소멸자(Annihilator)

소멸자의 정의

벡터 공간 $V$의 부분공간 $S$가 주어졌을 때, $S$의 소멸자 $S^0$ (S-annihilator)는 $S$를 0으로 보내는 모든 쌍대공간 원소들의 집합이다.

$$S^0=\{\varphi \in V^{\ast }\mid \varphi (s)=0,\forall s\in S\}.$$

$S^0$는 $V^{\ast }$ (즉, $V$의 쌍대공간)에서의 부분공간이다.

이중 소멸자 $(S^0{)}^0$

$S^0$의 소멸자 $(S^0{)}^0$를 정의하면

$$(S^0{)}^0=\{v\in V\mid \varphi (v)=0,\forall \varphi \in S^0\}.$$

즉, $S^0$에 속하는 모든 함수들이 0을 출력하는 벡터들의 집합이므로,

$$(S^0{)}^0=S$$

이다.

소멸자의 차원

소멸자의 차원은 원래 부분공간과 관계가 있으며, 다음과 같은 공식이 성립한다.

$$\dim S+\dim S^0=\dim V$$

1. $V$ 에 대해 $S$ 의 기저를 $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$ 라 하자.

2. $S$ 를 확장하여 $V$ 의 기저를 만들자. 즉,

   $$\{v_1,v_2,\dots ,v_k,v_{k+1},\dots ,v_n\}$$

   를 $V$ 의 기저로 잡을 수 있다. 여기서 $\dim S=k$, $\dim V=n$ 이다.

3. 이제 쌍대 공간 $V^{\ast }$ 에서, 쌍대 기저(dual basis) 를 고려하면, $V^{\ast }$ 에는

   $$\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }\}$$

   라는 기저가 존재하며, 이는 다음 조건을 만족한다.

   $$v_i^{\ast }(v_j)=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

4. 이제 $S^0$ 의 구조를 살펴보자.

   • $S^0$ 는 $S$ 위에서 0이 되는 모든 선형 사상들의 집합이므로, $S$ 의 기저 벡터 $v_1,\dots ,v_k$ 에 대해 $v_i^{\ast }(v_j)=0$ 인 $v_i^{\ast }$ 들이 $S^0$ 를 형성한다.
   • 따라서 $S^0$ 의 기저는 $\{v_{k+1}^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }\}$ 로 구성된다.
   • 이 기저의 개수는 $n-k$ 이므로 $\dim S^0=n-k$.

5. 따라서,

   $$\dim S+\dim S^0=k+(n-k)=n=\dim V$$

   가 성립함을 보일 수 있다.

이는 쌍대 공간을 활용한 차원 정리 중 하나로, 벡터 공간의 부분공간과 그 소멸자(영여공간) 사이에 성립하는 중요한 관계입니다.

(3) 이중 쌍대공간(Double Dual Space)와의 관계

이중 소멸자 결과 **$(S^0{)}^0=S$**는 벡터 공간이 그 자체의 이중 쌍대공간과 동형(isomorphic)임을 보이는 방법과 연결된다.

✔ 특히, 유한 차원 벡터 공간에서는 다음이 성립한다.

$$V\cong V^{\ast \ast }.$$

즉, $V$ 자체가 그 쌍대공간의 쌍대공간과 동형이다.
이 개념은 쌍대성을 통해 원래 공간을 복구하는 과정을 수학적으로 엄밀히 정당화하는 데 사용된다.

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(4) 해석학과 미분방정식에서의 응용

소멸자는 미분 연산자와의 관계에서도 중요한 역할을 한다.
특정한 함수 집합을 소멸하는 연산자의 집합을 정의하면, 이 연산자를 이용하여 미분방정식의 해를 찾을 수 있다.

✔ 예제:

• 특정 함수 $f(x)$를 소멸하는 미분 연산자를 찾으면,
  그 미분 연산자를 포함하는 미분방정식을 통해 $f(x)$의 성질을 연구할 수 있다.

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4. 결론

✔ 소멸자 $S^0$는 부분공간 $S$를 0으로 만드는 쌍대공간 원소들의 집합이다.
✔ 이중 소멸자 $(S^0{)}^0$는 원래의 부분공간 $S$를 복구하며, 이는 벡터 공간과 쌍대공간 사이의 중요한 관계를 나타낸다.
✔ 소멸자는 부분공간을 선형 함수로 기술하는 방법을 제공하며, 해석학, 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용된다.
✔ 유한 차원 벡터 공간에서는 $V\cong V^{\ast \ast }$가 성립하며, 이는 쌍대공간이 원래 공간을 정확히 반영하는 성질을 의미한다.

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이제 쌍대공간에서의 소멸자의 의미와 그 중요성을 완벽히 이해하셨나요? 😊
추가 질문이 있으면 언제든지 물어보세요! 🚀