일대일 함수

$x_{1} \neq = x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ 을 만족하면 일대일(one to one)이라 한다.

$f (X) = Y$ 을 만족하면 전사(onto)라 한다.

일대일 함수 중 $f (X) = Y$ 조건을 만족하는 함수를 일대일 대응(one to one, onto)이라 부른다.

예제 1

$f$ 와 $g$ 가 일대일 함수이면 $g \circ f$ 도 일대일 함수이다.¹
$g \circ f$ 가 일대일 함수이면 $f$ 는 일대일 함수이다.²
$g \circ f$ 가 일대일 함수이면 $g$ 는 일대일 함수이다.³
$f$ 와 $g$ 가 전사 함수이면 $g \circ f$ 도 전사 함수이다.⁴
$g \circ f$ 가 전사 함수이면 $f$ 는 전사 함수이다.⁵
$g \circ f$ 가 전사 함수이면 $g$ 는 전사 함수이다.⁶
$f$ 가 함수이면, $∣ X ∣ = ∣ f (X) ∣$ 이다.⁷
$f$ 가 일대일 함수이면, $∣ X ∣ = ∣ f (X) ∣$ 이다.⁸
$f$ 가 전사 함수이면, $∣ X ∣ = ∣ f (X) ∣$ 이다.⁹

예제 2

$f : A \to B$ , $A_{i} \subset A$ , $B_{i} \subset B$ 일 때, ( $f^{- 1}$ 를 역상(preimage)이라 하자.)

$A_{0} = f^{- 1} (f (A_{0}))$ ¹⁰
$B_{0} = f (f^{- 1} (B_{0}))$ ¹¹
10, 11은 어떤 조건에서 성립하는가?
$B_{0} \subseteq B_{1} \Rightarrow f^{- 1} (B_{0}) \subseteq f^{- 1} (B_{1})$ ¹²
$f^{- 1} (B_{0} \cup B_{1}) = f^{- 1} (B_{0}) \cup f^{- 1} (B_{1})$ ¹³
$f^{- 1} (B_{0} \cap B_{1}) = f^{- 1} (B_{0}) \cap f^{- 1} (B_{1})$ ¹⁴
$f^{- 1} (B_{0} - B_{1}) = f^{- 1} (B_{0}) - f^{- 1} (B_{1})$ ¹⁵
$A_{0} \subseteq A_{1} \Rightarrow f (A_{0}) \subseteq f (A_{1})$ ¹⁶
$f (A_{0} \cup A_{1}) = f (A_{0}) \cup f (A_{1})$ ¹⁷
$f (A_{0} \cap A_{1}) = f (A_{0}) \cap f (A_{1})$ ¹⁸
$f (A_{0} - A_{1}) \supseteq f (A_{0}) - f (A_{1})$ ¹⁹
14, 15, 18은 임의의 합집합, 교집합에도 성립하는가? ²⁰

