유한차원에서 전단사

네, 유한 차원에서 어떤 함수가 부분집합으로의 전단사 함수(bijective function) 라면, 그 함수는 해당 부분집합 위에서 전사(surjective)라는 의미이며, 따라서 그 부분집합 전체와 같아집니다. 이를 정확하게 살펴보겠습니다.

유한 차원에서 단사이면 전사임

만약 $f : W \to W$ 가 유한 차원 벡터공간 $W$ 에서 자기 자신으로 가는 선형 변환이고, 단사라면 전사임을 보일 수 있습니다.

선형 변환 $f : W \to W$ 에 대해 기본 차원 정리(Rank-Nullity Theorem) 를 적용하면,

dim W = dim (ker f) + dim (im f)

여기서 $f$ 가 단사(injective) 라는 것은 $ker f = {0}$ 임을 의미하므로,

dim W = 0 + dim (im f) = dim (im f)

즉, 상(Image)의 차원이 원래 공간과 같으므로 전사(surjective)이다. 따라서 $im f = W$ 가 되어 $f$ 는 전사적(surjective) 이다.

결론:
유한 차원 벡터공간 $W$ 에서 선형 변환 $f : W \to W$ 가 단사이면, 반드시 전사이다.

반대로, 만약 $f : W \to W$ 가 전사(surjective) 라면, $im f = W$ 이므로

dim (im f) = dim W

기본 차원 정리에 의해

dim W = dim (ker f) + dim (im f)

인데, $dim (im f) = dim W$ 이므로,

dim W = dim (ker f) + dim W

이 성립하려면 $dim (ker f) = 0$ , 즉 $ker f = {0}$ 이어야 합니다. 따라서 $f$ 는 단사(injective) 입니다.

결론:
유한 차원 벡터공간 $W$ 에서 선형 변환 $f : W \to W$ 가 전사이면, 반드시 단사이다.

유한 차원 벡터공간 $W$ 위에서 선형 변환 $f : W \to W$ 가 단사이면 전사이고, 전사이면 단사이므로, 결국 전단사(bijective) 가 됩니다.
즉, 유한 차원에서는 단사와 전사가 동치이며, 전단사이면 그 이미지는 원래 공간 전체와 같습니다.

따라서 유한 차원에서 어떤 함수가 부분집합으로의 전단사 함수라면, 그 부분집합과 전체가 같아진다는 것이 성립합니다.