모든 세자리 수를 만드는 분수

## 특별한 배열을 만드는 분수들

$\frac{1}{998001}$은 소수로 나타내면 매우 특별한 결과를 가집니다. 소수점 아래에는 $000$부터 $999$까지의 모든 세자리 수를 나열하는데 하필 $998$만 누락됩니다. 심지어 이 결괏값은 계속 반복되는 순환소수죠.¹

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{998001}=0.& 000001002003004\cdots 995996997999\\ & 000001002003004\cdots 995996997999\cdots \end{array}$$

여기서 주목해야 할 점은, $998001=999^2$이라는 사실입니다. 같은 패턴을 따라, $\frac{1}{9^2}$과 $\frac{1}{99^2}$을 살펴보면

$$\begin{array}{c}\frac{1}{9^2}=0.012345679\cdots \\ \frac{1}{99^2}=0.0001020304\cdots 95969799\cdots \\ \frac{1}{999^2}=0.000001002003004\cdots 995996997999\cdots \end{array}$$

$\frac{1}{9^2}$의 경우 $8$을 제외한 모든 한자리 숫자를 반복해서 생성하고, $\frac{1}{99^2}$의 경우 $98$을 제외한 모든 두자리 숫자를 반복하여 생성합니다. 왜 이러한 현상이 일어날까요?

우선 나눗셈을 통해 결과를 관찰해보겠습니다. 나눗셈을 하면 소수점 아래에서 규칙적으로 숫자가 유지되다가 $9$에서 $1$을 뺀 수에서는 더 이상 자리수가 부족해지지 않게 됩니다. 그러므로 바로 다음 수인 $9$가 나오게되죠. 이 다음부터는 다시 $1$이 생기게 되면서 앞선 배열이 반복되는 것을 알 수 있습니다.²

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& 0& .& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 9& 0& \cdots \\ 9^2& 1& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ & & & 8& 1& & & & & & & & & \\ & & & 1& 9& 0& & & & & & & & \\ & & & 1& 6& 2& & & & & & & & \\ & & & & 2& 8& 0& & & & & & & \\ & & & & 2& 4& 3& & & & & & & \\ & & & & & 3& 7& 0& & & & & & \\ & & & & & 3& 2& 4& & & & & & \\ & & & & & & 4& 6& 0& & & & & \\ & & & & & & 4& 0& 5& & & & & \\ & & & & & & & 5& 5& 0& & & & \\ & & & & & & & 4& 8& 6& & & & \\ & & & & & & & & 6& 4& 0& & & \\ & & & & & & & & 5& 6& 7& & & \\ & & & & & & & & & 7& 3& 0& & \\ & & & & & & & & & 7& 2& 9& & \\ & & & & & & & & & & & 1& 0& \cdots \end{array}$$

왜 인지는 모르겠지만 $1$이 더해지고 빼지는 과정에 무엇인가 있는 것 처럼 보이죠.

$9^2-1^2+1=(9+1)(9-1)+1=80+1$

결과를 미리 알고 본다면 순환하는 무한소수를 만드는 방법을 이용하여 조금 더 쉽게 같은 결과를 얻어낼 수 있습니다.

$0.012345679$를 $s$라 두면 $s$에 $1000000000$(십억)을 곱한 수와 $s$를 빼면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}1000000000s-s& =999999999s\\ & =12345679\end{array}$$

$s$의 계수는 각 자리수가 $9$이고 아홉자리 이므로, $9^2$으로 소인수분해할 수 있습니다. 이때,

$$9^2\times 1234579=999999999$$

이므로, 결과적으로

$$s=\frac{1}{9^2}$$

이 된다는 것을 알 수 있습니다.

