3-2. The Definition of the Gauss Map and Its Fundamental Properties

이 절에서는 정칙이고 가향인 곡면 $S$에 방향(orientation) $N$이 주어졌다고 가정한다.

가우스 사상 (Gauss Map)

방향이 주어진 곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$에 대하여, 사상 $\mathbf{N}:S\to S^2\subset {\mathbb{R}}^3$는 $S$의 각 점 $p$에 단위 법선벡터 $N(p)$를 대응시킨다. 여기서 $S^2$는 반지름이 1인 단위구면 이다.

$$S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2+z^2=1\}$$

이렇게 정의된 사상 $\mathbf{N}$을 곡면 $S$의 가우스 사상(Gauss map)이라 한다.

가우스 사상 $\mathbf{N}$은 미분가능하다. 점 $p\in S$에서 $N$의 미분 $d{N}_p$는 $T_p(S)$에서 $T_{N(p)}(S^2)$로 가는 선형사상이다. $T_p(S)$와 $T_{N(p)}(S^2)$는 ${\mathbb{R}}^3$에서 평행한 평면들이므로, 동일한 벡터 공간으로 볼 수 있다. 따라서 $d{N}_p$는 $T_p(S)$ 위의 선형 연산자로 간주할 수 있다.

$d{N}_p$는 점 $p$ 근방에서 법선벡터 $N$이 어떻게 변하는지를 측정한다. 곡선에서 이 변화율이 곡률이라는 하나의 수로 주어졌다면, 곡면에서는 이 변화율이 선형사상으로 특징지어진다.

단위 법벡터장 $N$의 미분

함수 $N:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$, 즉 입력은 $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$, 출력은 $N(u,v)\in {\mathbb{R}}^3$이다. 따라서 미분 $d{N}_{(u,v)}$는 다음과 같은 선형 변환이 된다.

$$d{N}_{(u,v)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$$

즉, 도함수는 $3$개의 성분 각각을 $u$와 $v$로 편미분한 $3$행 $2$열 행렬로 표현된다:

$$d{N}_{(u,v)}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial N_1}{\partial u}& \frac{\partial N_1}{\partial v}\\ \frac{\partial N_2}{\partial u}& \frac{\partial N_2}{\partial v}\\ \frac{\partial N_3}{\partial u}& \frac{\partial N_3}{\partial v}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{3\times 2}$$

합성함수

$$N(\alpha (t))=N(u(t),v(t))$$

에 대해, 체인 룰에 의해 다음과 같이 미분된다.

$$\frac{d}{dt}N(u(t),v(t))=d{N}_{(u,v)}\cdot \left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }(t)\\ v^{\prime }(t)\end{array}\right]$$

즉, 도함수 행렬($3\times 2$)에 파라미터 변화율 벡터($2\times 1$)를 곱해 3차원 벡터로서 $N$의 변화율을 얻는다.

$$N^{\prime }(p)=d{N}_{(u(t),v(t))}\cdot {\alpha }^{\prime }(t)$$

이는 $\alpha (t)$를 따라가는 법벡터장의 변화율을 정확히 묘사한다.

제2 기본 형식 (The Second Fundamental Form)

가우스 사상의 미분 $d{N}_p:T_p(S)\to T_p(S)$는 자기수반(self-adjoint) 선형사상이다.

$d{N}_p$가 선형사상이므로, $T_p(S)$의 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$에 대해 $⟨d{N}_p({\mathbf{x}}_u),{\mathbf{x}}_v⟩=⟨{\mathbf{x}}_u,d{N}_p({\mathbf{x}}_v)⟩$임을 보이면 충분하다. $d{N}_p({\mathbf{x}}_u)=N_u$이고 $d{N}_p({\mathbf{x}}_v)=N_v$이므로, 우리는 $⟨N_u,{\mathbf{x}}_v⟩=⟨N_v,{\mathbf{x}}_u⟩$임을 보이면 된다. $⟨N,{\mathbf{x}}_u⟩=0$과 $⟨N,{\mathbf{x}}_v⟩=0$을 각각 $v$와 $u$에 대해 편미분하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{r}⟨N_v,{\mathbf{x}}_u⟩+⟨N,{\mathbf{x}}_{uv}⟩=0\\ ⟨N_u,{\mathbf{x}}_v⟩+⟨N,{\mathbf{x}}_{vu}⟩=0\end{array}$$

따라서 $⟨N_u,{\mathbf{x}}_v⟩=-⟨N,{\mathbf{x}}_{uv}⟩=⟨N_v,{\mathbf{x}}_u⟩$이다.

$T_p(S)$ 위에 정의된 이차 형식¹

$$I{I}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩$$

을 점 $p$에서 곡면 $S$의 제2 기본 형식(second fundamental form)이라 한다.

