1-4. The Vector Product in R³

벡터곱 (Vector Product)

${\mathbb{R}}^3$에서 두 벡터 $u,v$의 벡터곱 또는 외적(cross product)은 다음 조건을 만족하는 벡터 $u\wedge v\in {\mathbb{R}}^3$으로 정의된다:

$$(u\wedge v)\cdot w=\det (u,v,w)\text{for all }w\in {\mathbb{R}}^3.$$

• $u\wedge v$는 $u,v$가 생성하는 평면에 수직인 벡터이다.
• $|u\wedge v|$는 $u,v$가 생성하는 평행사변형의 넓이이다.
• $(u,v,u\wedge v)$는 ${\mathbb{R}}^3$의 양의 방향 기준을 이루는 삼중 기저이다.

벡터곱의 성질

1. $u\wedge v=-v\wedge u$
2. $(au+bw)\wedge v=a(u\wedge v)+b(w\wedge v)$
3. $u\wedge v=0⟺u,v$가 선형 종속
4. $u\wedge v\perp u=0$, $u\wedge v\perp v=0$

외적의 크기

$(u\wedge v)\cdot (x\wedge y)=\left|\begin{array}{cc}u\cdot x& v\cdot x\\ u\cdot y& v\cdot y\end{array}\right|=(u\cdot x)(v\cdot y)-(u\cdot y)(v\cdot x)$이므로, $|u\wedge v{|}^2=\left|\begin{array}{cc}u\cdot u& u\cdot v\\ v\cdot u& v\cdot v\end{array}\right|=|u{|}^2|v{|}^2-(u\cdot v{)}^2=|u{|}^2|v{|}^2(1-{\cos }^2\theta )$이다.

따라서,

$$|u\wedge v|=|u||v|\sin \theta$$

여기서 $\theta$는 $u,v$ 사이의 각이다. 즉, 외적의 크기는 두 벡터가 생성하는 평행사변형의 넓이이다.

벡터곱의 미분

벡터 함수 $u(t),v(t)$가 미분 가능할 때,

$$\frac{d}{dt}(u(t)\wedge v(t))=u^{\prime }(t)\wedge v(t)+u(t)\wedge v^{\prime }(t)$$

삼중 벡터곱 항등식

$$(u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u$$