피보나치 수열을 생성하는 신기한 분수

반대로 $8$을 이용하여 새로운 수열을 찾는 방법도 있습니다. 예를들어 $\frac{1}{9899}$을 보겠습니다.

$$\begin{array}{r}\frac{1}{9899}=0.00010102030508132134559046\cdots \end{array}$$

이 수의 소수 부분을 보면 두 자리 마다 반복하며 $55$까지의 피보나치 수열을 만드는 것을 볼 수 있습니다. 이 규칙에 따라 가운데 $8$을 적고 $8$앞에는 $9$를 두 번, 뒤에는 세 번 적은 수로 $1$을 나누어 보면 세 자리 마다 반복하며 $988$까지의 피보나치 수열을 만들게 됩니다.

$$\begin{array}{r}\frac{1}{998999}=0.0000010010020030050080130210340550891442333776109885995\cdots \end{array}$$

이러한 규칙은 더 큰 수로 나눈다면 더 정확한 값을 찾을 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}1/999,998,999,999=0.& 000000000001000001000002000003\\ & 000005000008000013000021000034\\ & 000055000089000144000233000377\\ & 000610000987001597002584004181\\ & 006765010946017711028657046368\\ & 075025121393196418317811514229832041\cdots \end{array}$$

그렇다면 이러한 현상은 단지 우연으로 숫자를 잘 찾은 것 뿐일까요?

생성함수

생성함수는 수열을 표현하는 간단하고도 강력한 도구입니다. 복잡한 수열이나 급수를 단순한 함수 형태로 나타내는 방법으로 수열의 일반항을 찾거나, 수열 간의 관계를 파악하는 것이 더 쉬워집니다.

예를들어 다음과 같이 피보나치 수열을 계수로 하는 다항식이 있다고 해보겠습니다.

$$1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+...=\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n$$

피보나치 수열의 처음 두 항은 $1$이며$F_0=F_1=1$ 그 뒤의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열$F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$입니다. 따라서 이 다항식에서 보면 피보나치 수열의 $n$항일때, 차수가 $n$이므로 항이 커질때마다 차수가 커지는 것을 알 수 있습니다. 이 성질들을 이용하여 식을 정리하기 위해 $(1-z-z^2)$을 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n$에 곱해보겠습니다.

$$\begin{array}{rl}(1-z-z^2)\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n& =\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n-\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^{n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^{n+2}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n-\sum _{n=1}^{\infty }{F}_{n-1}{z}^n-\sum _{n=2}^{\infty }{F}_{n-2}{z}^n\\ & =F_0+(F_1-F_0)z+\sum _{n=2}^{\infty }(F_n-F_{n-1}-F_{n-2})z^n\end{array}$$

양 변에 $(1-z-z^2)$을 곱한 후 급수의 변수를 조정하면 식을 비교적 간단하게 작성할 수 있습니다. 이 때, $F_1=F_0$이고 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$이므로 결과적으로 피보나치 수열을 이용한 급수를 간단한 유리함수로 표현할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}(1-z-z^2)\sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n& =F_{0=1}\\ \sum _{n=0}^{\infty }{F}_n{z}^n& =\frac{1}{1-z-z^2}\end{array}$$

이런 식으로 수학은 복잡한 문제를 단순화시켜 우리에게 새로운 시각을 제공합니다. 이 분수의 성질을 보기 위해 $z=10^{-2}$을 대입해보겠습니다.

$$\frac{1}{1-10^{-2}-10^{-4}}=F_0+10^{-2}{F}_1+10^{-4}{F}_2+\cdots$$

그 후 좌변을 간단하게 바꾸기 위해 분자와 분모에 $10^4$를 곱하면, 다음과 같습니다.

$$\frac{10^4}{10^4-10^2-1}=\frac{10^4}{9899}$$

여기서 분모에 나타나는 $9899$가 바로 우리가 처음 보았던 분모와 일치합니다. 따라서 앞선 결과에서 소수점 아래에 피보나치 수열의 일반항이 나오는 것을 깔끔하게 구해낼 수 있죠.

