테일러 급수(Taylor series)

테일러 급수

함수 $f$가 $a\in \mathbb{R}$에서 여러번 미분 가능할 때, 다항함수로 근사한 식을 테일러 급수라고 부른다.

$$\begin{array}{rl}{T}_f(x)& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(a)(x-a{)}^2+\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }(a)(x-a{)}^3+\cdots \end{array}$$

특히, $a=0$일 때의 테일러급수를 매클로린급수라고 부른다.

$$\begin{array}{rl}{M}_f(x)& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\\ & =f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }(0)x^3+\cdots \end{array}$$

여러 가지 함수의 매클로린 급수

$$\begin{array}{rl}\sin (x)& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ \cos (x)& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ \tan (x)& =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots \\ \exp (x)& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ \ln (1+x)& =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \\ \frac{1}{1-x}& =1+x+x^2+x^3+\cdots \end{array}$$

테일러 급수의 의미있는 결과

테일러 급수와 로피탈의 결과를 응용하면 $x\to 0$일 때, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}ax& =\sin (ax)=\tan (ax)=\ln (1+ax)=e^{ax}-1\\ \frac{1}{2}(ax{)}^2& =1-\cos (ax)=\sec (ax)-1\\ \frac{1}{2}(ax{)}^3& =\tan (ax)-\sin (ax)\end{array}$$