추측을 함부로 하면 안되는 이유

흔히 $\text{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$라 불리는 이 함수는 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분하면 $\pi$가 됩니다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx& =2{\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx\\ & =2{\int }_0^{\infty }\sin x\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-xt}dt\right)dx\\ & =2{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }\sin x{e}^{-tx}dxdt\\ & =2{\int }_0^{\infty }\frac{dt}{t^2+1}\\ & =2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi .\end{array}$$

비슷한 형태로 $x$축 방향으로 $3$배만큼 확대한 함수를 곱해도 신기하게 적분값은 변화가 없습니다.

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\pi$$ $$\because \mathcal{F}\left\{\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\right\}=\delta (f-1/3)+\delta (f+1/3)$$

같은 방법으로 계속 함수를 곱해도 적분값은 변하지 않아서 이 현상이 계속 일어날 것 처럼 보이지만

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}dx=\pi \\ \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}\frac{\sin (x/7)}{x/7}dx=\pi \\ \\ ⋮\\ \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/11)}{x/11}dx=\pi \\ \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\pi \\ \end{array}$$

갑자기 $15$부터는 이러한 규칙성이 미묘하게 깨지는 것을 확인할 수 있습니다.¹

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}dx\\ & \\ & =\frac{935615849426881477393075728938}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \\ & \approx \pi -4.62\times 10^{-11}\end{array}$$

이는 디랙 델타함수의 성질에 의해 역수의 합이 $1$보다 크거나 작을 때 생기는 차이에 따라 발생하는 현상입니다.

$$\begin{array}{c}\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{13}=0.9551\cdots <1\\ \\ \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{15}=1.0218\cdots >1\end{array}$$

당연해 보이는 추측에도 한 번씩 의심을 해보는 것이 어떨까요?

Dirac Delta

Dirac 델타 함수는 특정 지점에서 무한히 높고, 그 외의 지점에서는 0인 함수입니다. 이 함수의 적분값은 1입니다.

$$\mathcal{F}\left\{\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\right\}=\delta (f-1/3)+\delta (f+1/3)$$

이 식은 주어진 함수의 Fourier 변환 결과가 두 개의 Dirac 델타 함수의 합이라는 것을 의미합니다. 이 델타 함수들은 $f=\pm 1/3$에서 발생합니다. 이제 역변환을 생각해봅시다.

두 개의 델타 함수를 역변환하면 원래의 함수가 되고, 이 함수의 적분값은 델타 함수의 적분값인 1을 두 번 더한 값, 즉 2가 됩니다. 그런데 원래의 적분 문제에서는 $\pi$가 곱해져 있으므로, 최종적인 적분값은 $2\times \pi /2=\pi$가 됩니다.

Dirac Delta function

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left(\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\right)\mathrm{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^1\mathrm{d}k{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}\\ & =\pi {\int }_{-1}^1\mathrm{d}k\delta (k)=\pi \end{array}$$

Footnotes

1. Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals ↩