연속 확률 변수와 정규 분포

연속확률변수와 확률밀도함수

어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가질 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. $a\le X\le b$에서 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대해 정의된 함수 $f(x)$가 아래 세 가지 조건을 만족하면 이를 확률밀도함수라 합니다.

1. $f(x)\ge 0$
2. $y=f(x)$의 그래프와 $x$-축 및 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 1입니다.

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$$

3. 특정 구간에서의 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

정규분포

실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 아래 식으로 주어질 때, 이를 정규분포라고 합니다. 이때 $m$은 평균, $\sigma$는 표준편차를 나타냅니다.

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

확률밀도함수 $f(x)$의 그래프는 종 모양의 곡선이며, 이를 정규분포 곡선이라고 합니다. 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포는 기호로 $N(m,{\sigma }^2)$로 나타냅니다. $e$는 자연상수로 $e\approx 2.71828$이며, $N(m,{\sigma }^2)$에서 $N$은 Normal Distribution을 의미합니다.

정규분포의 성질

정규분포 $N(m,{\sigma }^2)$를 따르는 확률변수 $X$의 정규분포 곡선은 다음 성질을 가집니다.

1. 직선 $x=m$에 대해 대칭이고 $x$-축이 점근선인 종 모양의 곡선입니다.
2. 곡선과 $x$-축 사이의 전체 넓이는 1입니다.
3. $\sigma$의 값이 일정할 때, $m$의 값이 달라지면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모양은 변하지 않습니다.
4. $m$의 값이 일정할 때, $\sigma$의 값이 클수록 가운데 부분의 높이는 낮아지고 곡선은 옆으로 퍼집니다.

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표준정규분포

평균이 0, 분산이 1인 정규분포 $N(0,1)$을 표준정규분포라 합니다. 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $N(0,1)$를 따를 때, 확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

정규분포의 표준화

정규분포를 따르는 확률변수 $X$를 표준정규분포로 변환하기 위해 다음과 같이 표준화합니다.

$$Z=\frac{X-m}{\sigma }$$

이를 통해 다음 관계가 성립합니다.

$$P(a\le X\le b)=P\left(\frac{a-m}{\sigma }\le Z\le \frac{b-m}{\sigma }\right)$$

이항분포와 정규분포의 관계

확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(np,npq)$를 따릅니다. 여기서 $q=1-p$입니다. 일반적으로 $np\ge 5$, $nq\ge 5$일 때 이 근사가 유효합니다.

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예제

1. 연속확률변수 $X$가 가지는 값의 범위는 $0\le X\le 4$이고, 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 $f(x)=\frac{x+a}{16}(0\le x\le 4)$이다. $P(0\le X\le b)=\frac{3}{8}$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.)
   

2. 확률변수 $X$가 평균이 $m$인 정규분포를 따르고 $P(m - 1 \leq X \leq m + 2) = 0.7$, $P(X \leq m + 1) = 0.8$일 때, $P(|X - m| \geq 2)$의 값은?



3. 확률변수 $X$가 정규분포 $N(30, 4^2)$을 따를 때, $P(|X - 29| \leq 2)$의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?



4. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(192, p)$를 따르고 $E(X) < 50$, $V(X) = 36$일 때, $P(51 \leq X \leq 54)$의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?



5. 어느 고등학교의 수학 시험에 응시한 수험생의 시험 점수는 평균이 $m$점, 표준편차가 $10$점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 수학 시험에 응시한 수험생 중 임의로 선택한 수험생 한 명의 점수가 $65$점 이상일 확률이 $0.9032$일 때, $m$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?