법곡률 (Normal Curvature)

곡면 $S$ 위의 정칙 곡선 $C$가 점 $p\in S$를 지난다고 하자. $C$의 점 $p$에서의 곡률을 $k$라 하고, $C$의 법선벡터를 $n$, $S$의 법선벡터를 $N$이라 할 때, $\cos \theta =⟨n,N⟩$이다. 이때 수 $k_n=k\cos \theta$를 점 $p$에서 곡선 $C\subset S$의 법곡률(normal curvature)이라 한다.

법곡률 $k_n$은 곡률벡터 $kn$을 곡면의 법선 방향으로 정사영한 것의 부호 있는 길이가 된다.

$s$를 호의 길이로 갖는 곡선 $\alpha (s)\subset S$가 $\alpha (0)=p$를 만족할 때, $⟨N(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩=0$이므로 $⟨N(s),{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩=-⟨d{N}_s({\alpha }^{\prime }(s)),{\alpha }^{\prime }(s)⟩$이고, 제2 기본 형식의 값은 다음과 같이 법곡률과 같다.

$$\begin{array}{rl}I{I}_p({\alpha }^{\prime }(0))& =-⟨d{N}_p({\alpha }^{\prime }(0)),{\alpha }^{\prime }(0)⟩\\ & =-⟨N^{\prime }(0),{\alpha }^{\prime }(0)⟩\\ & =⟨N(0),{\alpha }^{\prime \prime }(0)⟩\\ & =⟨N,kn⟩(p)=k_n(p)\end{array}$$

뫼니에 정리(Meusnier’s Theorem)

한 점 $p\in S$를 지나고 같은 접선을 갖는 곡면 $S$ 위의 모든 곡선들은 그 점에서 같은 법곡률을 갖는다.

이 정리에 의해 한 점 $p$에서 주어진 방향으로의 법곡률을 이야기할 수 있다. 단위벡터 $v\in T_p(S)$가 주어졌을 때, $v$와 $N(p)$를 포함하는 평면과 곡면 $S$의 교선을 점 $p$에서 $v$ 방향의 법절단면(normal section)이라 한다. 법절단면의 곡률은 그 방향의 법곡률의 절댓값과 같다.

주곡률과 주방향(Principal Curvatures and Principal Directions)

$d{N}_p$가 자기수반이므로, $T_p(S)$에는 $d{N}_p(e_1)=-k_1{e}_1$, $d{N}_p(e_2)=-k_2{e}_2$를 만족하는 정규직교기저 $\{e_1,e_2\}$가 존재한다. 이때 $k_1$과 $k_2$는 제2 기본 형식 $I{I}_p$가 단위 원 위에서 갖는 최댓값과 최솟값, 즉 법곡률의 극값이다.

• 최대 법곡률 $k_1$과 최소 법곡률 $k_2$를 점 $p$에서의 주곡률(principal curvatures)이라 하고, 이에 대응하는 고유벡터 $e_1,e_2$의 방향을 주방향(principal directions)이라 한다.

• 곡면 $S$ 위의 정칙 연결 곡선 $C$의 모든 점 $p\in C$에서 $C$의 접선이 주방향일 때, $C$를 $S$의 곡률선(line of curvature)이라 한다.²

• 올랭드 로드리그(Olinde Rodrigues): 연결된 정칙 곡선 $C\subset S$가 곡률선이 될 필요충분조건은 임의의 매개화 $\alpha (t)$에 대해 $N^{\prime }(t)=\lambda (t){\alpha }^{\prime }(t)$를 만족하는 것이다. 여기서 $N(t)=N\circ \alpha (t)$이고, $\lambda (t)$는 미분가능한 함수이다. 이 경우, $-\lambda (t)$는 ${\alpha }^{\prime }(t)$ 방향의 주곡률이다.

• 오일러 공식 (Euler’s Formula): 주방향 $e_1$과 각 $\theta$를 이루는 단위벡터 $v\in T_p(S)$ 방향의 법곡률 $k_n$은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{k}_n(v)& =I{I}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩\\ & =-⟨d{N}_p(e_1\cos \theta +e_2\sin \theta ),e_1\cos \theta +e_2\sin \theta ⟩\\ & =-⟨e_1{k}_1\cos \theta +e_2{k}_2\sin \theta ,e_1\cos \theta +e_2\sin \theta ⟩\\ & =k_1{\cos }^2\theta +k_2{\sin }^2\theta \end{array}$$

가우스 곡률과 평균 곡률 (Gaussian and Mean Curvatures)

점 $p\in S$에서 가우스 사상의 미분 $d{N}_p:T_p(S)\to T_p(S)$에 대하여,

• $d{\mathbf{N}}_p$의 행렬식(determinant)을 점 $p$에서 $S$의 가우스 곡률(Gaussian curvature) $K$라 한다.
• $d{\mathbf{N}}_p$의 대각합(trace)의 $-1/2$배를 점 $p$에서 $S$의 평균 곡률(mean curvature) $H$라 한다.

