심프슨 공식(Simpson's rule)

라그랑주 다항식의 적분

주어진 다항식 $p(x)$를 라그랑주 기저 다항식 $p_i(x)$로 전개한 후

$$p(x)=\sum _{i=0}^{n}p(c_i)p_i(x)$$

양변을 $a$부터 $b$까지 적분하면

$${\int }_a^{b}p(t)dt={\int }_a^b\sum _{i=0}^{n}p(c_i)p_i(t)dt$$

선형성을 이용하여 적분 기호를 분리할 수 있습니다.

$${\int }_a^{b}p(t)dt=\sum _{i=0}^{n}p(c_i){\int }_a^b{p}_i(t)dt$$

여기서 $d_i$를 다음과 같이 정의하면

$$d_i={\int }_a^b{p}_i(t)dt$$

정적분을 라그랑주 다항식의 적분으로 표현한 결과는 다음과 같이 정리됩니다.

$${\int }_a^{b}p(t)dt=\sum _{i=0}^{n}p(c_i)d_i$$

---

이때, $d_i$는 라그랑주 다항식 $p_i(x)$의 적분 값으로 각 점 $c_i$에서의 함수 값 $p(c_i)$에 대한 가중치 역할을 하며, 적절한 $c_i$ 선택에 따라 적분 공식이 다르게 유도됩니다.

특정한 $c_i$ 선택에 따른 적분 공식

구간 $[a,b]$를 $n$개의 등간격으로 나누어 $c_i$를 설정하면 다음과 같습니다.

$$c_i=a+\frac{i(b-a)}{n}(i=0,1,\cdots ,n)$$

$n=1$

1. 주어진 식에서 $n=1$이면 $c_0=a,c_1=b$입니다.

$${\int }_a^{b}p(t)dt=p(c_0)d_0+p(c_1)d_1$$

2. $d_0,d_1$ 값 찾기 임의의 다항식 $p(x)$에 대해 적분 공식이 항상 성립해야 하므로, 기저 함수 $p(x)$를 적절히 선택하여 $d_0,d_1$을 결정할 수 있습니다.

(1) $p(x)=1$을 대입

$${\int }_a^{b}1dx=b-a$$

이므로,

$$p(a)d_0+p(b)d_1=1\cdot d_0+1\cdot d_1=b-a$$

즉,

$$d_0+d_1=b-a.$$

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(2) $p(x)=x$을 대입

$${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$$

이므로,

$$a{d}_0+b{d}_1=\frac{b^2-a^2}{2}.$$

이를 연립방정식으로 정리하면

$$\{\begin{array}{l}{d}_0+d_1=b-a\\ a{d}_0+b{d}_1=\frac{b^2-a^2}{2}\end{array}$$

입니다.

3. 연립방정식 풀이 식을 정리하면,

$$d_0=\frac{(b-a{)}^2}{2(a-b)}=\frac{b-a}{2}$$

이고, 마찬가지로,

$$d_1=b-a-d_0=b-a-\frac{b-a}{2}=\frac{b-a}{2}.$$

입니다.

4. 적분 공식에 대입

$$d_0=\frac{b-a}{2},d_1=\frac{b-a}{2}$$

를 적분 공식에 대입하면

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}p(t)dt& =\frac{b-a}{2}p(a)+\frac{b-a}{2}p(b)\\ & =\frac{b-a}{2}\left(p(a)+p(b)\right)\end{array}$$

이며, 이것은 사다리꼴의 넓이 공식(Trapezoidal Rule)과 일치합니다.

$n=2$

1. 등간격 분할 $n=2$일 때의 경우도 살펴보겠습니다. 앞선 방법과 마찬가지로,

$$c_0=a,c_1=a+\frac{b-a}{2},c_2=b.$$

세 개의 점을 사용하여 적분을 근사하겠습니다.

$${\int }_a^{b}p(t)dt=p(c_0)d_0+p(c_1)d_1+p(c_2)d_2$$

2. $d_0,d_1,d_2$ 찾기 (1) $p(x)=1$을 대입

$${\int }_a^{b}1dx=b-a.$$

즉,

$$d_0+d_1+d_2=b-a.$$

(2) $p(x)=x$을 대입

$${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$$

즉,

$$a{d}_0+\left(a+\frac{b-a}{2}\right)d_1+b{d}_2=\frac{b^2-a^2}{2}$$

(3) $p(x)=x^2$을 대입

$${\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{b^3-a^3}{3}$$

즉,

$$a^2{d}_0+{\left(a+\frac{b-a}{2}\right)}^2{d}_1+b^2{d}_2=\frac{b^3-a^3}{3}$$

이며, 위 세 개의 식을 풀면, 다음과 같은 가중치가 나옵니다.