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{9899}& =\frac{0}{10^2}+\frac{F_0}{10^4}+\frac{F_1}{10^6}+\frac{F_2}{10^8+\cdots }\\ & =0+0.0001+0.000001+0.00000002+\cdots \\ & =0.00010102030508132134559046\cdots \end{array}$$

테일러 전개와 생성함수

앞선 결과들을 보면 하나, 둘, 셀 수 있는 이산적인 수열임에도 불구하고 함수와 같이 연속적인 양과 관련이 있어보입니다. 심지어 이러한 급수표현의 함수를 우리는 테일러 급수에서 너무나 자주 볼 수 있었죠. 그래서 이러한 테일러 전개로 생성함수를 찾을 수는 없을까요? 다시 처음에 보았던 분수를 보도록 하겠습니다.

$\frac{1}{9^2}$. $\frac{1}{99^2}$, $\frac{1}{999^2}$ 모두, $10$의 거듭제곱에서 $1$을 뺀 수를 제곱한 후 역수를 취한 형태를 가집니다. 따라서 $10$을 변수로 바꿔 함수로 표현하면 $\frac{1}{(1-z^n{)}^2}$이라 나타낼 수 있습니다. 우선 간단하게 $n=1$일 때의 생성 함수를 보겠습니다.

$$\begin{array}{c}z=10\\ \\ \frac{1}{9^2}=\frac{1}{{\left(1-10\right)}^2}=\frac{1}{(1-z{)}^2}\\ \frac{1}{99^2}=\frac{1}{{\left(1-10^2\right)}^2}=\frac{1}{(1-z^2{)}^2}\\ \frac{1}{999^2}=\frac{1}{{\left(1-10^3\right)}^2}=\frac{1}{(1-z^3{)}^2}\\ \\ ⋮\\ \\ \frac{1}{(1-z^n{)}^2}\end{array}$$

테일러 급수는 $x=a$ 주변에서 함수를 다항식으로 근사함으로써 원하는 위치에서 함수의 값을 예측하는 데 사용됩니다. 이러한 다항식은 $x=a$에 가까워질수록 원래 함수와 비슷한 값을 가지게 됩니다.

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

$\frac{1}{(1-z{)}^2}$를 $n$번 미분한 결과는 다음과 같은 패턴을 가집니다.

$$\frac{d^n}{d{z}^n}\left(\frac{1}{(1-z{)}^2}\right)=\frac{(n+1)!}{(1-z{)}^{n+2}}$$

이제 이 미분한 결과에 $z=0$을 대입한 후,

$${\frac{(n+1)!}{(1-z{)}^{n+2}}|}_{z=0}=(n+1)!$$

마지막으로 이 값을 $n!$으로 나누어 계수를 구할 수 있습니다.

$$a_n=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1$$

따라서 생성 함수 $\frac{1}{(1-z{)}^2}$의 테일러 급수는 다음과 같습니다.

$$\frac{1}{(1-z{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^n$$

이제 이 식에 $z=\frac{1}{10}$을 대입해 전개해보겠습니다.

$$\frac{1}{{\left(1-\frac{1}{10}\right)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1){\left(\frac{1}{10}\right)}^n$$

좌변에서는 우리가 찾고자했던 분모가 나오고 우변은 규칙적으로 분수의 덧셈이 있는 형태로 정리가 됩니다.

$$\frac{10^2}{9^2}=1+\frac{2}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\cdots$$

정확한 값을 계산하기 위해 양변을 $10^2$으로 나누어 주면 $\frac{1}{9^2}$을 다음과 같이 급수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 이 급수의 규칙성을 보면 분자는 $1$씩 커지며 분모의 차수는 분자보다 $1$ 큰 수라는 것을 어렵지 않게 확인할 수 있습니다. 소수 배열의 특징을 관찰하기 위해 우변을 소수로 표현해 결과를 보겠습니다.

$$\frac{1}{9^2}=\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\frac{4}{10^5}+\cdots$$

