라그랑주 보간법(Lagrange Interpolation) 1

우리 주변에는 데이터를 이용해 미지의 값을 추정하거나, 연속적인 값을 예측해야 하는 상황이 많습니다. 이렇게 주어진 데이터 점들 사이의 값을 추정하는 과정을 수학에서는 **보간(interpolation)**이라고 합니다.

이는 점들을 모두 통과하는 하나의 방정식을 찾아낼 수 있는가? 하는 문제로 연결됩니다. 왜냐하면 이 다항식은 주어진 점들을 모두 정확히 통과하면서, 중간 값들을 추정할 수 있게 해주기 때문이지요. 라그랑주 보간법의 원리를 통해 ‘몇 개의 점으로 방정식을 찾을 수 있을까?‘라는 질문에 답을 찾아보겠습니다.

라그랑주 다항식

무한 체 $F$에서 서로 다른 스칼라 $c_0,c_1,\dots ,c_n$가 주어졌다고 가정해보겠습니다. 이때, 다음과 같이 정의된 다항식 $f_0(x),f_1(x),\dots ,f_n(x)$을 **라그랑주 다항식(Lagrange polynomials)이라 부릅니다. 각 $f_i(x)$가 차수가 $n$인 다항식이며, 따라서 $P_n(F)$에 속합니다.

$$f_i(x)=\frac{(x-c_0)\cdots (x-c_{i-1})(x-c_{i+1})\cdots (x-c_n)}{(c_i-c_0)\cdots (c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})\cdots (c_i-c_n)}=\prod _{\begin{array}{c}k=0\\ k\ne i\end{array}}^{n\frac{x-c_k}{c_i-c_k}}$$

이때, $f_i(x)$는 다항식 함수 $f_i:F\to F$이며,

$$f_i(c_j)=\{\begin{array}{ll}0& (i\ne j)\\ 1& (i=j)\end{array}$$

입니다.

라그랑주 다항식은 $P_n(F)$의 기저인가?

$\beta =\{f_0,f_1,\cdots ,f_n\}$라 할 때, 다음 함수를 영함수라 가정해보겠습니다.

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{f}_i=0$$

이 때, $x=c_j$라 하면

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{f}_i(c_j)=0(j=0,1,\dots ,n)$$

이다. 한편 $f_i(c_j)$의 성질에 의해,

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{f}_i(c_j)=a_j$$

이므로, $a_j=0$이고, $j=0,1,\dots ,n$에 대해 $\beta$는 선형 독립입니다. $P_n(F)$의 차원이 $n+1$이므로, $\beta$는 $P_n(F)$의 기저(basis)가 됩니다.

$\beta$가 $P_n(F)$의 기저이기 때문에, $P_n(F)$의 모든 다항식 함수 $g$는 $\beta$의 다항식 함수들의 선형 결합으로 표현될 수 있습니다.

$$g=\sum _{i=0}^n{b}_i{f}_i$$

따라서

$$g(c_j)=\sum _{i=0}^n{b}_i{f}_i(c_j)=b_j$$

이므로

$$g=\sum _{i=0}^{n}g(c_i)f_i$$

입니다. 이 표현은 $g$를 $\beta$의 원소들의 선형 결합으로 나타내는 유일한 표현입니다. 이 표현을 **라그랑주 보간 공식(Lagrange interpolation formula)**이라고 부릅니다. 기저의 성질에 의해 $P_n(F)$에서 $g(c_j)=b_j$를 만족하는 유일한 다항식은 $g(x)$입니다.

세 점을 지나는 이차 다항식 찾기

예를 들어, $(0,0),(1,-1),(2,0)$을 지나는 이차 다항식을 찾아보겟습니다. 앞서 보았듯 라그랑주 보간 공식은 $n+1$개의 점 $(c_0,b_0),(c_1,b_1),\dots ,(c_n,b_n)$을 지나는 다항식을 다음과 같이 정의하며,

$$g(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{f}_i(x)$$

여기서 $f_i(x)$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$f_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}k=0\\ k\ne i\end{array}}^n\frac{x-c_k}{c_i-c_k}$$

주어진 점은 다음과 같으므로,

• $c_0=0,b_0=0$,
• $c_1=1,b_1=-1$,
• $c_2=2,b_2=0$.

$n=2$이며, $g(x)$는 최대 이차 다항식입니다. 앞선 식을 이용해 $f_0(x),f_1(x),f_2(x)$을 계산해보겠습니다.

f_0(x) &= \frac{(x - c_1)(x - c_2)}{(c_0 - c_1)(c_0 - c_2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(0 - 1)(0 - 2)} = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)\\ f_1(x) &= \frac{(x - c_0)(x - c_2)}{(c_1 - c_0)(c_1 - c_2)} = \frac{(x - 0)(x - 2)}{(1 - 0)(1 - 2)} = -x^2 + 2x\\ f_2(x) &= \frac{(x - c_0)(x - c_1)}{(c_2 - c_0)(c_2 - c_1)} = \frac{(x - 0)(x - 1)}{(2 - 0)(2 - 1)} = \frac{1}{2}(x^2 - x) \end{align*}$$ 라그랑주 보간 공식을 사용하여 $g(x)$를 계산하면,

\begin{align*} g(x) &= 0 \cdot f_0(x) + (-1) \cdot f_1(x) + 0 \cdot f_2(x)\ &= -f_1(x)\ &= x^2 - 2x \end{align*}

### 세 점이 한 직선 위에 있다면? 만약 세 점이 $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$과 같이 한 직선 위에 있다면 어떻게 될까요? 앞선 방법과 같이 주어진 점을 이용해 $f_0(x), f_1(x), f_2(x)$을 계산해보겠습니다. - $c_0 = 1, b_0 = 1$, - $c_1 = 2, b_1 = 2$, - $c_2 = 3, b_2 = 3$. $n = 2$이므로 $g(x)$는 최대 이차 다항식입니다.

\begin{align*} f_0(x) = \frac{(x - c_1)(x - c_2)}{(c_0 - c_1)(c_0 - c_2)} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} = \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 6)\ f_1(x) = \frac{(x - c_0)(x - c_2)}{(c_1 - c_0)(c_1 - c_2)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(2 - 1)(2 - 3)} = -(x^2 - 4x + 3)\ f_2(x) = \frac{(x - c_0)(x - c_1)}{(c_2 - c_0)(c_2 - c_1)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - 1)(3 - 2)} = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2) \end{align*}

이제 라그랑주 보간 공식을 사용하여 $g(x)$를 구하면,

g(x) = 1 \cdot f_0(x) + 2 \cdot f_1(x) + 3 \cdot f_2(x)

$$이므로,$$

\begin{align*} g(x) &= \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 6) + 2(-x^2 + 4x - 3) + \frac{3}{2}(x^2 - 3x + 2)\ &= \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 3 - 2x^2 + 8x - 6 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x + 3\ &= x \end{align*}

결과적으로 $g(x) = x$가 됩니다. 주어진 세 점이 모두 $y = x$라는 직선 위에 있으므로, 보간 결과도 자연스럽게 $y = x$가 됩니다. 라그랑주 보간법을 이용하면 세 점이 한 직선 위에 있는지 여부를 미리 확인하지 않아도, 정확한 직선을 반환합니다. 불필요한 고차 항을 제거하는 수학적 원리 덕분에 계산이 간결해지고, 결과적으로 효율적이고 효과적으로 다항식을 찾아내는 것이 가능합니다.