내적 보존, 노름 보존

내적을 보존하는 것과 노름을 보존하는 것은 밀접하게 연결되어 있지만, 완전히 같은 개념은 아닙니다. 그러나 내적을 보존하는 변환은 항상 노름도 보존하지만, 노름을 보존하는 변환이 반드시 내적을 보존하는 것은 아닙니다.

내적을 보존하는 변환

어떤 선형 변환 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 이 내적을 보존한다는 것은 모든 벡터 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$에 대해

$$⟨T(\mathbf{x}),T(\mathbf{y})⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$$

이 성립함을 의미합니다.

이 조건을 만족하는 변환은 직교 변환(orthogonal transformation) 또는 유니터리 변환(unitary transformation)입니다. 즉, 행렬 표현으로 나타내면, 행렬 $A$가 다음 조건을 만족해야 합니다.

$$A^{T}A=I$$

또는 복소수 공간에서는

$$A^{\ast }A=I$$

이 조건을 만족하는 행렬 $A$는 항상 직교 행렬(orthogonal matrix) 또는 유니터리 행렬(unitary matrix)입니다.

노름을 보존하는 변환

어떤 선형 변환 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 이 노름을 보존한다는 것은 모든 벡터 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$에 대해

$$\Vert T(\mathbf{x})\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$$

이 성립함을 의미합니다.

노름을 보존하는 변환은 거리도 보존하므로 등거리 변환(isometry)이라고도 합니다. 만약 $T$가 선형 변환이라면, 위 조건은 모든 벡터에 대해

$$\Vert T(\mathbf{x}){\Vert }^2=\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2$$

즉,

$$⟨T(\mathbf{x}),T(\mathbf{x})⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩$$

이 되어야 합니다.

이 조건을 만족하는 선형 변환의 행렬 $A$는 직교 행렬 또는 유니터리 행렬뿐만 아니라 직교 행렬에 스칼라 배를 한 행렬도 포함할 수 있습니다. 즉, 어떤 절대값이 1인 상수 $c$ ($|c|=1$)가 존재하여

$$A^{T}A=c^{2}I$$

를 만족하면 됩니다. 예를 들어, $c=-1$인 경우 $A$는 반사(reflection) 변환이 될 수 있습니다.

차이점

• 내적을 보존하는 변환 ⇒ 반드시 노름을 보존한다.

$$⟨T(\mathbf{x}),T(\mathbf{x})⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\Rightarrow \Vert T(\mathbf{x}){\Vert }^2=\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2.$$

즉, 내적이 보존되면 노름도 보존됨이 자동으로 성립합니다.

• 노름을 보존하는 변환 ≠ 반드시 내적을 보존하는 것은 아니다.
  모든 벡터에 대해 $\Vert T(\mathbf{x})\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$이지만, 내적을 보존하는지 여부는 추가적인 확인이 필요합니다. 예를 들어, 반사(reflection) 변환은 노름을 보존하지만, 경우에 따라 내적을 변경할 수도 있습니다. 유한차원 내적공간 $V$에서는 내적을 보존하는 것과 노름을 보존하는 것이 동치이지만, 무한차원 내적공간에서는 이 둘 사이에 차이가 있을 수 있습니다.