True, $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2})) \Rightarrow f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ↩
True, $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2})) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ↩
False, $f (1) = 1, g (1) = 1, g (2) = 1$ 이면 $g \circ f$ 는 일대일 함수이지만 $g$ 는 일대일 함수가 아니다. ↩
True, $g (f (X)) = Z$ ↩
False, 3번과 같은 예시 ↩
True, $g (f (X)) = Z$ ↩
False, $∣ X ∣ \geq ∣ f (X) ∣$ ↩
True ↩
False, $∣ X ∣ \geq ∣ f (X) ∣$ ↩
False, $A_{0} \subseteq f^{- 1} (f (A_{0}))$ , 단, 등호는 $f$ 가 단사일 때만 성립한다. $A = {1, 2}, B = {a}$ , $f (1) = a, f (2) = a$ , $A_{0} = {1}$ 라고 하자. 이때 $f (A_{0}) = {a}$ , $f^{- 1} (f (A_{0})) = f^{- 1} ({a}) = {1, 2}$ 이므로 $A_{0} = {1} ⊊ {1, 2} = f^{- 1} (f (A_{0}))$ 이다. 임의의 $x \in A_{0}$ 를 고르면, $f (x) \in f (A_{0})$ 이므로 $x \in f^{- 1} (f (A_{0}))$ . 따라서 $A_{0} \subseteq f^{- 1} (f (A_{0}))$ 이다. 하지만 $f$ 가 단사가 아니라면, $f (x) = f (y)$ 이면서 $x \in A_{0}, y \in / A_{0}$ 인 경우가 가능하므로 $f^{- 1} (f (A_{0}))$ 에 $A_{0}$ 이외의 원소가 포함될 수 있다. 이 경우 포함은 성립하지만 동치는 성립하지 않는다. 반대로 $f$ 가 단사이면, $f (x) = f (y) \Rightarrow x = y$ 이므로 $f^{- 1} (f (A_{0})) = A_{0}$ 가 된다. ↩
False, $f (f^{- 1} (B_{0})) \subseteq B_{0}$ , 단, 등호는 $f$ 가 전사일 때만 성립한다. $A = {1}, B = {a, b}$ , $f (1) = a$ , $B_{0} = {a, b}$ 라고 하자. 이때 $f^{- 1} (B_{0}) = {x \in A ∣ f (x) \in {a, b}} = {1}$ , 따라서 $f (f^{- 1} (B_{0})) = {f (1)} = {a}$ , 그런데 $B_{0} = {a, b}$ 이므로 $f (f^{- 1} (B_{0})) = {a} ⊊ {a, b} = B_{0}$ 이다. 임의의 $y \in f (f^{- 1} (B_{0}))$ 라고 하면, 어떤 $x \in f^{- 1} (B_{0})$ 에 대해 $y = f (x)$ 인데, $x \in f^{- 1} (B_{0})$ 이므로 $f (x) \in B_{0}$ , 따라서 $y \in B_{0}$ . 즉, 항상 $f (f^{- 1} (B_{0})) \subseteq B_{0}$ 이다. 하지만 $f$ 가 전사가 아니라면 $B_{0}$ 의 어떤 원소는 $f (x)$ 형태로 표현되지 않을 수 있으므로, 그 원소는 $f (f^{- 1} (B_{0}))$ 에 포함되지 않는다. 반대로 $f$ 가 전사이면, $B_{0} \subseteq Im (f)$ 이고 모든 $y \in B_{0}$ 에 대해 $f (x) = y$ 인 $x \in A$ 가 존재하므로 $y \in f (f^{- 1} (B_{0}))$ 가 되어 등호가 성립한다. ↩
True, 임의의 $x \in f^{- 1} (B_{0})$ 이면 $f (x) \in B_{0} \subseteq B_{1}$ 이므로 $x \in f^{- 1} (B_{1})$ . 따라서 포함관계 성립한다. ↩
True, 임의의 $x \in f^{- 1} (B_{0} \cup B_{1})$ 이면 $f (x) \in B_{0} \cup B_{1}$ 이므로 $f (x) \in B_{0}$ 또는 $f (x) \in B_{1}$ , 따라서 $x \in f^{- 1} (B_{0}) \cup f^{- 1} (B_{1})$ 한다. 반대로, $x \in f^{- 1} (B_{0}) \cup f^{- 1} (B_{1})$ 이면 $f (x) \in B_{0} \cup B_{1}$ , 즉 $x \in f^{- 1} (B_{0} \cup B_{1})$ . 양쪽 포함이므로 등호가 성립한다. ↩
True, $x \in f^{- 1} (B_{0} \cap B_{1})$ 이면 $f (x) \in B_{0} \cap B_{1}$ , 즉 동시에 $B_{0}$ 와 $B_{1}$ 에 속하므로 $x \in f^{- 1} (B_{0}) \cap f^{- 1} (B_{1})$ , 역도 성립하므로 등호가 성립한다. ↩
True, $x \in f^{- 1} (B_{0} - B_{1})$ 이면 $f (x) \in B_{0}$ 이고 $f (x) \in / B_{1}$ , 즉 $x \in f^{- 1} (B_{0})$ 이고 $x \in / f^{- 1} (B_{1})$ , 따라서 $x \in f^{- 1} (B_{0}) - f^{- 1} (B_{1})$ , 역도 마찬가지다. ↩
True, 임의의 $y \in f (A_{0})$ 라면 $\exists x \in A_{0} \subseteq A_{1}$ 이므로 $y = f (x) \in f (A_{1})$ . 따라서 포함관계 성립한다. ↩
True, 임의의 $y \in f (A_{0} \cup A_{1})$ 이면 $\exists x \in A_{0} \cup A_{1}$ 이고 $f (x) = y$ , 즉 $x \in A_{0}$ 또는 $A_{1}$ , 따라서 $y \in f (A_{0}) \cup f (A_{1})$ . 역도 성립하므로 등호가 성립한다. ↩
False, $f (A_{0} \cap A_{1}) \subseteq f (A_{0}) \cap f (A_{1})$ 이다. 등호는 $f$ 가 단사일 때만 성립한다. 임의의 $y \in f (A_{0} \cap A_{1})$ 이면 $\exists x \in A_{0} \cap A_{1}$ 이고 $f (x) = y$ , 따라서 $y \in f (A_{0}) \cap f (A_{1})$ . 그러나 $f$ 가 단사가 아니면, $y \in f (A_{0}) \cap f (A_{1})$ 이더라도 이를 만드는 $x_{0} \in A_{0}, x_{1} \in A_{1}$ 에 대해 $x_{0} \neq = x_{1}$ 이면 $x \in A_{0} \cap A_{1}$ 인 $x$ 가 존재하지 않을 수 있음. $f$ 가 단사이면 $f (x_{0}) = f (x_{1}) \Rightarrow x_{0} = x_{1}$ 이므로 동치 성립한다. ↩
False, $f (A_{0} - A_{1}) \subseteq f (A_{0}) - f (A_{1})$ 이다. 등호는 $f$ 가 단사일 때만 성립한다. 임의의 $y \in f (A_{0}) - f (A_{1})$ 라면 $\exists x \in A_{0}$ such that $f (x) = y$ 이고, $f (x) \in / f (A_{1})$ . 그런데 $x \in A_{1}$ 일 수도 있으므로 $x \in A_{0} - A_{1}$ 인지는 알 수 없다. 그러나 $f$ 가 단사이면 $f (x) \in / f (A_{1}) \Rightarrow x \in / A_{1}$ , 따라서 $x \in A_{0} - A_{1}$ , 즉 $y \in f (A_{0} - A_{1})$ 가 되어 동치 성립한다. ↩
True, 14, 15, 18 의 증명에서 사용한 방법은 임의의 집합에 대해 성립한다. ↩

Ray

Explorer

일대일 함수

예제 1

예제 2

Graph View

Table of Contents

Backlinks

Ray

Explorer

일대일 함수

예제 1

예제 2

Footnotes

Graph View

Table of Contents

Backlinks