주곡률 $k_1,k_2$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}K& =\det (d{\mathbf{N}}_p)=k_1{k}_2\\ H& =-\frac{1}{2}\text{tr}(d{\mathbf{N}}_p)=\frac{k_1+k_2}{2}\end{array}$$

곡면 $S$ 위의 한 점은 다음과 같이 분류된다.

1. 타원점(Elliptic point): $\det (d{\mathbf{N}}_p)>0$³
2. 쌍곡점(Hyperbolic point): $\det (d{\mathbf{N}}_p)<0$⁴
3. 포물점(Parabolic point): $\det (d{\mathbf{N}}_p)=0$이고 $d{\mathbf{N}}_p\ne 0$⁵
4. 평탄점(Planar point): $d{\mathbf{N}}_p=0$⁶

• 점 $p\in S$에서 $k_1=k_2$이면 $p$를 배꼽점(umbilical point)이라 한다. 특히, 평탄점($k_1=k_2=0$)은 배꼽점이다. 연결된 곡면 $S$의 모든 점이 배꼽점이면, $S$는 평면의 일부이거나 구면의 일부이다.

점근 방향 (Asymptotic Directions)

점 $p\in S$에서 법곡률이 $0$이 되는 $T_p(S)$의 방향을 점근 방향(asymptotic direction)이라 한다. $S$ 위의 정칙 연결 곡선 $C$의 각 점 $p$에서 $C$의 접선 방향이 점근 방향일 때, $C$를 점근선(asymptotic curve)이라 한다.

• 타원점에서는 점근 방향이 존재하지 않는다.

듀팽의 지시곡선(Dupin Indicatrix)

점 $p$에서의 듀팽 지시곡선은 $I{I}_p(w)=\pm 1$을 만족하는 벡터 $w\in T_p(S)$들의 집합이다. $\{e_1,e_2\}$를 주방향의 정규직교기저라 하고 $w=\xi e_1+\eta e_2$라 하면, 지시곡선의 방정식은 다음과 같다.

$$k_1{\xi }^2+k_2{\eta }^2=\pm 1$$

• 타원점 ($K>0$): 지시곡선은 타원이다.
• 쌍곡점 ($K<0$): 지시곡선은 한 쌍의 공통 점근선을 갖는 두 쌍곡선이다. 이 점근선 방향이 바로 점근 방향이다. 따라서 쌍곡점에서는 정확히 두 개의 점근 방향이 존재한다.
• 포물점 ($K=0,H\ne 0$): 지시곡선은 한 쌍의 평행한 직선이다. 이 직선들의 공통 방향이 유일한 점근 방향이다.

켤레 (conjugate)

점 $p\in S$에서 영이 아닌 두 벡터 $w_1,w_2\in T_p(S)$가 $⟨d{N}_p(w_1),w_2⟩=0$을 만족할 때,⁷ 이 두 벡터는 켤레(conjugate)이라고 한다. 점 $p$에서 두 방향 $r_1,r_2$와 각각 평행한 영벡터가 아닌 두 벡터 $w_1,w_2$가 켤레이면, $r_1,r_2$는 켤레 방향(conjugate directions)이라고 한다.

• 주방향은 항상 서로 켤레이다. 점근 방향은 자기 자신과 켤레이다. 배꼽점이 아닌 점에서, 두 방향 $r_1,r_2$가 주방향 $e_1$과 이루는 각을 각각 $\theta ,\varphi$라 할 때, 두 방향이 켤레일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$k_1\cos \theta \cos \varphi =-k_2\sin \theta \sin \varphi$$

Footnotes

1. 이차 형식은 자기수반 행렬($A=A^{\ast }$)에 대해 정의되는 함수 $Q(x)=⟨Ax,x⟩=x^{\ast }Ax$이며, 이때에만 그 값이 항상 실수이고 내적 구조를 기반으로 해석 가능하다. ↩

2. 곡률선은 곡면에서 가장 많이 혹은 가장 적게 구부러지는 방향으로만 움직이는 곡선이다. ↩

3. 두 주곡률은 같은 부호를 갖는다. ↩

4. 두 주곡률은 다른 부호를 갖는다. ↩

5. $K=0$이지만 주곡률 중 하나는 $0$이 아니다. ↩

6. $K=H=0$ ↩

7. 두 벡터가 켤레라는 것은, 한 벡터 방향으로의 법선의 변화가, 다른 벡터 방향에서는 감지되지 않는다는 것이다. ↩