쌍대공간

우리는 보통 벡터 공간 $V$ 를 “그 자체로” 바라봅니다. 즉, 벡터 $x\in V$ 는 어떤 물리적 혹은 기하학적 개념(위치, 속도, 힘 등)으로 해석될 수 있습니다. 하지만 벡터를 직접 다루는 대신, 벡터가 다른 객체에 어떻게 작용하는지를 연구할 수도 있습니다. 이를 위해 등장하는 것이 쌍대 공간입니다.

쌍대 공간(dual space)

$F$ 위의 벡터 공간 $V$ 에 대해, 우리는 $V$ 의 쌍대 공간(dual space)을

$$\mathcal{L}(V,F)$$

로 정의하며, 이를 $V^{\ast }$ 로 표기한다. $V^{\ast }$ 의 원소는 $V$ 의 벡터를 받아서 스칼라를 반환하는 함수이다.

즉, $V^{\ast }$ 는 $V$ 위의 모든 선형 범함수(linear functionals)로 이루어진 벡터 공간이다. 이 공간에서는 벡터 공간의 덧셈과 스칼라 곱셈이 기존 벡터 공간에서 정의된 방식과 동일하게 적용된다. 또한, $V$ 가 유한 차원(finite-dimensional)이라면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$\dim (V^{\ast })=\dim (\mathcal{L}(V,F))=\dim (V)\cdot \dim (F)=\dim (V)$$

즉, 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 쌍대 공간 $V^{\ast }$ 는 원래 공간 $V$ 와 같은 차원을 가진다.

쌍대 기저(dual basis)

$V$ 가 유한 차원 벡터 공간이고, 순서가 있는 기저(ordered basis) 기저 $\beta =\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ 가 주어지면,각 벡터는 이 기저를 기준으로 좌표를 가진다. 쌍대 기저 ${\beta }^{\ast }=\{f_1,f_2,\dots ,f_n\}$ 는 이러한 기저 벡터를 판별하는 도구로 사용된다. ${\beta }^{\ast }$ 는 $V^{\ast }$ 의 순서가 있는 기저이며, 모든 $f\in V^{\ast }$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$f=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)f_i$$

특히, 각 $f_i$ 는 $x_j$ 를 입력했을 때 $1$ 또는 $0$이 되도록 정의된 함수이다.

$$f_i(x_j)={\delta }_{ij}$$

원래 벡터 공간에서 기저가 선택되면, 이에 대응하는 유일한 쌍대 기저가 존재한다. 쌍대 공간에서도 쌍대 기저(dual basis)를 이용하면, 모든 선형 범함수를 쌍대 기저의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

쌍대기저 찾기

네가 지적한 대로, $f_1,f_2$ 를 “기저 행렬의 역행렬의 행벡터로 정하는 것”이 쌍대 기저를 찾는 일반적인 방법은 아니다.
이는 행렬 표현이 가능한 경우에는 유효하지만, 일반적으로 쌍대 기저는 함수의 작용에 의해 정의되므로 더 일반적인 방법을 사용해야 한다.

따라서, 일반적인 방법으로 쌍대 기저를 구하는 과정을 다시 정리하고, 기저 행렬의 역행렬을 사용하는 방식이 언제 가능한지 구체적으로 밝히겠다.

1. 일반적인 쌍대 기저 구하는 과정

$V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이고, 기저가

$$\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$$

로 주어졌다고 하자. 쌍대 기저 $\{f_1,f_2,\dots ,f_n\}$ 는 다음을 만족하는 선형 함수들로 이루어져야 한다.

$$f_i(b_j)={\delta }_{ij},(1\le i,j\le n)$$

즉, $f_i$ 는 기저 벡터 $b_j$ 를 입력받았을 때 항등행렬의 역할을 하는 선형 함수이다. 쌍대 기저는 특정한 기저 $\{b_1,\dots ,b_n\}$ 에 대해 정의된 선형 함수들의 집합이므로, 이 함수들을 직접 찾기 위해 각 $f_i$ 를 다음과 같은 선형 함수라고 가정하자.

$$f_i(x)=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n$$

이제 $f_i$ 가 쌍대 기저 조건을 만족하도록 방정식을 세운다.

$$f_i(b_j)={\delta }_{ij}$$

이를 풀어 $f_i$ 들을 구할 수 있다.

행렬을 이용해 쌍대기저 찾기

우리는 어떤 벡터 공간 $V$ 의 기저가 주어졌을 때, 그 기저의 행렬의 역행렬의 행벡터들이 왜 쌍대 기저가 되는지를 일반적으로 증명하려고 한다.

