스펙트럼 정리 활용

주어진 행렬

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$$

에 대해

$L_A$가 spectral decomposition을 갖는지 확인

Spectral decomposition이 가능하려면 행렬 $A$는 다음 조건을 만족해야 합니다.

• 대칭 행렬일 것 ($A^T=A$)
• 따라서 고윳값이 모두 실수, 고유벡터들이 직교함

주어진 행렬

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right],A^T=A$$

→ 실대칭 행렬이므로 스펙트럼 분해가 가능하다.

고윳값과 직교 투영 행렬 계산

고윳값 구하기

고윳값은 특성 다항식

$$\det (A-\lambda I)=0$$

을 풀면 구할 수 있다.

$$\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 2& 1-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda {)}^2-4={\lambda }^2-2\lambda -3=0$$ $$\Rightarrow (\lambda -3)(\lambda +1)=0\Rightarrow {\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-1$$

고유벡터와 정규 직교 기저 구하기

${\lambda }_1=3$

$$(A-3I)\vec{v}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -2\end{array}\right]\vec{v}=0$$

⇒ 해는 ${\vec{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

정규화:

$$u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

${\lambda }_2=-1$

$$(A+I)\vec{v}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right]\vec{v}=0$$

⇒ 해는 ${\vec{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

정규화:

$$u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$

고유공간에 대한 직교 투영 행렬 구하기

$$P_i=u_i{u}_i^T$$

$\lambda =3$에 대응하는 투영

$$P_1=u_1{u}_1^T=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

$\lambda =-1$에 대응하는 투영

$$P_2=u_2{u}_2^T=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$

Spectral decomposition으로 복원 확인

Spectral theorem에 따르면,

$$A={\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2$$

계산해보면

$$3P_1=3\cdot \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\frac{3}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$ $$-1\cdot P_2=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$ $$A=\frac{3}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}3-1& 3+1\\ 3+1& 3-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$$

원래 행렬 $A$가 정확히 복원됨.