$$d_0=\frac{b-a}{6},d_1=\frac{4(b-a)}{6},d_2=\frac{b-a}{6}$$

3. 최종 적분 공식 이제 $d_0,d_1,d_2$를 원래 식에 대입하면

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}p(t)dt& =\frac{b-a}{6}p(a)+\frac{4(b-a)}{6}p\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{b-a}{6}p(b)\\ & =\frac{b-a}{6}\left[p(a)+4p\left(\frac{a+b}{2}\right)+p(b)\right]\end{array}$$

입니다. 이 식은 흔히 심프슨 1/3 공식(Simpson’s 1/3 Rule)이라 불립니다!

더 많은 점으로 분할하면

같은 방법으로, $n=3$일 때는,

$${\int }_a^{b}p(x)dx\approx \frac{3h}{8}\left[p(a)+3p(a+h)+3p(a+2h)+p(b)\right]$$

와 같습니다.

$p(x)$의 차수가 $n$과 같으면 이 식은 등식이 성립하지만, $p(x)$의 차수가 $n$보다 크다면 오차가 발생합니다. 물론 $n$이 증가할 수록 정확도가 증가하지만, 너무 높은 차수를 사용하면 오차가 커질 수(Runge’s phenomenon) 있습니다.¹

가중치의 대칭성

눈치가 빠르신 분들은 가중치 $d_i$가 좌우 대칭이 된다는 것을 아셨을 것입니다. 이러한 대칭성은 라그랑주 다항식의 적분을 통해 유도할 수 있습니다.

가중치 $d_i$는 보간 다항식 $p_i(x)$의 적분 값으로 정의됩니다:

$$w_i={\int }_a^b{p}_i(x)dx.$$

여기서 $p_i(x)$는 라그랑주 다항식(Lagrange basis polynomial)이고,

$$p_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

보간 다항식은 **등간격으로 나눠진 점 $x_0,x_1,\dots ,x_n$에서 구성되므로, 항상 대칭성을 가집니다.

$$\begin{array}{cccccccccccc}n& w_0& w_1& w_2& w_3& w_4& w_5& w_6& w_7& w_8& w_9& w_{10}\\ 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& & & & & & & & & \\ 2& \frac{1}{6}& \frac{4}{6}& \frac{1}{6}& & & & & & & & \\ 3& \frac{3}{8}& \frac{9}{8}& \frac{9}{8}& \frac{3}{8}& & & & & & & \\ 4& \frac{7}{90}& \frac{32}{90}& \frac{12}{90}& \frac{32}{90}& \frac{7}{90}& & & & & & \\ 5& \frac{19}{288}& \frac{75}{288}& \frac{50}{288}& \frac{50}{288}& \frac{75}{288}& \frac{19}{288}& & & & & \\ 6& \frac{41}{840}& \frac{216}{840}& \frac{27}{840}& \frac{272}{840}& \frac{27}{840}& \frac{216}{840}& \frac{41}{840}& & & & \\ 7& \frac{751}{17280}& \frac{3577}{17280}& \frac{1323}{17280}& \frac{2989}{17280}& \frac{2989}{17280}& \frac{1323}{17280}& \frac{3577}{17280}& \frac{751}{17280}& & & \\ 8& \frac{989}{28350}& \frac{5888}{28350}& -\frac{928}{28350}& \frac{10496}{28350}& -\frac{4540}{28350}& \frac{10496}{28350}& -\frac{928}{28350}& \frac{5888}{28350}& \frac{989}{28350}& & \\ 9& \frac{2857}{89600}& \frac{15741}{89600}& \frac{1080}{89600}& \frac{19344}{89600}& \frac{5778}{89600}& \frac{5778}{89600}& \frac{19344}{89600}& \frac{1080}{89600}& \frac{15741}{89600}& \frac{2857}{89600}& \\ 10& \frac{16067}{598752}& \frac{106300}{598752}& -\frac{48525}{598752}& \frac{272400}{598752}& -\frac{260550}{598752}& \frac{427368}{598752}& -\frac{260550}{598752}& \frac{272400}{598752}& -\frac{48525}{598752}& \frac{106300}{598752}& \frac{16067}{598752}\end{array}$$

Footnotes

1. Runge, C. (1901). “Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten”. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 46: 224–243. ↩