벡터 공간 $V$ 가 있고, $V$ 의 기저가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$$\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\}$$

이 기저에 대해 임의의 벡터 $v\in V$ 는 다음과 같이 표현된다.

$$v=c_1{b}_1+c_2{b}_2+\cdots +c_n{b}_n$$

즉, 벡터 $v$ 의 좌표는 새로운 기저 $\{b_1,\dots ,b_n\}$ 에 대한 좌표 벡터 $(c_1,\dots ,c_n)$ 이다. 이 기저를 행렬로 표현하면, 기저 벡터들을 열벡터로 가지는 행렬 $B$ 를 정의할 수 있다.

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right]$$

임의의 벡터 $v$ 가 있을 때, 그 좌표 벡터 $[v{]}_B=(c_1,\dots ,c_n{)}^T$ 는 다음을 만족한다.

$$B\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=v$$

즉, 좌표 벡터 $[v{]}_B$ 는 $v$ 에 행렬 $B^{-1}$ 을 곱한 결과이다.

$$[v{]}_B=B^{-1}v$$

우리는 역행렬 $B^{-1}$ 의 행벡터들이 왜 쌍대 기저가 되는지를 증명해야 한다. 쌍대 공간 $V^{\ast }$ 의 기저 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 는 다음 성질을 만족하는 선형 함수들로 구성된다.

$$f_i(b_j)={\delta }_{ij},(1\le i,j\le n)$$

$B^{-1}$ 의 정의에 의해,

$$B^{-1}B=I_n$$

$B^{-1}$ 의 행벡터를 $r_1,r_2,\dots ,r_n$ 이라고 하면, 기저 행렬 $B$ 와 곱했을 때, 항등행렬 $I_n$ 이 되어야 한다.

$$\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$$

즉,

$$r_i\cdot b_j={\delta }_{ij}$$

이므로, 쌍대 기저의 정의에 의해 $B^{-1}$의 행벡터는 쌍대 기저를 이룬다.

이중 공간(double dual space)

유한 차원 벡터 공간 $V$ 에 대해 함수

$$\psi :V\to V^{\ast \ast }$$

를 다음과 같이 정의하자.

$$\psi (x)=\hat{x},\text{where}\hat{x}(f)=f(x)\forall f\in V^{\ast }$$

그러면 $\psi$ 는 동형사상(isomorphism)이다.

$$V\cong V^{\ast \ast }$$

즉, 유한 차원에서는 $V^{\ast \ast }$ 가 단순히 원래 공간 $V$ 와 같은 공간으로 볼 수 있다. 벡터 공간 $V$ 를 벡터를 벡터로 보든, 함수로 보든 결과적으로 같은 공간을 연구하는 것이 된다는 점을 의미한다. 내적을 고려하면 이 관계가 더욱 명확해집니다.

내적이 존재하는 공간에서 쌍대 공간

내적(inner product) 이 정의된 벡터 공간에서는 쌍대 공간 $V^{\ast }$ 을 원래 공간 $V$ 와 동일하게 생각할 수 있다.

유클리드 공간에서의 쌍대 공간

유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^n$ 을 생각해보자. 내적 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 을 이용하면, 어떤 벡터 $v\in {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음과 같은 선형 함수 $f_v$ 를 정의할 수 있다.

$$f_v(x)=⟨v,x⟩,\forall x\in {\mathbb{R}}^n$$

즉, 벡터 $v$ 가 있으면, 이 벡터를 이용해 벡터 공간 위에서 선형 범함수를 만들 수 있다. 이 함수 $f_v$ 는 실제로 ${\mathbb{R}}^n$ 의 쌍대 공간 $({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast }$ 의 원소가 된다. 중요한 점은, 모든 선형 범함수 $f\in ({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast }$ 가 이런 형태로 표현될 수 있다는 것이다. 즉, 모든 선형 함수는 어떤 벡터 $v$ 에 대한 내적을 통해 나타낼 수 있다.

$$f(x)=⟨v,x⟩,\text{for some }v\in {\mathbb{R}}^n$$

이 말은 곧, 모든 선형 함수 $f$ 가 어떤 벡터 $v$ 와 정확히 일대일 대응된다는 것을 의미한다. 따라서, 벡터 공간 ${\mathbb{R}}^n$ 과 그 쌍대 공간 $({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast }$ 이 사실상 같은 공간이라는 결론이 나온다.

힐베르트 공간에서 일반화

유클리드 공간뿐만 아니라, 내적이 존재하는 힐베르트 공간(Hilbert space) 에서도 동일한 결과가 성립한다. 힐베르트 공간에서는 모든 선형 함수가 내적을 통해 표현될 수 있으므로, 원래 공간과 쌍대 공간이 동형(isomorphic)이다. 이를 리스 표현 정리(Riesz Representation Theorem)라고 부른다.