최소 다항식(Minimal Polynomial)

선형대수에서 최소 다항식(Minimal Polynomial)은 주어진 행렬 $A$ 또는 선형 변환 $T$을 소거하는 최소 차수의 단위계수(Monic) 다항식이다. 특성 다항식(Characterstic Polynomial)과 밀접한 관계가 있지만, 서로 다르다.

특성 다항식 (Characteristic Polynomial)

어떤 정사각 행렬 $A$의 특성 다항식은 다음과 같이 정의된다.

$$p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$$

1. 항상 $n$차 다항식이다.
2. 행렬 $A$의 고유값(Eigenvalues)들이 근이 된다.
3. 모든 정사각 행렬에 대해 정의된다.

최소 다항식 (Minimal Polynomial)

정사각 행렬 $A$의 최소 다항식 $m_A(x)$는 다음을 만족하는 가장 낮은 차수의 단위계수 다항식이다.

$$m_A(A)=0$$

즉, $m_A(x)$는 $A$를 대입했을 때 영행렬이 되는 가장 차수가 낮은 다항식이다.

최소 다항식의 성질

1. $A$의 특성 다항식 $p_A(x)$의 약수

$$m_A(x)\mid p_A(x)$$

2. 단위계수 (Monic Polynomial)
   최소 다항식은 최고차항의 계수가 항상 $1$인 단위 다항식입니다.

3. 차수
   최소 다항식의 차수는 특성 다항식의 차수보다 작거나 같다.

$$\mathrm{deg}{m}_A(x)\le \mathrm{deg}{p}_A(x)$$

특히, 행렬이 대각화 가능할 경우 두 다항식의 차수가 같을 수 있다.

1. 고유값과 관계
   최소 다항식의 근은 $A$의 고유값을 포함하지만, 중근의 개수가 다를 수 있습니다.

2. 유일성 (Uniqueness)
   최소 다항식은 항상 유일합니다.

3. 최소 다항식의 계산 방법 (Methods to Find the Minimal Polynomial)

최소 다항식을 구하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

Cayley-Hamilton 정리 이용

Cayley-Hamilton 정리에 따르면, 행렬 $A$는 자신의 특성 다항식을 만족합니다.

$$p_A(A)=0$$

즉, 특성 다항식을 이용하여 최소 다항식을 찾을 수 있다.

직접 계산

1. 행렬 $A$의 고유값을 찾음
   특성 방정식 $\det (A-\lambda I)=0$을 풀어 고유값 $\lambda$을 찾습니다.

2. 각 고유값의 최소 차수 다항식을 찾음
   행렬 $(A-\lambda I)$를 거듭제곱하여 가장 작은 거듭제곱이 영행렬이 되는 차수를 찾는다.

3. 모든 고유값에 대해 계산 후 최소 공배수(Lowest Common Multiple, LCM) 계산
   각 고유값에 대한 최소 다항식을 모두 곱하여 최소 공배수를 구하면 전체 최소 다항식이 된다.

최소 다항식의 응용 (Applications of Minimal Polynomial)

1. 행렬의 대각화 (Matrix Diagonalization)

   • 행렬이 대각화 가능한지 판별하는 데 사용된다.
   • 대각화 가능하면 최소 다항식은 중근을 갖지 않는다.

2. Jordan 표준형 (Jordan Canonical Form)

   • 최소 다항식을 이용하여 Jordan 표준형을 구할 수 있다.
   • 행렬이 대각화 가능하지 않다면, Jordan 블록을 결정하는 데 사용된다.

3. 멱등 행렬 및 멱등성 판별 (Idempotent Matrices)

   • 멱등 행렬(예: $A^2=A$)의 최소 다항식은 $x^2-x$ 형식을 갖는다.