이산 확률 변수와 이항분포

이산확률변수와 확률질량함수

확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.
이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수라고 합니다.

P (X = x_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)

확률질량함수의 성질

확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0 \leq p_{i} \leq 1$
확률의 총합은 항상 1입니다: $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$

이산확률변수의 기댓값(평균)

확률질량함수 $P (X = x_{i}) = p_{i}$ 일 때, 확률변수 $X$ 의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E (X)$ 의 $E$ 는 기댓값을 뜻하는 Expectation의 첫 글자입니다. $E (X)$ 는 평균을 나타내는 $m$ 으로 표기되기도 합니다.

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3} + \dots + x_{n} p_{n}

이산확률변수의 분산과 표준편차

$X$ 의 기댓값을 $E (X) = m$ 이라 할 때, 확률변수 $X$ 의 분산은 다음과 같이 정의됩니다.

V (X) = E ((X - m)^{2})

분산 $V (X)$ 의 양의 제곱근을 $X$ 의 표준편차라 하며, 다음과 같이 나타냅니다:

σ (X) = V (X)

$V (X)$ 의 $V$ 는 분산을 뜻하는 Variance의 첫 글자입니다. $σ (X)$ 는 표준편차를 뜻하는 standard deviation의 첫 글자에 해당하는 그리스 문자입니다.

$X$ 의 분산 $V (X)$ 은 다음 식으로 계산할 수 있습니다.

V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}

확률변수 의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$ 와 두 상수 $a, b (a \neq = 0)$ 에 대해 다음이 성립합니다.

평균: $E (a X + b) = a E (X) + b$
분산: $V (a X + b) = a^{2} V (X)$
표준편차: $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$

이항분포

한 번의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 로 일정할 때, $n$ 번의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$ 라고 정의합니다. 이 확률변수 $X$ 의 확률질량함수는 다음과 같습니다.

P (X = x) =_{n} C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x} (x = 0, 1, 2, \dots, n, q = 1 - p)

확률변수 $X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

X P (X = x) 0_{n} C_{0} \cdot q^{n} 1_{n} C_{1} \cdot p^{1} \cdot q^{n - 1} 2_{n} C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{n - 2} \dots \dots n_{n} C_{n} \cdot p^{n}

이와 같은 확률분포를 이항분포라고 하며, 기호로 $B (n, p)$ 로 나타냅니다. 확률변수 $X$ 는 이항분포 $B (n, p)$ 를 따른다고 합니다. 이항정리에 의해 확률질량함수의 모든 확률의 합은 1이 됩니다. $_{n} C_{0} q^{n} +_{n} C_{1} p^{1} q^{n - 1} + \dots +_{n} C_{n} p^{n} = (p + q)^{n} = 1$

이항분포의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$ 가 이항분포 $B (n, p)$ 를 따를 때, 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같습니다:

평균: $E (X) = n p$
분산: $V (X) = n pq$
표준편차: $σ (X) = n pq (단, q = 1 - p)$

큰 수의 법칙

어떤 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 수학적 확률이 $p$ 이고, $n$ 번의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 $X$ 라고 할 때, $n$ 이 한없이 커질수록 상대도수 $\frac{X}{n}$ 는 이론적 확률 $p$ 에 수렴합니다. 이를 큰 수의 법칙이라고 합니다.

n \to \infty lim P (\frac{X}{n} - p < h) = 1 (충분히 작은 h > 0)

예제

숫자 $1, 1, 2, 2, 4$ 가 하나씩 적힌 $5$ 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $2$ 개의 공에 적혀 있는 두 수의 합을 확률변수 $X$ 라 하자. $P (X \geq 4)$ 의 값은?

2. 흰 공 $3$개, 검은 공 $3$개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 흰 공의 개수를 $a$, 검은 공의 개수를 $b$라 하자. $ab$의 값을 확률변수 $X$라 할 때, $E(X)$의 값은?

3. 이산확률변수 $X$에 대하여 $E(X) = 4$, $E((X - 4)^2) = 9$일 때, $E(X^2) - \sigma(X)$의 값은?

4. 이산확률변수 $X$에 대하여 $E(4X + 1) = E(X^2) + 1 = 5$일 때, $\sigma(\sqrt{3}X - \sqrt{3})$의 값은?

5. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, \frac{1}{3})$를 따르고 $E(X^2) = 40$일 때, 자연수 $n$의 값은?

Ray

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