앞서 본 규칙과 같이 소수들로 표현하면 소수점 아래 마지막 수는 $1$부터 $1$씩 커지는 수가 나오면서 그 수만큼 앞에 $0$이 붙게 됩니다. $0$ 이 너무 많아 눈이 아프지만 소수 표현을 조금 더 자세히 더해보도록 하겠습니다. 급수의 합은 소수들의 합으로도 나타낼 수 있으므로

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{10^2}& =0.01\\ \frac{2}{10^3}& =0.002\\ \frac{3}{10^4}& =0.0003\\ \frac{4}{10^5}& =0.00004\\ \frac{5}{10^6}& =0.000005\\ & ⋮\end{array}$$

다음과 같이 세로로 더해보도록 하겠습니다. 세로로 더하는 과정을 보면 $1$부터 $7$까지는 더해지는 값이 없으므로 그대로 나오는 반면 $10$번째 항에서는 자리수가 올라가며 앞선 $9$와 더해지게 됩니다. 이 과정에서 $9$가 $10$이 되므로 다시 자리수가 올라가서 $8$이 $9$로 바뀌게 됩니다. 이후엔 다시 앞선 결과가 반복되게 되죠.

$$\begin{array}{ccccccccccccccc}& 0& .& 0& 1& & & & & & & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 2& & & & & & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 3& & & & & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 4& & & & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 5& & & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 6& & & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 7& & & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 8& & & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 9& & \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& \\ & 0& .& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ +& & & & & & & & ⋮& & & & & & \\ & 0& .& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 9& 0& 1& \cdots \end{array}$$

이렇게 $\frac{1}{9^2}$이 $0$부터 $9$까지의 수 중 $8$을 제외하며 반복되는 이유를 설명할 수 있으며 같은 방법으로 $\frac{1}{99^2}$이나 $\frac{1}{999^2}$도 설명할 수 있습니다. 수학은 언제나 우리에게 새로운 놀라움을 선사합니다. 여러분들이 어떤 특정한 숫자배열이 필요하실 때 이러한 성질을 이용해보시는 것은 어떨까요?

다른 배열들

$9^2$인 $81$로 $1$을 나누면 소수점 아래 수들은 $0$부터 $9$까지의 $8$을 제외한 모든 자연수를 출력합니다. 같은 방법으로 $99^2$으로 $1$을 나누면 소수점 아래 수들은 $0$부터 $99$까지의 $98$을 제외한 모든 자연수를 순서대로 출력하고 $999^2$으로 $1$을 나누면 소수점 아래 수들은 $0$부터 $999$까지의 수 중 $998$만 제외하고 모든 자연수가 나오죠.

그리고 이 배열은 계속 순환하는데요. 이는 우연일까요?

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{9899}=0.& 000101020305\\ & 08132134559046\cdots \end{array}$$

소수 부분을 보면 두 자리 마다 반복하며 $55$까지의 피보나치 수열을 만드는 것을 볼 수 있습니다. 비슷하게 가운데 $8$을 적고 $8$앞에는 $9$를 두 번, 뒤에는 세 번 적은 수로 $1$을 나누어 보면 세 자리 마다 반복하며 $988$까지의 피보나치 수열을 만들게 됩니다.

$$\begin{array}{rl}1/998999=0.& 000001001002003\\ & 005008013021034\\ & 055089144233377\\ & 6109885995\cdots \end{array}$$

이러한 규칙은 더 큰 수로 나눈다면 더 정확한 값을 찾을 수 있는데요.

$$\begin{array}{rlr}1/999,998,999,999=& & 0.000000000001000001000002\\ & & 000003000005000008000013\\ & & 000021000034000055000089\\ & & 000144000233000377000610\\ & & 000987001597002584004181\\ & & 006765010946017711028657\\ & & 046368075025121393196418\\ & & 317811514229832041\cdots \end{array}$$

이러한 현상은 단지 우연으로 숫자를 잘 찾은 것 뿐일까요?

Footnotes

1. up to 1000 decimal of 1/998801 ↩

2. 1/81의 결과 ↩