유니타리 행렬(Unitary Matrix)

유니타리 행렬(Unitary Matrix)

유니타리 행렬 $U$은 다음 조건을 만족하는 정사각 행렬이다.

$$U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$$

• $U^{\ast }$는 $U$의 켤레 전치(conjugate transpose)

유니타리 행렬의 성질¹

노름 보존(Norm Preservation)

유니타리 행렬은 벡터의 노름(norm)을 보존한다. 즉, 임의의 복소수 벡터 $x$에 대해,

$$\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$$

이 성질은 유니타리 행렬이 내적을 보존한다는 의미이기도 하다.

$$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$$

이를 통해 유니타리 행렬이 길이를 변형하지 않는 등거리 변환(isometry)임을 알 수 있다.

고윳값의 크기는 1

유니타리 행렬은 내적을 보존하므로,

$$⟨Ux,Ux⟩=⟨\lambda x,\lambda x⟩=⟨x,x⟩$$

내적의 선형성과 켤레 복소수 성질을 이용하면,

$$\lambda \overline{\lambda }⟨x,x⟩=|\lambda {|}^2⟨x,x⟩=⟨x,x⟩$$

$x\ne 0$이므로,

$$|\lambda |=1$$

따라서 자명하게,

$$|\det (U)|=1$$

이는 유니타리 행렬이 부피를 보존한다는 의미이기도 하다.

정규직교기저

유니타리 행렬은 $U^{\ast }U=I$을 만족하므로,

$$(U^{\ast }U{)}_{ij}=u_i^{\ast }{u}_j={\delta }_{ij}$$

각 열벡터의 노름이 1이고, $i\ne j$일 때, $⟨u_i,u_j⟩=0$이므로 열벡터들은 서로 직교한다. 따라서, 유니타리 행렬의 열벡터(행벡터)는 정규직교 기저를 이룬다.

$\det (A^{\ast })=\overline{\det (A)}$

임의의 복소수 정사각행렬 $A$에 대해 켤레 전치(conjugate transpose, Hermitian transpose)를 취한 행렬의 행렬식(determinant)은 원래 행렬식의 켤레 복소수와 같다.

$A$가 $n\times n$ 행렬일 때, 행렬식의 정의에 의해,

$$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

여기서 $S_n$은 대칭군(순열군)이고, $\mathrm{sgn}(\sigma )$는 순열의 부호(순열을 만들기 위해 필요한 교환 횟수가 짝수인 경우 $+1$, 홀수인 경우 $-1$)를 나타낸다.

행렬 $A^{\ast }$의 성분은 $(A^{\ast }{)}_{ij}=\overline{A_{ji}}$이므로,

$$\det (A^{\ast })=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n\overline{a_{\sigma (i),i}}$$

복소수의 켤레 연산은 곱셈과 덧셈에서 분배되므로,

$$\det (A^{\ast })=\overline{\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i),i}}$$

위 식의 우변은 정확히 $\det (A)$의 켤레 복소수와 같으므로,

$$\det (A^{\ast })=\overline{\det (A)}$$

Footnotes

1. 이러한 성질은 유니타리 행렬의 필요충분조건이기도 하다. ↩