1만 더했을 뿐인데

$\frac{1}{x^3}$의 적분

$\frac{1}{x^3}$을 적분하려면, 기본적인 적분 공식($\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$)을 사용해 비교적 간단하게 적분할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x^3}dx& =\int x^{-3}dx\\ & =\frac{x^{-2}}{-2}+C\\ & =-\frac{1}{2x^2}+C\end{array}$$

$\frac{1}{x^3+1}$의 적분

그렇다면 분모에 1을 더해서 적분하면 어떻게 될까요?

$$\int \frac{1}{x^3+1}dx$$

우선 $\frac{1}{x^3+1}$을 부분 분수로 바꾸어준 후 각각의 항을 적분해보겠습니다.

$$\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}$$

첫번째 항은 분모를 이차항의 완전제곱식으로 바꾼 후 삼각치환을 이용해 적분하고,

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}dx& =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\\ & \\ \int \frac{1}{x^2-x+1}dx& =\int \frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)+C\\ \because \int \frac{1}{a^2+x^2}dx& =\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$$

두번째 항은 분모에 대해 치환적분합니다.

$$\begin{array}{rl}\int -\frac{1}{6}\cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx& =-\frac{1}{6}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx\\ & =-\frac{1}{6}\ln |x^2-x+1|+C\\ \because (x^2-x+1{)}^{\prime }& =2x-1,\int \frac{1}{x}dx=\ln x\end{array}$$

마지막항을 로그적분법으로 적분한 후 식을 합쳐주면

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}dx& =\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}dx\\ & =\frac{1}{3}\log |x+1|+C\end{array}$$

이렇게 적분해낼 수 있습니다.

$$\int \frac{1}{x^3+1}dx=\frac{1}{6}\left(-\ln (x^2-x+1)+2\ln (x+1)+2\sqrt{3}{\tan }^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right)+C$$

참 쉽죠?