유니타리 동치(unitary equivalence) 판별법

유니타리 동치(Unitarily Equivalent)의 정의

두 $n\times n$ 복소 행렬 $A$ 와 $B$ 가 유니타리 동치(unitarily equivalent) 라고 하면, 다음을 만족하는 유니타리 행렬 $P$ 가 존재해야 한다.

$$B=P^{\ast }AP$$

여기서 $P^{\ast }$ 는 $P$ 의 켤레전치(conjugate transpose)이며, 유니타리 행렬의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$P^{\ast }P=P{P}^{\ast }=I$$

즉, 유니타리 행렬은 정규직교 기저를 보존하는 성질을 가지며, 행렬의 크기를 변형시키지 않는다.

$\text{tr}(A^{\ast }A)=\text{tr}(B^{\ast }B)$

$$\begin{array}{rl}{B}^{\ast }B& =(P^{\ast }AP{)}^{\ast }(P^{\ast }AP)\\ & =P^{\ast }{A}^{\ast }(P^{\ast }P)AP\end{array}$$

유니타리 행렬 $P$ 는 유니타리 성질 $P{P}^{\ast }=I$ 을 만족하므로,

$$B^{\ast }B=P^{\ast }{A}^{\ast }AP$$

이제 트레이스의 기본 성질을 이용하면,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\text{tr}(P^{\ast }{A}^{\ast }AP)$$

트레이스의 순환 성질 $\text{tr}(XY)=\text{tr}(YX)$ 를 적용하면,

$$\begin{array}{rl}\text{tr}(P^{\ast }{A}^{\ast }AP)& =\text{tr}(A^{\ast }AP{P}^{\ast })\\ & =\text{tr}(A^{\ast }AI)\\ & =\text{tr}(A^{\ast }A)\end{array}$$

따라서,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\text{tr}(B^{\ast }B)$$

${\sum }_{i,j}|A_{ij}{|}^2={\sum }_{i,j}|B_{ij}{|}^2$

트레이스의 정의를 이용하면,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\sum _{k=1}^n(A^{\ast }A{)}_{kk}$$

행렬 성분을 전개하면,

$$(A^{\ast }A{)}_{kk}=\sum _{l=1}^n\overline{A_{lk}}{A}_{lk}$$

이를 다시 전체 트레이스로 합하면,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n\overline{A_{lk}}{A}_{lk}$$

복소수 성분의 제곱 절댓값을 이용하면,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n|A_{lk}{|}^2$$

행렬 성분의 순서를 변경하면,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|A_{ij}{|}^2$$

위에서 증명한 첫 번째 명제에 의해,

$$\text{tr}(A^{\ast }A)=\text{tr}(B^{\ast }B)$$

따라서 동일한 과정으로 $B$ 에 대해서도 적용하면,

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|A_{ij}{|}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|B_{ij}{|}^2$$

즉,

$$\sum _{i,j}|A_{ij}{|}^2=\sum _{i,j}|B_{ij}{|}^2$$

제곱합이 같지만 유니타리 동치가 아닌 행렬의 예시

다음 두 행렬을 고려하자.

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

1. 제곱합 계산
   행렬의 모든 원소의 절댓값 제곱을 더해보자.

$$\sum _{i,j}|A_{ij}{|}^2=1^2+0^2+0^2+1^2=2$$ $$\sum _{i,j}|B_{ij}{|}^2=0^2+1^2+1^2+0^2=2$$

즉, 두 행렬의 원소의 제곱합은 같다.

2. 유니타리 동치 여부 확인
   행렬이 유니타리 동치이려면, 반드시 같은 고윳값을 가져야 한다.

   • $A$ 의 고윳값:

$$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 0\\ 0& 1-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(1-\lambda )=0$$ $$\lambda =1,1$$

• $B$ 의 고윳값:

$$\det (B-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-1=0$$ $$\lambda =\pm 1$$

즉, $A$ 의 고윳값은 $(1,1)$, $B$ 의 고윳값은 $(1,-1)$ 이므로, 두 행렬은 서로 다른 고윳값을 가진다.

이 반례를 통해, 행렬의 모든 원소의 절댓값 제곱합이 같다고 해서 유니타리 동치인 것은 아니라는 사실을 확인할 수 있다.