ 의 특성 다항식 $g (t)$ 는 다음과 같다.

g (t) = (- 1)^{k} (a_{0} + a_{1} t + \dots + a_{k - 1} t^{k - 1} + t^{k})

위 식에서 $T$ 를 적용하면,

g (T) (v) = (- 1)^{k} (a_{0} I + a_{1} T + \dots + a_{k - 1} T^{k - 1} + T^{k}) (v) = 0

이다.

불변 부분공간의 특성 다항식 $g (t)$ 는 특성 다항식 $f (t)$ 를 나누므로, 어떤 다항식 $q (t)$ 가 존재하여

f (t) = q (t) g (t)

이다.

f (T) (v) = q (T) g (T) (v) = q (T) (0) = 0

따라서 $f (T) = 0$ 이 성립한다.

행렬로 표현한 케일리-해밀턴 정리

$n \times n$ 행렬 $A$ 와 $A$ 의 특성다항식 $f (t)$ 에 대하여,

f (A) = O

이다.

이차 정사각행렬에서의 케일리-해밀턴 정리

$2 \times 2$ 행렬 $A$ 를

A = (a c b d)

라 하자. 이때,

f (t) = det (A - t I) = det (a - t c b d - t) = (a - t) (d - t) - b c = t^{2} - (a + d) t + (a d - b c) = t^{2} - tr (A) t + det (A)

이므로, 케일리 해밀턴 정리에 의해

A^{2} - tr (A) A + det (A) I = O

이 성립한다.

Ray

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